人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 2 3 直线的一般式方程

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12.2.3直线的一般式方程课标要求素养要求1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.2.会进行直线方程的五种形式间的转化.通过学习直线的一般式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究同学们，前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？问题任何直线方程都能表示为一般式吗？〖提示〗能.因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.1.直线的一般式方程当B≠0时，k＝－eq\f(A,B)；当B＝0时，斜率不存在我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.2.二元一次方程与直线的关系在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.拓展深化〖微判断〗(1)直线x－y－3＝0的斜率为k＝1.(√)(2)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.(×)〖提示〗当A，B都同时为零时，若C＝0，则方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；若C≠0，则方程无解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何图形.(3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.(√)〖微训练〗1.与x轴平行且过点(0，6)的直线的一般式方程为()A.x－6＝0 B.y－6＝0C.x＋y＝6 D.x－y＝6〖答案〗B2.已知直线的方程为2x－y＋4＝0，则该直线的斜率为________.〖答案〗23.直线2x＋y＋3＝0在y轴上的截距是________.〖解析〗令x＝0，得y＝－3.〖答案〗－3〖微思考〗直线方程的一般式化成另外四种形式需要哪些要求？〖提示〗直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化成点斜式和斜截式需满足条件B≠0，化成两点式需满足条件AB≠0，化成截距式需满足条件ABC≠0.题型一求直线的一般式方程〖例1〗根据下列条件求直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)；(2)斜率为eq\r(3)，且在y轴上的截距为4；(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.解(1)因为k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.(2)由直线的斜率k＝eq\r(3)，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋4.整理可得直线的一般式方程为eq\r(3)x－y＋4＝0.(3)由直线的两点式方程可得eq\f(y－（－3）,－5－（－3）)＝eq\f(x－2,－1－2)，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.(4)由直线的截距式方程可得eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.规律方法求直线的一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需确定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.〖训练1〗(1)下列直线中，斜率为－eq\f(4,3)，且不经过第一象限的是()A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0(2)直线eq\r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A.eq\r(3) B.－5C.eq\f(9,5) D.－3eq\r(3)〖解析〗(1)将一般式化为斜截式，斜率为－eq\f(4,3)的有B，C两项，其中B.y＝－eq\f(4,3)x－eq\f(7,3)，C.y＝－eq\f(4,3)x＋14.又y＝－eq\f(4,3)x＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B项满足要求.(2)令y＝0，则x＝－3eq\r(3).〖答案〗(1)B(2)D题型二利用一般式解决直线的平行与垂直问题〖例2〗已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直.解法一l的方程可化为y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq\f(3,4).(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq\f(3,4).又∵l′过点(－1，3)，∴由点斜式知方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq\f(4,3)，又l′过点(－1，3)，∴由点斜式可得方程为y－3＝eq\f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.规律方法1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程.(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.〖训练2〗判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解(1)法一将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(6,5)；l2：y＝－eq\f(3,5)x－eq\f(3,10).则k1＝－eq\f(3,5)，b1＝eq\f(6,5)，k2＝－eq\f(3,5)，b2＝－eq\f(3,10).∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2.法二∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2.(2)法一将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(7,3)；l2：y＝－2x＋2.则k1＝eq\f(1,2)，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.法二∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l1⊥l2.(3)因为l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.题型三直线一般式方程的应用〖例3〗设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.解(1)当直线在x轴上的截距为－3时，有eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，且m2－2m－3≠0解得m＝－eq\f(5,3).(2)当斜率为－1时，有－eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，且2m2＋m－1≠0解得m＝－2.规律方法已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤〖训练3〗直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，令y＝0，则x＝eq\f(a－2,a＋1).∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝eq\f(a－2,a＋1)，解得a＝2或a＝0.综上，a的值为2或0.(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.∴a的取值范围为(－∞，－1〗.一、素养落地1.通过本节课的学习，提升数学抽象及逻辑推理素养.2.二元一次方程与直线的关系二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点就组成了一条直线，二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.3.直线的一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然一般式直线方程有三个系数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.二、素养训练1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()A.A≠0 B.B≠0C.AB≠0 D.A2＋B2≠0〖解析〗方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.〖答案〗D2.已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x－y＋2＝0平行，那么直线l的方程是()A.2x－y－3＝0 B.x＋2y－4＝0C.2x－y－4＝0 D.x－2y－4＝0〖解析〗由题意可设所求的方程为2x－y＋c＝0(c≠2)，代入已知点(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，故所求直线的方程为2x－y－3＝0，故选A.〖答案〗A3.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0〖解析〗过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为eq\f(1,2)，由点斜式求得直线的方程为y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A.〖答案〗A4.(多填题)设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.〖解析〗直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，分别化为：y＝－eq\f(a＋1,3)x－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).若l1∥l2，则－eq\f(a＋1,3)＝－eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).若l1⊥l2，则－eq\f(a＋1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al