全国统考高考数学复习专题3三角函数与解三角形

②（2）诱导公式：正弦余弦正切α+ksincostanα+π−−tan−α−cos−π−αsin−−cos−cossin−sin−−（3）同角三角函数关系式：sin2α（4）两角和与差的三角函数：sinsincoscos（5）二倍角公式：sincos（6）降幂公式：，2．三角函数性质性质y=y=奇偶性奇函数偶函数单调性在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间[−π+2kπ，在区间[2kπ，最值在时，ymax；在时，ymin在x=2kπ(k∈Z)在x=2kπ+π(k∈Z对称中心(kπ对称轴x=kπ(k正切函数的性质图象特点定义域为图象与直线没有交点值域为R图象向上、向下无限延伸最小正周期为π在区间上图象完全一样在内是增函数图象在内是上升的对称中心为图象关于点成中心对称3．函数y=Asin（1）φ对函数y=sin（2）ω(ω>0)对y=sin（3）A(A>0)对y=Asin4．函数y=Asin（1）函数y=Asin（2）函数y=Asin二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤进阶练习一、选择题．1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，则下面叙述正确的是（）A．gx的周期为π B．gxC．gx图象的一个对称中心为 D．gx在上单调递减【答案】D【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数．对于A项，gx的周期为，故A错误；对于B项，因为，所以不是对称轴，故B错误；对于C项，由，解得，则不是对称中心，故C错误；对于D项，令，函数y=cosX在0则y=gx在上单调递减，故D正确，故选D．【点评】解决本题的关键在于将余弦型函数的性质转化为余弦函数的性质进行处理，将未知的问题利用已知的知识进行求解．2．（多选）函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0A．B．若把f(x)的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在−π，πC．若把函数f(x)的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数D．，若恒成立，则a的最小值为3+2【答案】ACD【解析】对A，由题意知：∴T=6π，，∵f2π=2，，即（），（），又∵φ<π，，所以A正确；对B，把y=f(x)的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，∵x∈−π，π在−π，π上不单调递增，故B对C，把y=f(x)的图象向左平移个单位，则所得函数为，是奇函数，故C正确；对D，对，恒成立，即，恒成立，令，，则，，，∴3−1≤g(x)≤3的最小值为3+2，故D正确，故选ACD．【点评】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式，则最小正周期为，最大值为A，最小值为−3．在ΔABC中，“”是“ΔABCA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，且B必为锐角，可得或，即角A或角C为钝角；反之，当A=100°，B=30°时，，而，所以sinA<cos所以“sinA<cosB”是“【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式及三角函数的单调性，属于综合题．4．已知tan2θ−4tanA． B． C． D．【答案】C【解析】由tan2θ−4tanθ所以，即，即，，故选C．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有，从而可得，由可解，属于中档题．5．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，在△BAD中由正弦定理得，即，所以，又因为在Rt△ACD中，，所以，故选D．【点评】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题．二、填空题．6．已知函数f(x)=sin①f(x)是偶函数；②f(x)是以2π为周期的周期函数；③f(x)的图象关于对称；④f(x)的最大值为2．其中真命题有________．【答案】①②④【解析】①函数f(x)=sin(cosf(−x)=sin所以函数f(x)是偶函数，所以①正确；②f(x+2π)=sin所以f(x)是以2π为周期的周期函数，所以②正确；③f(π−x)=sin所以f(x)的图象不关于对称，所以③错误；④令t=cosx，因为，所以，即时，，则函数f(x)的最大值为2，所以④正确，所以真命题为①②④，故答案为①②④．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．三、解答题．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求b+c【答案】（1）；（2）23．【解析】（1）由，根据正弦定理有．所以，所以．因为C为三角形内角，所以sinC≠0，所以因为A为三角形内角，所以．（2）由a=3，，根据正弦定理有，所以b=2sinB，所以，当时，等号成立，所以b+c的最大值为23．另解：（2）由a=3，，根据余弦定理有，即3=b2因为，所以，即，当且仅当b=c=3时，等号成立，所以b+c的最大值为23【点评】正弦定理化边为角或化角为边，是解决这类问题的重要手段，需要熟练掌握．8．已知函数fx=λsinωx+φ(λ>0，ω>0，)的部分图象如图所示，A为图象与x轴的交点，B，C分别为图象的最高点和最低点，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC（1）求△ABC的角B的大小；（2）若b=3，点B的坐标为，求fx的最小正周期及的值．【答案】（1）；（2）最小正周期为2，．【解析】（1），∴由余弦定理得，又，，即tanB=3，∵B∈0（2）由题意得，，，，∴由余弦定理b2=a2+设边BC与x轴的交点为D，则ΔABD为正三角形，且AD=1，∴函数fx的最小正周期为2，，，又点在函数fx的图象上，，即，即，，即，又，．【点评】（1）求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．（3）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为；（3）奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式．9．已知在△ABC中，．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为4，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）最大值为8+43．【解析】（1）∵A+B+C=π，∴A+B=π−C，∴cosA+B又5+4cosA+B=4sin即4cos2C又0<C<π，∴．（2）∵△ABC的外接圆半径为4，所以由正弦定理得，∵，∴AB=43，，又∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，∴，∴，设∠AB