全国统考高考数学复习-三角函数与解三角形满分限时练

三角函数与解三角形1．三角函数的考查大多为三角函数性质与图象的考查，其中三角函数图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，难度中等偏简单．2．解三角形的考查常与三角恒等变换结合，考查正弦定理、余弦定理的综合使用，利用三角恒等变换进行化简等，难度中等偏简单．一、选择题．1．若角的终边在直线y=−2x上，则sin2021π+α⋅A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】因为角的终边在直线y=−2x上，所以，即，即，所以cosα=2sin所以，故选A．【点评】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．关键点是：构造齐次式，使问题相对容易求解．2．若将函数y=3sin2xA． B． C． D．【答案】B【解析】将函数y=3sin2x所得的函数为，由，得，当k=0时，，故选B．【点评】本题主要考查三角函数的图象的平移变换，以及对称性，属于基础题．3．将函数f(x)=sinx+得到函数gx的图象，则该函数在0A． B． C． D．【答案】B【解析】，将其图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得，再向右平移个单位长度后得到，令，，得，，令k=0，得，因为x∈0，π所以函数gx在0，π【点评】已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为或的形式，然后将ωx+φ看成一个整体，根据y=sinx与y=cos4．已知函数fx=2sinωx+φ，的部分图象如图所示，fx的图象过，两点，将fx的图象向左平移个单位得到gx的图象，则函数gA．−2 B．2 C．−3 【答案】A【解析】由图象知，，∴T=2π，则，∴fx将点的坐标代入得，，即，又，∴，则，将fx的图象向左平移个单位得到函数，∴gx在上的最小值为，故选A．【点评】本题主要考了三角函数关系式的求法，正弦型函数的性质及应用，主要考查学生的运算能力，转换能力属于基础题．5．已知函数的周期为π，当时，方程恰有两个不同的实数解x1，x2，则fx1A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】，由，得ω=2，．作出函数fx在上的图象如图：由图可知，，．故选B项．【点评】本题考查正弦型函数的化简及其图象与性质，属于简单题．6．已知函数fx①函数fx②是函数fx图象的一条对称轴；③函数fx的增区间为；④函数fx的最大值为．A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】T=2π为函数fx=sin因为，所以不是函数fx的对称轴，故②不正确；f'令f'x≥0所以函数fx的增区间为，故③正确；fx=2cosxsin又因为求最大值必有fx>0，所以只需考虑又可由f'得fx在上单调递增，在上单调递减，所以函数fx的最大值为，故④正确，故选D．【点评】本题主要考查了求三角函数的性质，包括周期性，对称轴，单调性和最值．属于中档题．7．将函数f(x)=cosx的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数f(x)=cosx的图象先向右平移可得的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，∴周期，若函数g(x)在上没有零点，∴，∴，，解得0<ω≤1，又，解得，当时，解；当时，0<ω≤1，可得，，故答案为A．【点评】本题考查函数y=Acos8．在△ABC中，，，则AC+3BC的最大值为（）A．57 B．47 C．37【答案】B【解析】有正弦定理得，所以a=4sin所以AC+=10sin其中，由于，所以，故当时，AC+3BC的最大值为4【点评】要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值．二、填空题．9．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆的半径为，则△ABC的面积的最大值为__________．【答案】【解析】因为，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，即△ABC的面积的最大值为，故答案为．【点评】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：（1）从题目给出的条件，边角关系来选择；（2）从式子结构来选择．10．将函数f(x)=2−4sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的范围是______．【答案】【解析】∵f(x)=21−2∴，由，，解得，k=0时，增区间为；k=1时，增区间为，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则，解得，故答案为．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，考查余弦函数的单调性，掌握余弦函数的单调性是解题关键．11．对于函数f(x)=sin①函数fx②函数fx是周期函数，且周期是π③函数fx的值域是−2④函数fx在上单调递增．其中正确的是_________．（填序号）【答案】④【解析】∵f=−sin∴fx不是奇函数，①∵f=−sin但是f=sin所以fx是周期函数，但是π不是它的周期，故②当sinx≥0，cosx当sinx⋅cos当sinx≤0，fx所以函数值域为−1，1，故当时，fx=sin2x故答案为④．【点评】本题考查了三角函数的性质及图象，采用数型结合的思想进行解题，难度中等．三、解答题．12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，且，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以，所以，所以，所以2cos因为0<B<π，所以sinB≠0，所以又因为0<A<π，所以．（2）因为，，a2=b所以，即，因为，所以bc=1，所以．【点评】本题的重点是第一问，难点也是第一问，涉及三角恒等变形的灵活掌握，如降幂公式，，，△ABC中，sinA=sinB+C13．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．（1）求cosA（2）若△ABC的面积为，求a+b+c的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，∵A+B+C=π，所以，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得．（2）由，得，∵，∴bc=12，由，得，∴a≥4，当且仅当b=c=23又b+c≥2bc=43，当且仅当∴a+b+c≥4+43，当且仅当b=c=2即a+b+c的最小值为．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a+b，ab，a214．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=3（1）求△ABC（2）若BC边上的中线长为，求△ABC的周长．【答案】（1）3π；（2）9．【解析】（1）因为bsin又，即bsinA=asin由，得，设△ABC外接圆的半径为R，则，所以△ABC外接圆的面积为3π．（2）设BC的中点为D，则．因为，所以，即c2又b2+c2−整理得b2−92=0，解得b=3或所以△ABC【点评】本题第二问的关键是结合向量加法运算，用向量AB，15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足bcos（1）求证：A=2B；（2）若c=2a，求【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为bcos由正弦定理，得sinB所以sinB+C=sin又因为0<A<π，，所以A=2B或A+2B=π．若A+2B=π，又A+B+C=π，所以B=C，与a，b，c互不相等矛盾，所以A=2B．（2）由（1）知C=π−A+B=π−3B，所以因为c=2a，所以sinC可得sin3又因为sin，所以3sin因为，所以sinB>0，所以3−4所以4cos2B−2又，得．【点评】此题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式，考查转化能力和计算能力，属于中档题．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角B的大小；（2）若b=10，△ABC的面积为，求△ABC【答案】（1）；（2）5+10．【解析】（1）由二倍角公式，得2cos2B+3cosB∈0，π（2）由，得ac=5，由余弦定理b2=a则a+c=5，所以△ABC的周长为5+10【点评】解三角形时，当给出一组对边和对角时，求面积或周长时，往往使用余弦定理，并结合形如a217．如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方．经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，．记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．（1）分别求线段PM，PN关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S的最小值．【答案】（1），，；（2）8(2−1)平方米．【解析】（1）在△PME中，∠EPM=θ，米，，，由正弦定理得，所以，同理在△P