全国统考高考数学复习-函数与导数满分限时练

函数与导数1．函数的考查主要为函数性质，基本初等函数，函数的应用为主．函数性质主要为函数的奇偶性、单调性、周期性和值域（最值）的考查，常以选择题、填空题的形式出现；基本初等函数的考查一般单独或与不等式结合命题考查，考查的形式主要为填空题和选择题；函数的应用主要为函数零点问题的考查，难度相对较难．2．导数的考查一般是一道大题一道小题的形式出现，小题即为选择题、填空题，主要对导数的几何意义以及导数在研究函数问题中的直接运用；大题即解答题一般以压轴题的形式出现，主要考查导数、不等式、方程等方面的综合运用，难度较大．满分训练一、选择题．1．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得函数的定义域为−∞，设，∴，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B、C选项，当x→+∞时，有，故排除A选项，（取x1则，，，因为x1=综上所得D选项符合题意，故选D．【点评】本题考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属于基础题．2．函数，若fa≤5，则实数aA． B．C． D．【答案】A【解析】fa≤5可化为或，解得a≤−1或，故选A．【点评】常见解不等式的类型：（1）解一元二次不等式用图象法或因式分解法；（2）分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；（3）指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；（4）含参数的不等式需要分类讨论．3．已知fx是定义在R上的函数，f1+x=f(1−x)，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为f1+x=f1−x，所以函数f又，，，所以，，．因为，，所以，又当x≥1时，为减函数，所以，即b>a>c，故选C．【点评】比较函数值的大小，利用函数的单调性，通过自变量的大小关系转化为函数值的大小．4．已知函数，其中f'x为函数fx的导数，则（）A．0 B．2 C．2020 D．2021【答案】B【解析】，所以，，，所以，所以f'2021所以，故选B．【点评】本题考查函数的对称性和求导函数以及求导函数的奇偶性，解答本题的关键是由解析式求得fx+f−x=2，从而得到，求出，得到，得到f5．已知函数，且，则实数x的取值范围是（）A．(2，+∞) B． C． D．(−∞【答案】D【解析】因为，所以函数在R上单调递减，由于，所以4x−1<3，得x<1，【点评】判断函数fx6．已知定义在0，+∞上的函数fx满足xf'若fm−2021>m−2021A．0，2021 B．0，2022 C．【答案】D【解析】构造函数，其中x>0，则，所以，函数为0，+∞由fm−2021>m−2021f1，所以，0<m−2021<1，解得2021<m<2022．因此，实数m的取值范围是2021，2022【点评】四种常用的导数构造法：（1）对于不等式f'x+g'（2）对于不等式f'x−g'（3）对于不等式xf'x+cfx>0（或）（其中c（4）对于不等式f'x+cfx>0（或c<07．a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(a>b>0，m>0)．若x1=log32，xA．x1<x2<x3 B．【答案】B【解析】因为x1=log32所以，，，根据题意当a>b>0，m>0时，成立，又lg3>lg2>0即x2又，所以x2>x【点评】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．8．已知，，，若函数gx有且只有两个零点，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，所以a=0，所以，令，则．令，得−2<x<2；令，得x<−2或x>2，所以f'x在−2，2上单调递增，在所以f'x的极大值为，极小值为．因为函数gx有且只有两个零点，所以方程有且只有两个实数根，即方程和共有两个实数根．又，所以或或，解得或，故选A．【点评】在考查函数的零点的个数判定及应用时，把函数的零点个数的问题转化为两个函数的图象的交点个数，正确作出函数的图象是解答问题的关键．9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当时，函数f(x)=xex+2，若关于x的函数F(x)=[f(x)]A． B．C． D．【答案】C【解析】F(x)=f(x)−2f(x)+a=0时，f(x)=xex+2<2，x<−1时，f'(x)<0，f(x)递减；−1<x<0时，f'∴f(x)的极小值为，又f(x)<2，因此f(x)=2无解．此时要有两解，则，又f(x)是奇函数，∴x>0时，f(x)=2仍然无解，要有两解，则．综上有，故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为f(x)=2或，然后用导数研究时，f(x)的性质，同理，由奇函数性质得出x>0时，f(x)的性质，从而得出f(x)=2无解，有两解时a的取值范围．10．曲线fx=2xlnx在A． B． C． D．【答案】D【解析】由fx=2xlnx，得，则f所以曲线fx在x=e处的切线l的方程为y−2e=4x−e，即令x=0，得y=−2e；令y=0，得．所以直线l与两坐标轴的交点坐标分别为，，所以切线l与坐标轴围成的三角形的面积为，故选D．【点评】本题的考点为导数的几何意义，属于基础题．11．已知函数fx=ex−aA． B． C． D．【答案】D【解析】f'(x)=ex−a即在上有解，记，，当时，g'(x)>0，g(x)g(0)=1，，所以，故选D．【点评】本题考查导数与极值．函数在某个区间上有极值，则在这个区间上有零点，f'(x)=012．设函数f(x)=ex−x，直线是曲线y=f(x)的切线，则A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由题得f'(x)=ex−1，设切点(t，f(t))，则f(t)=则切线方程为：y−(et−t)=(又因为，所以，b=et(1−t)则a+b=−1+2e令g(t)=−1+2et−t则有t>1，g'(t)<0；t<1，g'(t)>0，即g(t)在−∞，1上递增，在所以t=1时，g(t)取最大值，即a+b的最大值为e−1，故选C．【点评】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题．二、填空题．13．已知函数fx=sinx⋅①不等式fx>0的解集为或；②fx在区间0③fx的图象关于直线x=π④fx的最大值为；⑤fx的最小值为．【答案】③④【解析】由，①fx>0，即又x∈0，2π，则或，故①②fx=0，则sinx又x∈0，2π，所以，，，，，共有5个零点，故②不正确；③所以，则fx的图象关于直线x=π对称，故③正确；④，设cosx=t∈−1，由，解得；由，解得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，；当时，，当t=1时，y=0；当t=−1时，y=0，所以当时，函数有最大值，所以当时，函数有最小值，所以④正确，⑤不正确，故答案为③④．【点评】本题考查三角函数的对称性、零点、最值等基础知识，解答本题的关键是将，由条件可得，sinx=0或cosx=0，以及，得出函数在−1，14．已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数，且对任意，都有f(2−x)=f(x)成立，当x∈[−1，1]时，，则a=_______．当x∈【答案】，【解析】（1）∵f(x)是定义域为R上的奇函数，当x∈[−1，1]时，，∴a=1．（2）当x∈[1，3]时，故答案为，．【点评】利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设定在哪个区间．②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上．③利用已知区间的解析式进行代入，解出f(x)．15．设b、c均为实数，若函数在区间上有零点，则b2+c【答案】【解析】因为函数在区间上有零点，所以方程在区间上有实数解，即x2+cx+b=0在区间设g(x)=x2+cx+b，要想x当x2+cx+b=0在区间只需，而，当x2+cx+b=0在区间上有二个不相等实数根时，设为x则有，由，而c<−2，所以不等式(c+2)2因此有b2综上所述：，故答案为．【点评】解决函数零点问题往往转化为方程的根的问题，通过方程实数根的分布进行求解．三、解答题．16．已知函数．（1）若，求fx的极值；（2）若fx>0恒成立，求实数【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）．【解析】（1）∵当时，，∴，令x>0，，由于x>0，所以t'所以t(x)在x>0上单调递增，且x=1时，f∴当x∈0，1，f'x故fx在上单调递减，在1，∴x=1时，fx取极小值，（2）∵，∴，令，，令，∵，在x>0上是单调递减函数，且，所以当0<x<1时，，即g'(x)>0，g(x)的单调递增函数当x>1时，，即g'(x)<0，g(x)所以，可得a>1，即a∈【点评】恒（能）成立问题的解法：若f(x)在区间D上有最值，则（1）恒成立：∀x∈D，fx（2）能成立：∃x∈D若能分离常数，即将问题转化为：a>fx（或a<f（1）恒成立：a>fx⇔a>f（2）能成立：a>fx⇔a>f17．已知函数f(x)=ae（1）当a∈R时，讨论函数（2）当a>0时，若g(x)=lnx−x−lna，且f(x)≥g(x)【答案】（1）答案见解析；（2）a≥1．【解析】（1）f'①当a≤0时，f'(x)<0恒成立，即函数f(x)在②当a>0时，令f'(x)>0，解得x>1−lna；令即函数f(x)在(1−lna，综上，当a≤0时，函数f(x)在(−∞，当a>0时，函数f(x)在(1−lna，（2）由题意，即当a>0时，f(x)−g(x)≥0在x>0时恒成立，即aex−1−记，则，记φ(a)=a+lna−1，在又，当时，得a≥1．下面证明：当a≥1时，在x>0时恒成立．因为．所以只需证在x>0时恒成立．记，所以，又，所以T'(x)在(0又，所以x∈(0，1)，x∈(1，所以，∴T(x)≥0在(0，即在x>0时恒成立．综上可知，当f(x)≥g(x)在x>0时恒成立时，实数a的取值范围为a≥1．【点评】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果．18．已知函数．（1）求函数fx（2）若函数gx=fx【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）因为，所以x>0，且．令f'x>0，得；令f'x所以函数fx的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由题意，，因为函数gx所以方程有且只有一个实数根．两边同时除以，得．令，则，即，设，则G1=0，由题意，函数Gt有且只有t=1令，t∈0（i）当Δ=a+2即时，ℎt≥0，，此时Gt（ii）当a>22−2时，方程ℎt则，，所以，所以当时，G't>0；当时，G't<0；当所以Gt在0，t1上单调递增，在①当a>1时，，所以，即．又因为t→+∞时，，所以Gt在t2，②当22因为，，所以，所以，由，当t→+∞时，，可得Gt在t2③当时，易得，t2=1，由，当t>0且无限接近于0时，，可得Gt在0，t1综上，实数a的取值范围是0，【点评】高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值与零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题．19．已知函数．（1）当时，判断函数y=f(x)（2）若关于x的方程有两个