吉林省珲春市第二高级中学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

珲春二高中2024-2025学年度上学期第一次模拟考试高三数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由补集的运算即可求解.【详解】解：，，故选：B．2.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A3.函数的零点所在的大致区间的A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点.【详解】函数,在x>0上单调递增，，函数f（x）零点所在的大致区间是；故选B【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若确定零点所在的区间.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数，指数函数，三角函数的单调性比较与1和0的大小关系，即可得出答案.【详解】，即，，即，，即，则．故选：A.5.已知函数的图象在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解即得.【详解】函数，求导得，依题意，，所以.故选：D6.已知是上的增函数，那么的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得.【详解】函数是上的增函数，则3-a>0a所以的取值范围是.故选：A7.已知函数，求（）A.0 B. C. D.120【答案】B【解析】【分析】令，则，求导后赋值即可.【详解】令，则，两边求导得到，令，得到.故选：B.8.已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用导函数求的单调性，根据其单调性作出的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.【详解】因为，所以，当，；当，，所以和单调递减，在单调递增，且当时，，，故的大致图象如图所示：关于的方程等价于，即或，由图知，方程有且仅有一解，则有两解，所以，解得，故选:C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式性质、结合幂函数单调性逐项判断即得.【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，，得，而，则，B错误；对于C，函数在上单调递增，，则，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD10.下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，且幂函数在上是减函数，故A正确；B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，且，则其在上单调递减，故B正确；C选项中，设，其定义域为，则，故是偶函数，且函数在上单调递减,函数在定义域上为增函数，所以在上单调递减,故C正确；D选项中，设，是，且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.故选：ABC.11.定义在R上的偶函数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.【详解】由，令，则，又为偶函数，则，A对；由上，得①，在①式，将代换，得②，B错；在②式，将代换，得，C对；由且，即周期为2且关于对称，显然是满足题设的一个函数，此时，D错.故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的定义域是，则的定义域是__________【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得.【详解】由函数的定义域是，得，则，由，解得，所以的定义域是.故答案为：13.已知，且，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可.【详解】由于，因此，则，当且仅当时取等号．故答案为：.14.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得，因此可得，可构造函数并求得其单调性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出结论.【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，两边同时求导可得，即且，又因为当时，，所以.构造函数，则，所以当时，在上单调递增，又因为，所以在上大于零，在上小于零，又因，所以在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，综上所述，的解集为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合、集合（）.（1）若，求实数的取值范围；（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分、讨论，根据交集运算和空集的定义结合不等式即可求解；（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.【小问1详解】由题意可知，又，当时，，解得，当时，，或，解得，综上所述，实数的取值范围为；【小问2详解】∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，当时，，解得，当时，（等号不能同时成立），解得，综上所述，实数的取值范围为.16.数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；（2）直接用裂项相消法即可求解.【小问1详解】因为，所以，又因此是以为首项，1为公差的等差数列，设的前n项和为，则，又由，得，，当时，经检验也满足，∴．【小问2详解】．因此．17.为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，则，.【答案】（1）不能（2）人【解析】【分析】（1）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断；（2）转化为训练前的人数估计.由题意得的值，则即，利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据【小问1详解】：学生的性别和是否喜欢运动无关.，所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.【小问2详解】训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数，则，，，即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，，，由（人）估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：的极小值不大于1.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，利用导数研究的单调性即可；（2）利用导数研究的单调性，可得极值，构造且，应用导数研究其最值，即可证结论.【小问1详解】由，当，则，即在定义域上递增；当，令，则，当，，即递增；当，，即递减；此时在上递减，在上递增.【小问2详解】由题设且，则，若，则，故在上递增，当趋向于时，趋向负无穷，当趋向于正无穷时，趋向正无穷，所以，使，即，所以，上，递减；在上，递增；故的极小值，令且，则，当时，递增；当时，递减；所以，故，得证.【点睛】关键点睛：第二问，利用导数研究单调性，且使，得到极值，再构造函数研究最值为关键.19.对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.【答案】(1)对于任意有为位差奇函数,不存在有为位差奇函数.(2);(3)【解析】【分析】(1)根据题意计算与,判断为奇函数的条件即可.(2)根据是位差值为的位差奇函数可得为R上的奇函数计算的值即可.(3)计算为奇函数时满足的关系,再根据对于任意都不是位差值为m的位差奇函数求