2025年高考数学二轮复习 专项训练14 解三角形（原卷版）

2025二轮复习专项训练14解三角形[考情分析]解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性较强，难度中等．【练前疑难讲解】一、正弦定理、余弦定理1．正弦定理及其变形在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝eq\f(a,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).二、解三角形在实际生活中的应用求实际问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．三、正弦定理、余弦定理的综合应用以三角恒等变换、正弦定理、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、基本不等式、平面几何等交汇命题．一、单选题1．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·福建厦门·二模）如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（

）

A．圆锥的体积为B．当为中点时，线段在底面的投影长为C．存在，使得D．4．（2024·浙江·三模）已知的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（

）A．B．若，则有两解C．当时，为直角三角形D．若为锐角三角形，则的取值范围是三、填空题5．（2024高三·江苏·专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则=；若，则面积的最大值为．6．（2023·山东青岛·一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则千米．四、解答题7．（2023·全国·高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．8．（23-24高三上·山东枣庄·期末）在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【基础保分训练】一、单选题1．（2024·湖北黄石·三模）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（

）A． B． C． D．62．（2024·江西赣州·一模）在中，，则（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北黄冈·一模）已知的内角所对的边分别为，，下面可使得有两组解的的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（

）A． B．4 C．2 D．5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．6．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定7．（2022·全国·模拟预测）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（

）A． B． C． D．8．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（

）A．2 B． C．1 D．二、多选题9．（2023·河北秦皇岛·二模）平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是A0,2,B1,0,CA．sinA<sinC BC．的面积为 D．的外接圆半径大于210．（2024·重庆·三模）在中，角的对边为若，则的面积可以是（

）A． B．3 C． D．11．（2024·广西南宁·三模）锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有（

）.A． B．C．若，则 D．若，则三、填空题12．（2024·山东泰安·一模）在中，内角的对边分别为，已知，则．13．（2021·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则．14．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为m．四、解答题15．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.16．（2024·贵州黔东南·二模）在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若，求的面积.17．（2023·湖南·模拟预测）的内角A，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.18．（2022·江苏南京·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，是边上的一点，且.(1)证明：；(2)若，求.19．（2022高一下·四川成都·竞赛）如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD＝2，且．(1)若，求△DBC的面积；(2)当时，求△ACD面积的取值范围．20．（21-22高二下·山西·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范围．【能力提升训练】一、单选题1．（2024·广东韶关·二模）在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（

）A． B． C．2 D．2．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·二模）已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·一模）如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．5．（22-23高一下·福建厦门·期末）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（

）米.A． B．C． D．二、多选题7．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若，，，则有两解B．若，，则的面积最大值为C．若，，，则外接圆半径为D．若，则一定是等腰三角形8．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（

）A．的长度为B．扇形OA1C．当与重合时，AP1D．当时，四边形OAA1P9．（2024·广东·一模）嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为1），其平面图形如图所示，则（

）A． B．O到AC的距离是C．O是的内切圆的圆心 D．三、填空题10．（2024·全国·模拟预测）在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为.11．（2024·广东东莞·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为．12．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面凸四边形中，，，，，为钝角，则对角线的最大值为.四、解答题13．（2024·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.(1)求A；(2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.14．（2024·贵州贵阳·一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)若，求面积的最大值.15．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，(1)求A的大小：(2)点D在BC上，（Ⅰ）当，且时，求AC的长；（Ⅱ）当，且时，求的面积．16．（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知角，，所对的边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．17．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.(1)若，判断的形状;(2)若是锐角三角形，求的取值范围.18．（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．(1)证明：．(2)若是锐角三角形，求的取值范围．19．（2024·河北衡水·一模）在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.(1)求角；(2)求的取值范围.20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．(1)求