2025年高考数学二轮复习 专项训练4 函数的图象与性质（解析版）

2025二轮复习专项训练4函数的图象与性质[考情分析]以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性、分段函数求值或分段函数中参数的求解以及函数图象的识别，多以选择题、填空题的形式考查，难度属中档及以上．【练前疑难讲解】一、函数的概念与表示1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．二、函数的性质1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．3．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．三、函数的图象1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．由函数的解析式判断其图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，以及利用函数图象上的特殊点排除不符合要求的图象．一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南益阳·一模）已知，则（

）A． B．0 C． D．3．（2023·福建·模拟预测）函数的图象大数为（

）A． B．C． D．4．（2023·广东广州·二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023·吉林·模拟预测）已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（

）A．0 B．2022 C．4044 D．10116．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（

）A． B． C． D．参考答案：题号123456答案ADCBBB1．A【分析】先求的定义域，再利用复合函数求的定义域.【详解】由题意得，，解得函数满足，解得，即函数的定义域为.故选:A2．D【分析】先求，再求，即可求解.【详解】根据已知，所以.故选：.3．C【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数为奇函数.然后得到时，，根据导函数求得的单调性，并且可得极大值点，即可得出答案.【详解】由题意可知，函数的定义域为.又，所以，函数为奇函数.当时，，则.设，则在上恒成立，所以，在上单调递增.又，，所以，根据零点存在定理可得，，有，且当时，有，显然，所以在上单调递增；当时，有，显然，所以在上单调递减.因为，所以C项满足题意.故选：C.4．B【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.5．B【分析】根据函数对称性的定义得到函数关于点对称，函数也关于点对称，从而得到函数与的图象的交点关于点对称，即可求解.【详解】由可得，则函数图象上的点关于点的对称点也在的图象上.又由可知，函数的图象也关于点对称.因此，函数与的图象的交点关于点对称.不妨设，与关于点对称，与关于点对称，…，与关于点对称，则，所以,故选：B.6．B【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值.【详解】由可得，①对任意的，，所以，，②由①②可得，所以函数是周期为的周期函数．因为为偶函数，则，因为，由可得，且，由可得，因为，所以，，故函数为偶函数，因为，则，所以，，由可得，因为，所以，.故选：B.【基础保分训练】一、单选题1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．4．（2021·山东滨州·二模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．5．（2023·北京石景山·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·江西南昌·二模）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．20259．（2023·河北邯郸·一模）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．10．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R上的函数是奇函数，对任意x∈R都有，当时，则等于（

）A．2 B．-2 C．0 D．11．（2023·山东烟台·二模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．12．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（

）

A．

B．

C．

D．

二、多选题13．（22-23高一上·四川·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（

）A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数14．（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数15．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（

）A． B．C． D．的单调递增区间为16．（2023·浙江·模拟预测）已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（

）A． B．C． D．三、填空题17．（2023·河南·三模）已知函数，若，则的取值范围是.18．（2021·陕西咸阳·一模）若偶函数满足，则．19．（2023·河南安阳·三模）已知函数是奇函数，则.20．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数的最小数为，若，则函数的最大值为．参考答案：题号12345678910答案CBACDDCCAA题号111213141516答案CDABCBCBCAC1．C【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得，解得，则定义域为，故选：C.2．B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【详解】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B3．A【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.【详解】由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．4．C【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.【详解】因为，，，所以构造函数，因为，由有：，由有：，所以在上单调递减，因为，，,因为，所以，故A，B，D错误.故选：C.5．D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.故选：D.6．D【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.【详解】因为对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立．设，，，当，即时，，∴实数a的取值范围是.故选：D.7．C【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为，所以，所以的周期为6，又为奇函数，所以，所以，令，得，所以,所以，故选：C.8．C【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解.【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称，又为偶函数，所以关于直线对称，所以为周期函数且周期，∴，∵，∴，∴.故选:C．9．A【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称．因为在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以，解得．故选：A.10．A【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，故函数的图象关于直线对称，∴，故，∴，∴是周期为4的周期函数．则．故选：A．11．C【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.【详解】由，得，所以为偶函数，故排除BD.当时，，排除A.故选：C.12．D【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D.13．ABC【分析】利用单调性定义结合可判断A；利用特殊值求出，从而证明可判断B，根据条件求出，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.【详解】设，且，，则，而，又当时，恒成立，即，，函数是R上的减函数，A正确；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函数的定义域为R，故函数是奇函数，B正确；令可得，解得，因为函数是奇函数，所以，由，可得，因为函数是R上的减函数，所以，C正确；令，易知定义域为R，因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.故选：ABC.14．BC【分析】根据函数的奇偶性，逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.【详解】因为，所以为偶函数，因为，即，所以为奇函数，所以为非奇非偶函数，A错误；，所以为奇函数，B正确；，所以是奇函数，C正确；令，，为偶函数，D错误.故选：BC．15．BC【分析】利用奇函数的性质f-x=-fx可求a的值，代数求值可验证C项，根据表达式作出函数图象可验证【详解】因为函数为奇函数，，即，解得，故B正确，A错误；因为，所以，故C正确；作出的图象，如图，所以的单调递增区间为，，D选项形式错误，不能用并集的符号.故选：BC.16．AC【分析】逐个分析各函数的定义域、单调性、奇偶性及，使.【详解】对A，，定义域为，在上单调递增，，所以为偶函数，又，故A正确对B，，定义域为，为奇函数，故B错误；对C，，定义域为，，所以为偶函数，又，故C正确；对D，因为在上分区间单调，故D错误.故选：AC.17．【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为函数，定义域为，且，则，即，即为奇函数，当时，，均单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以是奇函数且在上单调递增，由，可得，则，解得，即的取值范围为.故答案为：18．-1【解析】先判断函数的周期，再利用周期和偶函数的性质求值.【详解】，是周期函数，周期，且函数是偶函数，，故答案为：19．32【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及奇函数的性质即可求解.【详解】由于函数的定义域满足，故定义域为，根据奇函数的定义域关于原点对称可知，所以，，所以，故，故答案为：20．【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值．【详解】如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象，而的图象即是图中勾勒出的实红线部分，要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标.由联立解得，，故所求函数的最大值为．故答案为：．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（2023·海南海口·二模）已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．－16．（2021·天津河西·三模）已知f(x)为定义在上的偶函数，当时，有，且时；，给出下列命题：①；②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为，其中正确命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．（2022·江西南昌·一模）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（

）A． B．C． D．10．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（

）A．506 B．1012 C．2024 D．404811．（2023·浙江·三模）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．12．（2023·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（

）A． B． C． D．二、多选题13．（2024·江苏宿迁·一模）下列命题正确的有（

）A．函数定义域为，则的定义域为B．函数是奇函数C．已知函数存在两个零点，则D．函数在上为增函数14．（2023·广东梅州·一模）对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（

）A． B．，C． D．，15．（2024·广东湛江·二模）已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（

）A．B．为偶函数C．在处取得极小值D．若，则16．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（

）A．B．4是函数的一个周期C．D．在区间上至少有1012个零点17．（2025·江苏南通·一模）定义在R上的偶函数，满足，则（

）A． B．C． D．18．（2024·全国·三模）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（

）A．B．C．是图象的一条对称轴D．是图象的一个对称中心三、填空题19．（2022·湖北·模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为.20．（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=.21．（2023·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则.22．（2023·山东青岛·三模）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则．参考答案：题号12345678910答案DADDBDCBAC题号1112131415161718答案AAABACDABDABDACBCD1．D【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【详解】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.2．A【分析】利用奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再比较大小，结合的单调性即可得出答案．【详解】解：因为函数是R上的偶函数，所以函数的对称轴为，又因为对任意，，且都有成立．所以函数在上单调递增，而，，，所以，所以，因为函数的对称轴为，所以，而，因为，所以，所以，所以．故选：A．3．D【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.【详解】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则．因为为上的增函数，且，所以，所以．因为在上单调递增，所以，得．故选：D.4．D【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】由，得的定义域为，又，故为偶函数，而当时，易知单调递增，而对于，在上恒成立，所以在上也单调递增，故在上单调递增，则由，得，解得或.故选：D.5．B【分析】利用赋值法求出的值，将变形为，即可推出，可得函数周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知，，，令，则显然时，不成立，故，故，则，即6为函数的周期，则，故选：B6．D【分析】由函数关系式及偶函数的性质可知在、上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.【详解】由题设，，即是周期为2的函数，令，则，而时；，∴.∴综上：且在上周期为2.∵f(x)为定义在上的偶函数，∴在上周期为2且.①，正确；②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数，错误；③直线与函数的图象如下图示，只有1个交点，正确；④函数f(x)如下图示，其值域为，正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：利用函数关系及偶函数性质，判断函数的周期性及相应区间上的解析式，应用数形结合的方法判断各项的正误即可.7．C【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解.【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的图象，如下：由图可知，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以不等式的解集为：或，故选：C8．B【分析】依题意将问题转化为与函数的图象有两个交点，即有两个根，根据图象得到答案.【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根，即：，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；又在出的切线方程为，如图，由图可知，要使方程有两个根，则或.故选：B.9．A【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，化简，即得答案.【详解】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，当时，，因为在上单调递增且，而在上单调递减，故在上单调递减，则在上单调递增，故由可得，即，则，故，故选：A10．C【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.【详解】，①，即，所以，所以函数的图象关于对称，令，则，所以，令，，又，所以，又，，②即函数的图象关于直线对称，且由①和②，得，所以，则函数的一个周期为4，则，所以.故选：C11．A【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.【详解】设，则有，是奇函数，排除D；，排除B；当时，，排除C；故选：A.12．A【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，当时，，，故A正确，C错误.故选：A.13．AB【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.【详解】对于A，由函数定义域为，则，因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，函数定义域为R，且，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，则可得，令，，结合函数图象可设，，则，

所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；对于D，函数为对勾函数，在区间0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故D不正确.故选：AB.,14．ACD【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.【详解】A.因为，所以令得，所以，故A正确；B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故B错误；C.，，而，所以，，由，，，则，则，故C正确；当时，，，令，则，，则，即，故D正确.故选：ACD15．ABD【分析】根据条件，通过适当的赋值，即可判断出选项ABD的正误，选项C，通过取特殊的函数，即可判断出选项的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A，令，得，解得或，当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，故选项A正确，对于选项B，令，则，即，即为偶函数，所以选项B正确，对于选项C，取，满足题意，此时不是的极小值点，所以选项C错误，对于选项D，令，得，若，则，则，则，所以选项D正确，故选：ABD.16．ABD【分析】根据题意利用赋值法求得判断A，利用的对称性与奇偶性判断BC，利用的周期性判断D.【详解】对于A，因为函数的定义域为，为奇函数，所以，则，令，则，，故A正确；对于B，，所以，则，所以，故，故B正确；对于C，假设，则，又，函数的定义域为，所以即是奇函数又是偶函数，则恒成立，与题干矛盾，故C错误；对于D，因为，，所以，所以在上至少有两个零点，又，即为周期为4的偶函数，而，所以在区间上至少有个零点，故D正确.故选：ABD.17．AC【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.【详解】由，