2025年高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第1讲　空间几何体原卷版

第1讲空间几何体（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】空间几何体的折展问题 3【考点二】表面积与体积 4【考点三】多面体与球 7【专题精练】 8考情分析：空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·天津·高考真题）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东江苏·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．6．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为，升量器的高为．8．（2024·全国·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为．考点突破考点突破【考点一】空间几何体的折展问题核心梳理：空间几何体的侧面展开图(1)圆柱的侧面展开图是矩形．(2)圆锥的侧面展开图是扇形．(3)圆台的侧面展开图是扇环．一、单选题1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（

）A． B． C． D．2．（2024·重庆·三模）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（

）

A． B．1 C． D．2二、多选题3．（2024·云南昆明·一模）在矩形中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（

）A．三棱锥体积的最大值为 B．点都在同一球面上C．点在某一位置，可使 D．当时，4．（22-23高三上·江苏镇江·阶段练习）如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形ABCD为直角梯形，，，.在四棱锥中，则（

）A．平面PAD⊥平面PBDB．AD平面PBCC．三棱锥P-ABC的外接球表面积为D．平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为三、填空题5．（2023·陕西西安·一模）将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为.6．（20-21高三上·广东·阶段练习）一个圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为.规律方法：空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．【考点二】表面积与体积核心梳理：1．旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．2．空间几何体的体积公式(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．(3)V台＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R为球的半径)．一、单选题1．（2024·云南大理·模拟预测）如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽，塔顶宽约，侧面面积为，据此计算该揽月阁模型体积为（

）A．1400 B．2800 C． D．84002．（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（24-25高三上·广西·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（

）A．在四面体中，点的曲率为B．在四面体中，点的曲率大于C．四面体外接球的表面积为D．四面体内切球半径的倒数为4．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，四面体的底面是以为斜边的直角三角形，体积为，平面，，为线段上一动点，为中点，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积和三棱锥的体积相等B．当时，C．当时，D．四面体的外接球球心为，且外接球体积与之比的最小值是三、填空题5．（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为．6．（2024·北京·三模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，则双曲线的渐近线方程为．若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为．规律方法：空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．【考点三】多面体与球核心梳理：求空间多面体的外接球半径的常用方法(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．一、单选题1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图甲，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（

）A． B． C． D．2．（2024·福建·模拟预测）已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（

）A．49π B．56π C．65π D．130π二、多选题3．（2024·湖南郴州·模拟预测）在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（

）A．正三棱台的高为B．正三棱台的体积为C．与平面所成角的正切值为1D．正三棱台外接球的表面积为4．（2024·广东广州·模拟预测）在圆锥中，母线，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则（

）A．当时，圆锥内接圆柱体的体积最大值为B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为C．当时，圆锥能在棱长为4的正四面体内任意转动D．当时，棱长为1的正四面体能在圆锥内任意转动三、填空题5．（2024·湖南邵阳·三模）在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为．6．（2025·广东·模拟预测）已知球O是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则该圆锥的体积与球O的体积之比为．规律方法：(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（

）A． B．6 C． D．2．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（

）A．4 B． C． D．3．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（

）A． B．C． D．4．（2025·黑龙江大庆·一模）已知圆台的上､下底面半径分别为1和3，母线长为，则圆台的体积为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·天津·期中）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为，则该陀螺的表面积为（

）A． B． C． D．6．（2023·山东泰安·模拟预测）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（

）

A． B．C． D．7．（2024·贵州遵义·模拟预测）在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·山东·模拟预测）如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（

）A．B．该四棱台的侧面积为C．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面D．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为10．（21-22高二下·浙江绍兴·期末）在正方体中，点满足，其中，，则（

）A．当时，平面B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，的面积为定值D．当时，直线与所成角的范围为11．（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（

）A．若，则三棱锥外接球的表面积为B．若，则异面直线与所成角的余弦值为C．若，则面积的最小值为D．若存在实数使得，则的最小值为三、填空题12．（2025·江苏南通·一模）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为．13．（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为．14．（2024·江西九江·二模）将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体积之和的最大值为．四、解答题15．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积16．（2022·陕西榆林·模拟预测）如图，已知三棱柱中，，平面，，M为边上的动点．(1)当时，求证：平面；(2)求三棱锥的体积．17．（2024·上海·模拟预测）设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”.(1)计算正方