2025年高考数学二轮复习 专题三 数列 第4讲　子数列与增减项问题原卷版

第4讲子数列与增减项问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】奇数项、偶数项 2【考点二】两数列的公共项 4【考点三】数列有关增减项问题 5【专题精练】 6考情分析：子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列．真题自测真题自测一、解答题1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．2．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求．考点突破考点突破【考点一】奇数项、偶数项一、单选题1．（2024·全国·二模）数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（

）A．，且B．当，且时，数列是递减数列C．D．2．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）数列an前n项和为，且满足，，则（

）A． B．C． D．数列的前项和为4．（2024·全国·模拟预测）已知数列中，，当为奇数时，，当为偶数时，，则（

）A．数列是递减数列 B． C． D．三、填空题5．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则.6．（2024·云南曲靖·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则，数列的前50项和为．四、解答题7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.8．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足当时，(1)求和，并证明当为偶数时是等比数列；(2)求规律方法：(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的类型；③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；④已知条件明确的奇偶项问题．(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.【考点二】两数列的公共项一、单选题1．（2024·河南·二模）已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（

）A．134 B．135 C．136 D．1372．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（

）A．1678 B．1666 C．1472 D．1460二、多选题3．（2021·湖北黄冈·模拟预测）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（

）A． B．C．的前项和 D．的前项和为4．（2022·河北·模拟预测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有（

）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．数列的前n项和为三、填空题5．（2024·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为．6．（2023·湖南邵阳·模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于.规律方法：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．【考点三】数列有关增减项问题一、单选题1．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（

）A． B．-13 C． D．-142．（2022·全国·模拟预测）某社团专门研究密码问题．社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后的前6位数字．编码方式如下；①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即；若x为奇数．则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即③N为数列的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位．所以．前11项中有所以有8个奇数．故，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为（

）A．125786 B．199600 C．200400 D．370370二、多选题3．（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（

）A．B．当时，C．当时，不是数列中的项D．若是数列中的项，则的值可能为74．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为.6．（2024·河南安阳·三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，则；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则．规律方法：解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·河南南阳·一模）已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2，且，设数列满足，，则数列的前20项的和为（

）A． B． C． D．2．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（

）A．511 B．677 C．1021 D．20373．（2023·河南·二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为记数列的前n项和为，则（

）参考公式：.A．169125 B．169150 C．338300 D．3383254．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．5．（2024·河北秦皇岛·二模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（

）A．3255 B．5250 C．5430 D．62356．（23-24高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（

）A．1 B． C． D．7．（2023·江西南昌·二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81928．（22-23高二上·浙江金华·期末）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（

）A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增二、多选题9．（2023·河南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列an的前项和为，其通项公式.则（

）参考公式：A．是数列中的项 B．C． D．10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（

）A．B．当时，C．当时，不是数列中的项D．若是数列中的项，则k的值可能为611．（2024·浙江绍兴·二模）已知数列与满足，且，.若数列保持顺序不变，在与项之间都插入个后，组成新数列，记的前项和为，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则．13．（2023·广东广州·一模）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则.14．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列an与数列bn的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为．四、解答题15．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，.(1)求的通项公式；(2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值.16．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且．(1)证明：是等差数列；(2)记，求数列的前2n项和．17．（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足．(1)求和的通项公式；(2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的