2025年高考数学二轮复习 专题三 数列 第1讲　等差数列、等比数列解析版

第1讲等差数列、等比数列（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 8【考点一】等差数列、等比数列的基本运算 8【考点二】等差数列、等比数列的性质 11【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明 15【专题精练】 21考情分析：1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列an的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·全国·高考真题）记为等差数列an的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．155．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．6．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．408．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．二、填空题9．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.10．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则.参考答案：题号12345678答案DCBCBCCC1．D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D2．C【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，，此时.

故选：C3．B【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.【详解】由，则，则等差数列的公差，故.故选：B.4．C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.5．B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故选：B6．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则Sn因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1-S即nan+1-Sn两式相减得：an=nan+1-(n-1)因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则Snn=反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1即，，当时，上两式相减得：Sn-Sn-1于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7．C【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.8．C【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．9．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.故答案为：.10．【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设an的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：.考点突破考点突破【考点一】等差数列、等比数列的基本运算核心梳理：等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差数列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比数列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))一、单选题1．（2024·湖南长沙·一模）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（

）A．413 B．427 C．308 D．1332．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题3．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，则成立的是（

）A．B．的最大值是C．D．当时，最大值为4．（23-24高三上·河南·期末）设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（

）A． B．的公比为2 C． D．三、填空题5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则.6．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则.参考答案：题号1234答案ABBCBC1．A【分析】根据题意，初日4德拉玛，以后每日等量增加5德拉玛，故每日德拉玛数依次构成等差数列an，利用等差的通项公式和前项和公式求解.【详解】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列，设数列首项为，公差为，则，.则通项公式，，，则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为：.故选：A2．B【分析】利用等比数列的性质，成等比数列，可解出.【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，所以成等比数列，则，即，解得或.设等比数列公比为，则，，则，得.故选：B3．BC【分析】根据已知条件求得的关系式，再根据等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等差数列的公差为，，A选项错误.所以，C选项正确.所以的最大值是，B选项正确.由于时，，是单调递减数列，所以当时，没有最大值，D选项错误.故选：BC4．BC【分析】令求出，由分别求出，由等比性质求出，进而求出和，结合等比通项公式可求.【详解】因为，所以．因为an是等比数列，所以，即，解得，则错误；an的公比，则B正确；因为，所以，则C正确；因为，所以，所以，则D错误．故选：BC5．【分析】由已知关系，结合等差数列前n项和公式、等差中项性质即可求结果.【详解】由，即.故答案为：6．【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设an的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：.规律方法：等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．【考点二】等差数列、等比数列的性质核心梳理：1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．(2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an.一、单选题1．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．9 B．16 C．21 D．252．（2024·湖北武汉·模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（

）A．31 B．32 C．63 D．64二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（

）A．B．是数列的公比C．数列可能为等比数列D．数列不可能为常数列4．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列an的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A．当最大B．使得成立的最小自然数C．D．中最小项为三、填空题5．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则.6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差数列中，为前项和，，则.参考答案：题号1234答案CCABDBD1．C【分析】根据等比数列的性质求，即可求解.【详解】由等比数列的性质可知，，即，得，.故选：C2．C【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得，进一步得

，结合数列单调性即可得解.【详解】由题意，所以，所以，即，显然关于单调递增，其中，又，所以的最大值为63.故选：C.3．ABD【分析】设出等比数列的公比为，分和两种情形，分别表示出，并与比较对照，分别用和表示出，然后逐一分析判断各选项即可.【详解】设等比数列的公比为，若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列，而不是关于的一次函数，所以，数列不可能为常数列，故D正确；因为，所以，又，所以，故B正确；，故A正确；因为，也均不为0，所以不可能为一常数，即数列不可能为等比数列，故C错误.故选：ABD4．BD【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D,【详解】根据题意：，即，两式相加，解得：，当时，最大，故A错误由，可得到，所以，，所以，故C错误；由以上可得：，，而，当时，；当时，；所以使得成立的最小自然数，故B正确.当，或时，；当时，；由，所以中最小项为，故D正确.故选：BD.5．5【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得，，因为，，，，成等比数列，故，即，解得，则，所以，，故.故答案为：6．【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列中，又，所以，所以.故答案为：规律方法：等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．【考点三】等差数列、等比数列的判断与证明核心梳理：等差数列等比数列定义法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通项法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n项和法Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．一、解答题1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．2．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:.(1)证明:是等比数列;(2)求数列的前项和.3．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.4．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．5．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设为数列的前项和，已知，且为等差数列．(1)求证：数列为等差数列；(2)若数列满足，且，求数列的前项和．6．（23-24高三上·山西太原·期末）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，（i）证明：为等比数列；（ii）证明：当时，.参考答案：1．(1)(2)【分析】（1）根据条件可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可求出结果.【详解】（1）由，可得，又，故数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．2．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可;（2）先根据第（1）问的求出数列的通项公式,再利用等差数列和等比数列的前项和公式分组求和即可.【详解】（1）由得,,又,故是以为首项,为公比的等比数列.（2）由（1）知,,则,故.3．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用整理化简可得，再结合得到数列an为等差数列，即可求出数列an的通项公式，将数列an的通项公式代入，计算即可得结论；（2）利用数列an的通项公式即可得数列b（3）先利用错位相减法求出，再将恒成立转化为，构造，计算的正负确定其单调性，进而可得最值.【详解】（1）当时，，解得；当时，，所以，整理得，①所以，②由①-②得，所以数列an为等差数列，因为，所以数列an的公差为，所以.设，则，因为（常数），所以数列是等差数列；（2）设数列bn的公比为，结合（1）及已知得，解得，所以；（3）由（1）（2）得，，所以，①又②①-②，得，所以，由，解得.设，则，故，因为，故恒成立，知单调递减，故的最大值为，则，即的取值范围为.4．(1)(2)【分析】（1）由可得，由等比数列定义可得是首项为2，公比为2的等比数列，即可得的通项公式，即可得；（2）由错位相减法求和即可得.【详解】（1）因为，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．所以，即；（2）由（1）知．设前项和为，则，，两式相减可得，所以.5．(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助等差数列的性质与与的关系计算即可得；（2）借助累乘法可计算出数列，借助裂项相消法可得.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，①因为，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，当时，，当时，，上式也成立，所以，所以数列是等差数列；（2）由（1）可知，当时，，因为满足上式，所以．．6．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式即可得解.（2）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式首先得递推公式，（i）由等比数列定义证明即可；（ii）当时，结合单调性分奇偶讨论即可证明.【详解】（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，根据题意，，，，由全概率公式，得；（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，，，由全概率公式，得，即，，，是以为首项，为公比的等比数列；（ii）由（i）可得，当为大于1的奇数时，；当为正偶数时，.规律方法：(1)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列．(3)证明{an}不是等比数列可用特值法．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·广东佛山·二模）设数列an的前项之积为，满足（），则（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）记为等差数列的前项和，若，则（

）A．20 B．16 C．14 D．124．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·江苏南通·二模）若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．6．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（

）A．10 B．18 C．36 D．408．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若为等差数列，，则下列说法正确的是（

）A．B．是数列中的项C．数列单调递减D．数列前7项和最大10．（2023·山东德州·模拟预测）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（

）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D．数列前项和为，最大11．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（

）A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值三、填空题12．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则．13．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为.14．（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，若，则实数．四、解答题15．（2023·四川南充·一模）已知数列an是首项为2的等比数列,且是和的等差中项．(1)求an(2)若数列的公比,设数列bn满足,求bn的前2023项和．16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列an的前项和为，，等比数列bn的公比为，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前10项和．17．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列对任意正整数满足：．(1)若为等差数列，求；(2)若，求的前项和．18．（2024·山东·二模）已知an是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.(1)求数列an(2)设，求数列bn的前项和.19．（2023·湖南常德·一模）已知数列满足（）.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求的前n项和.参考答案：题号12345678910答案CDDBBCDAACDAD题号11答案AD1．C【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值．【详解】因为，所以，即，所以，所以，显然，所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，即，所以．故选：C．2．D【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.3．D【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得．【详解】∵是等差数列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故选：D．4．B【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性.【详解】因为，所以且，则，若，不妨令，则，，，，，，显然不单调，故充分性不成立，若为递减数列，则不是常数数列，所以单调，若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾；所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立，故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.故选：B5．B【分析】利用等比中项，结合三角恒等变换求解即得.【详解】由，，成等比数列，得，即，，所以.故选：B【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.6．C【分析】根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解.【详解】根据题意，设等比数列的公比为，若，即，故．故选：C．7．D【分析】由已知可得，再由等比数列片段和的性质和等比中项的性质求出即可.【详解】易知，为等比数列，，代入数据可得，解得或（舍）所以.故选：D.8．A【分析】由递推关系式结合等比数列通项公式可得，再由裂项相消求和可得，利用数列的函数特性可得.【详解】由可得,即数列是以为首项，公比的等比数列，可得，即；所以，因此，且当x趋近于+∞时，趋近于，所以实数k的取值范围为.故选：A9．ACD【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，由，得，故B错误，因为，所以数列单调递减，故C正确，由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD10．AD【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；利用等差数列的定义可判断C选项；令，分析可知，，可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则为递增数列，所以，，与矛盾，若，则为常数列，所以，，与矛盾，若，则为递减数列，则，由可得，合乎题意，A对；对于B选项，由A选项可知，，，，，所以，当时，的最大值为，B错；对于C选项，，则，所以，，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，C错；对于D选项，由得，由得，由得，即，令，，则等差数列为递减数列，且