2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第4讲　范围、最值问题原卷版

第4讲范围、最值问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】范围、最值问题 3【专题精练】 5考情分析：1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．真题自测真题自测一、解答题1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.(1)若离心率时，求的值．(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值．考点突破考点突破【考点一】范围、最值问题一、单选题1．（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2二、多选题3．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的共轭双曲线方程为C．当点位于双曲线右支时，D．点到两渐近线的距离之积为4．（23-24高三上·山东德州·期末）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（

）A．平面上点的最小值为B．直线的方程为C．过点作，垂足为，则（为坐标原点）D．四边形面积的最小值为4三、填空题5．（2022高三·全国·专题练习）抛物线上的点到直线的最短距离是．6．（22-23高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为．四、解答题7．（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆的两焦点，且椭圆过.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围8．（21-22高二上·上海长宁·期末）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.9．（2022·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．(1)求曲线K的方程；(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．规律方法：求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系．(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．(4)利用基本不等式．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点P是椭圆上的动点，则点P到直线的距离最小值为（

）A． B．5 C． D．3．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知双曲线：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是，，离心率为2，点P在上，若直线，的斜率之和为，的面积为，则（

）A．1 B． C． D．24．（2022高三·全国·专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．5．（22-23高二下·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知抛物线C：，点M在C上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若面积的最小值为，则（

）A．44 B．4 C．4或44 D．1或47．（22-23高二上·北京延庆·期末）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（

）．A．2 B． C．3 D．48．（2023·山东日照·一模）已知椭圆：的左、右焦点为，，点为椭圆内一点，点在双曲线：上，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（

）A．周长的最小值为18B．四边形可能为矩形C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是D．的最小值为-110．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知为双曲线的右焦点，直线与该双曲线相交于两点（其中在第一象限），连接，下列说法中正确的是（

）A．的取值范围是B．若，则C．若，则点的纵坐标为D．若双曲线的右支上存在点，满足三点共线，则的取值范围是11．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．是定值C．是定值 D．三、填空题12．（21-22高二上·江苏镇江·期中）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围为.13．（21-22高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是.14．（2023·江苏南通·模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为.四、解答题15．（22-23高三上·天津南开·期末）已知椭圆C：的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，（i）求的取值范围；（ii）求的面积.16．（2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系中，圆Γ的圆心P在y轴上（不与重合），且与双曲线的右支交于A，B两点．已知．(1)求Ω的离心率；(2)若Ω的右焦点为，且圆Γ过点F，求的取值范围．17．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.18．（2024·湖北·一模）已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且．(1)求的方程；(2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两