2025年高考数学二轮复习 专题二 三角函数与解三角形 第4讲　平面向量数量积的最值与范围问题原卷版

第4讲平面向量数量积的最值与范围问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】求参数的最值(范围) 3【考点二】求向量模、夹角的最值(范围) 4【考点三】求向量数量积的最值(范围) 5【专题精练】 7考情分析：平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则PA⋅PB的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．4．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示，若，则的最大值为5．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．7．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为.考点突破考点突破【考点一】求参数的最值(范围)一、单选题1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（

）

A．1 B．2 C．4 D．2．（2022·全国·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．4 D．2二、多选题3．（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为1 B．的最大值为C．的最大值为12 D．的最小值为44．（2024·江苏·二模）在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（

）A．， B．为定值C．的最小值50 D．的最大值为三、填空题5．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为；的最小值为.6．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是.规律方法：利用共线向量定理及推论(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.【考点二】求向量模、夹角的最值(范围)一、单选题1．（2024·河北石家庄·二模）在平行四边形中，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．2二、多选题3．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知是同一平面内的四点，且，则（

）A．当点在直线的两侧时，B．当点在直线的同侧时，C．当点在直线的两侧时，的最小值为3D．当点在直线的同侧时，4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则（

）A． B．C．当时，最小 D．的最小值为三、填空题5．（2023·天津河西·一模）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示．若，则余弦值的最小值为．6．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为；若的面积为，则的最小值为．规律方法：找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．【考点三】求向量数量积的最值(范围)一、单选题1．（23-24高三下·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（

）

A． B．C． D．2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（

）A． B．5,7 C． D．二、多选题3．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（

）A． B．的最大值为C． D．若，则的最小值为4．（2024·福建龙岩·一模）已知点与圆是圆上的动点，则（

）A．的最大值为B．过点的直线被圆截得的最短弦长为C．D．的最小值为三、填空题5．（2024·天津·二模）在四边形中，为中点．记，用表示；若，则的最大值为．6．（2024·天津·一模）在中，，则；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是．规律方法：向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（

）A．4 B．2 C． D．5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．47．（2024·安徽·模拟预测）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（

）A．0 B．-2 C．-4 D．8．（2024·辽宁·模拟预测）在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（

）A． B．C．角A的最大值为 D．面积的最大值为10．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（

）A．一定可以作为一个基底B．一定有最小值C．一定存在一个实数使得D．的夹角的取值范围是11．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（

）A．若，则的轨迹的长度等于2B．若，则的轨迹方程为C．若，则的轨迹与圆没有交点D．若，则的最大值为3三、填空题12．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为．13．（22-23高二下·上海浦东新·期末）古希腊著名数学家