5.5三角恒等变换【七大必考点+八大秒杀招+九大题型+分层训练】高一数学题型归类（解析版）

5.5三角恒等变换【七大必考点+八大秒杀招+九大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01两角和与差的余弦、正弦、正切公式名称简记符号公式适用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R两角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠1两角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠－1知识点02两角和与差的余弦公式的灵活运用要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式．(1)顺用公式，如：cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(2)逆用公式，如：cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.(3)变用公式，如：cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.知识点03两角和与差的正切公式的灵活运用(1)正切公式的逆用eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(2)正切公式的变形应用tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；1＋tanαtanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β).知识点04二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)知识点05二倍角公式的变形(1)(2)sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα).(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.知识点06“二倍”的含义倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．知识点07万能公式用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).解题大招解题大招大招01在利用两角差的三角公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值．逆用公式时充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式．大招02两角差的余弦公式常见题型及解法:①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解;②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解;③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.大招03公式的运用有三种:①正用;②逆用;③变形用，都要熟练.大招04给值求值（1）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．（2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系．大招04给值求角问题的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．大招05二倍角公式的给值求值寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．大招06二倍角公式的给角求值（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．大招07利用二倍角公式给值求角问题的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．大招08在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步．题型分类题型分类题型01两角和与差的三角函数公式的应用【例1】已知sinα+7π12cosA．15 B．−15 C．3【解题思路】根据α+3π4【解答过程】因为sinα+所以cosπ12+α所以cos2π3即−1所以sinα+所以cos2α+5=−2故选：D．【变式1-1】已知sinπ2−θ=5A．3 B．−13 C．−3 【解题思路】根据题意，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，求得tanθ=−2【解答过程】因为sinπ2−θ又因为θ∈−π2所以tanθ=sinθ故选：B.【变式1-2】已知α，β都是锐角，cosα=17，cosα+β=−A．12 B．3998 C．5998【解题思路】利用同角三角函数之间的关系可求得sinα，sin【解答过程】由cosα=17，cosα+β=−1114以及α所以cos=−11故选：A.题型02利用和（差）角公式化简、求值【例2】已知sinα−sinβ=1−32，cosA．−32 B．−12 C．【解题思路】先求出sinα−sinβ=1−32【解答过程】因为sinα−所以(sin因为cosα−所以(cos所以cos2所以1+1−2(cos所以2−2cos故cos(α−β)=故选：D．【变式2-1】若sinπ4−α−β=−1A．−25 B．265 C．【解题思路】由题得sinπ【解答过程】由题sin==2所以sinα+β故选：C.【变式2-2】化简下列各式：(1)cosα+β(2)sinθ+105°(3)cosθ+(4)tanα−β【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据两角和差的正余弦公式及正切公式即可求解．【解答过程】（1）cos(α+β)cosβ+sin(α+β)（2）sin(θ+105°)cos(θ−15°)−cos(θ+105°)（3）cos(θ+π4)+sin（4）tan(α−β)+tanβ题型03两角和与差的三角函数公式的逆用及变形【例3】cos162∘cosA．32 B．12 C．−3【解题思路】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可.【解答过程】cos=−=cos故选：A.【变式3-1】tan3π4A．3 B．−3 C．−33【解题思路】根据题意利用诱导公式结合两角和差公式运算求解.【解答过程】由题意可得tan=tan所以tan3故选：A.【变式3-2】利用和（差）角公式计算下列各式的值：(1)sin72°(2)cos20°(3)1+【解题思路】（1）根据正弦两角差公式运算求解；（2）根据余弦两角和公式运算求解；（3）根据正切两角和公式运算求解.【解答过程】（1）由题意可得：sin72°（2）由题意可得：cos20°（3）由题意可得：1+tan题型04辅助角公式的应用【例4】函数f(x)=3sin4x+A．−2,π2 B．−2,π2【解题思路】首先利用辅助角公式，化简函数，再求函数的最值和周期.【解答过程】f(x)=3=2sin所以函数的最小值为−2，周期为2π故选：B.【变式4-1】已知23sinα=1+2cosα,α∈A．7+3516 B．−78 C．【解题思路】根据辅助角公式合二为一，再换元，结合同角三角函数式,二倍角公式和两角和的正弦公式，计算即可.【解答过程】由1+2cosα=23sinα令θ=α−π6∈(π2sin2θ=2且α=θ+π6，则则sin(2α−故选：C．【变式4-2】已知函数fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,【解题思路】（1）利用二倍角公式整理函数的表达式为fx=a−12sin2x+3（2）由（1）知fx=sin2x+π3，当x∈0,【解答过程】（1）f=a−1因为fπ4=12所以fx=12sin（2）当x∈0,π时，当2x+π3=π2当2x+π3=3π2即x=7π12时fx最小值为−1，x=题型05利用二倍角公式化简【例5】已知α∈0,π4，化简2−2A．2sinα B．−2sinα 【解题思路】由倍角公式化简即可.【解答过程】∵α∈0,2−2sin2α=故选：B.【变式5-1】化简21−sin4+2+2A．2sin2 B．−2sin2 C．【解题思路】根据正弦、余弦的二倍角公式即可求解．【解答过程】21−sin4+2+2cos4故选C.【变式5-2】若x∈−π,−π2A．2cosx2 B．2sinx2【解题思路】根据二倍角公式化简，结合三角函数的性质判断正负即可求解.【解答过程】1−sinx+由于x∈−π,−π2，所以x故sinx进而sinx故选：D.题型06利用二倍角公式求值【例6】已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边过点(2,−1)，则cos2α−π4A．4225 B．−7225 【解题思路】由三角函数定义可得cosα=25【解答过程】由三角函数的定义，得cosα=25所以sin2α=2sinαcos2α=2cos2α−π4故选：D.【变式6-1】若tanα+π4=3，则A．1 B．65 C．75 【解题思路】借助两角差的正切公式可得tanα【解答过程】由tanα+则tanα=故sin==2×故选：C.【变式6-2】已知tanα=17，tanβ=1(1)求sin2α(2)求α+2β的值.【解题思路】（1）利用二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结论.（2）利用二倍角公式得tan2β=34【解答过程】（1）由tanα=17（2）由tanβ=13，得tan因此tan(α+2β)=又α，β为锐角，且tanα=17因此0<α+2β<3所以α+2β的值是π4题型07三角恒等式的证明【例7】证明下列恒等式：(1)sinα+β(2)tanθ+【解题思路】（1）运用恒等变换公式，同角三角函数的商数关系即可化简；（2）运用两角和的正切公式证明即可．【解答过程】（1）sin(α−β)sin==tan（2）tan(θ+π=tan【变式7-1】证明下列三角恒等式：(1)sinx(2)1+sin【解题思路】（1）利用正切差角公式及同角三角函数关系进行化简，得到答案；（2）利用二倍角公式，化弦为切，证明出结论.【解答过程】（1）∵tanx−∴1+==sin∴sinx（2）1+==sin【变式7-2】在锐角△ABC中，求证：(1)tanA+(2)tanA【解题思路】（1）利用锐角△ABC，通过内角和与两角和的正切公式结合将tanA+tanB（2）对左式提取tanB2，对tanA2+tanC【解答过程】（1）由A+B+C=π，且在锐角△ABC中，故A+B=两边取正切得：tan(A+B)=tan(整理得tanA+（2）在锐角△ABC中，有A+B+C=π，则A+C则tanA+C又tanA+C则左式====1−tan故原式成立.题型08利用三角恒等变换判断三角形的形状【例8】在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得sinA【解答过程】因为coscos所以sinA因为sin则−又A+B=π所以cosC=−所以−所以cosA−B又A,B为△ABC的内角，所以A−B=0.所以A=B，故△ABC为等腰三角形.故选：C.【变式8-1】已知△ABC，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且sinA+sinB=cosA+A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形【解题思路】根据给定条件，利用和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答.【解答过程】依题意，sin(则有2sinA+B2cosA−B2=2因此tanA+B2=1，又0<A+B2所以△ABC是直角三角形.故选：A.【变式8-2】在△ABC中，已知sinBsinC=cos2A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【解题思路】由二倍角公式可得，cos2A2=121+cosA【解答过程】因为sinBcosB+C所以，cosBcosC因为B,C∈0,π，所以所以B=C，即△ABC为等腰三角形.故选：A．题型09三角恒等变换的实际应用【例9】筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为ℎ0.4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为ℎ1，若

A．π12 B．π6 C．π4【解题思路】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．【解答过程】如图，

过O作直线l与水面平行，过P0作P0A⊥l，垂足为点A，过P1作设∠AOP0=α，∠BOP1则sinα=P0所以，sinβ−所以sinα+整理可得sinα−因为0<α<π2，则−π3<α−故选：A.【变式9-1】某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC（AC>5）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE，如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度∠CAB=30°．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为39．当人运动到AC中点P时，PE=（

A．57 B．53 C．5 【解题思路】当人在A点时，根据两角和的正切公式求出BC和AB，当人运动到AC中点P时，作PQ⊥BC于点Q，由勾股定理即可求解PE．【解答过程】由题意，E为CD的中点，由DE=5，得EC=5，当人在A点时，如下图所示，设BC=x，则AB=3在△DAB中，tan∠DAB=在△EAB中，tan∠EAB=因为tan∠DAB=所以39+5+x3x因为AC>5，所以x>52，则BC=5，则当人运动到AC中点P时，作PQ⊥BC于点Q，如下图所示，则PQ=12AB=所以EQ=EC+CQ=5+5在Rt△PQE中，故选：B．【变式9-2】已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记∠COB=θ，矩形ABCD的面积为S(1)当θ=π6时，求矩形ABCD的面积(2)求S关于角θ的解析式，并求S的最大值.【解题思路】（1）根据直角三角形得出BC=sinθ，AB=cosθ−33sin（2）根据三角函数的性质即可求出S的最大值.【解答过程】（1）在Rt△OBC中，OB=cosθ，BC=sinθ∴OA=33DA=∴S=AB⋅BC==12=333当θ=π6时，（2）由（1）知S=由0<θ<π3得π6<2θ+π6<分层分层训练【基础过关】1．已知角的终边经过点3,−4，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（

）A． B．7 C． D．【答案】B【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可.【详解】角的终边经过点3,−4，则将角的终边顺时针旋转后得到角，则.故选：B.2．已知，，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出即可得解.【详解】由，得，而，因此，所以.故选：C3．的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二倍角公式化简，即可根据周期公式求解.【详解】，故最小正周期为，故选：C4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对齐次式分子分母同除得到关于的等式，解得的值，用正切的和差角公式即可得出结果.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：D.5．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可得答案.【详解】.故选：A6．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由诱导公式得到，进而由诱导公式和二倍角公式求出答案.【详解】，.故选：C7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用凑角法得到方程，两式相加得到.【详解】①，②，由①②相加，得，所以.故选：A.8．已知函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与的关系，可采用换元法转化为关于的二次函数最大值的求解问题，根据的范围和二次函数性质可求得结果.【详解】，，令，则，则，，即的最大值为.故选：A.9．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对称得，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可.【详解】由题意，即，而，．故选：A．10．若函数，又，且的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】根据三角恒等变换可得，即可根据最大值和最小值求解得解.【详解】，由于，结合，，故分别为的最大值点和最小值点，由于的最小值为，故,解得.故选；A11．（多选）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】利用诱导公式判断A、C，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用同角三角函数的基本关系求出，再由及两角差的正弦公式判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：因为，所以，又，，所以，则，所以，故D正确.故选：ABD12．（多选）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】A选项，两式平方后相加得到；D选项，由得到；B选项，利用同角三角函数关系得到；C选项，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.【详解】A选项，因为，两式平方后相加可得，所以，故A错误；D选项，因为，所以，又，故，由于，故，又，所以，故D正确；B选项，，故B正确；C选项，，故，故C错误.故选：BD.13．（多选）下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】A选项，逆用余弦差角公式化简；B选项，利用正切和角公式化简；C选项，利用辅助角公式得到答案；D选项，利用正弦和角公式求出答案.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：BCD.14．已知函数的表达式为.(1)求函数的单调增区间；(2)求方程在上的解.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可；（2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可.【详解】（1）由，令，解之得，即该函数的单调增区间为；（2）由（1）知：，所以若，即，因为，所以，则满足题意的或，即或.15．已知函数，且的最小正周期为．(1)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简的解析式，根据的最小正周期求得，利用三角函数图象变换的知识求得，再根据是偶函数来求得的最小值.（2）根据三角恒等变换的知识求得.【详解】（1），由于的最小正周期为，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，由于是偶函数，所以，由于，所以时，取得最小值为.（2），由于，所以，所以.

【能力提升】1．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.【详解】由，则，，，由，易知，解得，由，，且，则，可得，所以，当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，此时；当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，；故选：B.2．函数是（

）A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减【答案】B【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D.【详解】定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，又，令，，，当时，即，有最小值，最小值为，当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确；因为，所以为周期函数，因为在上单调递减，在上单调递减，当，，令，，，在单调递减，在单调递增，当，，令，，，在单调递减，由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增；故C，D错误，故选：B.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可.【详解】，再由，可知，即，则.故选：D.4．若，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，结合三角恒等变换可求值.【详解】因为，，，，所以，，所以，则．故选：D.5．已知为第一象限角，且，则（

）A．9 B．3 C． D．【答案】B【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出，再结合二倍角公式化简求值，即可得答案.【详解】由题意知为第一象限角，且，故，解得或（舍去），则，故选：B6．已知函数，则关于的方程：的实根个数为：(

).A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简，再设，将问题转化为和的交点问题，数形结合得到其交点的范围，再次数形结合即可得解.【详解】因为，令，，则换元整理为，作出图像和在上的大致图象，由图可知两函数在定义域内有两交点，即方程在定义域内有2个实根分别为，，再作出y=fx的图像，用和与之相交，共有8个实根.故选：D.7．已知，是方程的两根，则（

）A． B． C． D．43【答案】D【分析】先根据韦达定理计算得出，再应用二倍角的正切公式计算即可.【详解】因为是方程的两根，所以，所以，则.故选：D.8．已知函数，则下列结论不正确的是（

）A．函数的图象对称轴为 B．函数为偶函数C．函数在区间上单调递增 D．的最小值为【答案】A【分析】利用辅助角公式将转化为，再结合三角函数性质逐项分析判断.【详解】对于A：令，得，故A错误；对于B：是偶函数，故B正确；对于C：，，单调递增，故C正确；对于D：的最小值为-2，故D正确.故选：A.9．在平面直角坐标系中，，与原点距离最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用两点间距离公式以及余弦的二倍角公式求解.【详解】由已知得点到原点的距离为因为，所以，即，所以点到原点的距离的最大值为，故选：.10．已知函数，若对任意的，在区间上的值域均为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在上的值域和题设条件，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围.【详解】因，显然，当时，，因，在上的值域均为，故区间长度必须大于一个周期，即，解得.故选:D．11．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是的一个周期 B．在上有2个零点C．的最大值为 D．在上是增函数【答案】ABC【分析】对于A利用诱导公式结合函数周期性的定义判断，对于B将给定函数化简后结合余弦函数的性质求解零点个数判断，对于C利用换元法转化为二次函数，再求解二次函数的最值判断，对于D举反例判断即可.【详解】对于A，因为，所以是的一个周期，故A正确，对于B，因为，所以令，解得或，当时，，故舍去，当时，而，，，，由余弦函数性质得在上单调递减，在上单调递增，而，我们分为不同区间进行讨论，当时，得到，所以此时在上存在一个根，当时，得到，所以此时在上存在一个根，综上可得在上有2个零点，故B正确，对于C，令，故可化为，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，且，，故最大值为，即的最大值为，故C正确，对于D，由题意得，，所以在上不可能是增函数，故D错误.故选：ABC12．（多选）已知函数的最大值为1，