4.4对数函数【四大必考点+十三秒杀招+九大题型+分层训练】高一数学题型归类（解析版）

4.4对数函数【四大必考点+十三秒杀招+九大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01对数函数一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).对数函数的特征(1)logax的系数是1；(2)logax的底数是不等于1的正数；(3)logax的真数仅含自变量x.知识点02对数函数的图象和性质定义y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性增函数减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝logeq\f(1,a)x的图象关于x轴对称趋势在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴知识点03反函数的概念对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域.知识点04底数对对数函数图象的影响以及图象的特点(1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)：(2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logeq\f(1,a)x(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．解题大招解题大招大招01判断一个函数是对数函数的方法大招02对数型函数的定义域（1）求对数型函数定义域的原则①分母不能为0.②根指数为偶数时，被开方数非负．③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形．(2)给定解析式求定义域的限制条件如下:①分母不为0;②偶次方根下非负;③中x≠0;④对数的真数大于0;⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1.求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.大招03求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．大招04对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．大招05对数型函数的图象过定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．大招06根据对数函数的图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．大招07形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．(3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．大招08比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不相同时，找中间量．提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小大招09常见对数不等式的2种解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．大招10根据对数型函数的单调性求参数已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．大招11与对数函数有关的函数的奇偶性要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．大招12求反函数的步骤(1)求出函数y＝f(x)的值域；(2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；(3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．大招13(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称．题型分类题型分类题型01对数函数的判断与求值【例1】下列函数，其中为对数函数的是（

）A．y=log12(−x) B．y=2log4【答案】C【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.【详解】函数y=log12函数y=ln函数y=log(a2+a)x的底数含有参数故选：C【变式1-1】下列函数是对数函数的是（

）A．y=log2x B．y=lnx+1 【答案】A【分析】根据对数函数的定义判断即可.【详解】解：对数函数y=logax（a>0且a≠1），其中a对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是x+1，不是自变量x，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数．故选：A．【变式1-2】函数y=loga−25−aA．52 C．4 D．5【答案】AC【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可.【详解】因为x2所以根据对数函数的定义得：a−2>0a−2≠1即：a>2a≠3a<5，所以2<a<3或故选：AC.题型02对数函数的解析式【例2】已知对数函数的图象过点M9,−2，则此对数函数的解析式为（

A．y=log2xC．y=log13【答案】C【分析】设对数函数解析式求参即可.【详解】设对数函数为y=logM9,−2代入可得−2=所以a−2则对数函数的解析式为y=log故选：C.【变式2-1】对数函数的图象过点16,2，则对数函数的解析式为.【答案】y=【分析】根据对数函数的概念直接求解即可.【详解】设对数函数的解析式为y=logax(a>0由已知可得loga16=2，即解得a=4，即函数解析式为y=log故答案为：y=【变式2-2】已知对数函数fx的图象过点8,3，则f1【答案】−5【分析】假设函数解析式fx=logax，代入点8,3【详解】设fx=log∵fx过点8,3，∴loga8=3，即a3∴f1故答案为：−5.题型03对数函数的定义域【例3】函数f(x)=2−xlgxA．(−∞,2] B．(−∞,0)∪(0,2]C．(0,2] D．(0,1)∪(1,2]【答案】D【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可.【详解】由题意得：2−x≥0lgx≠0x>0故选：D.【变式3-1】函数y=loga−37−a中，实数aA．−∞,7 C．3,4∪4,7 【答案】C【分析】根据对数函数的定义列式求解即可.【详解】因为y=loga−37−a，则7−a>0a−3≠1a−3>0所以实数a的取值范围是3,4∪故选：C.【变式3-2】函数fx=3−xA．x|x≥3 B．x|x<1 C．x1≤x≤3 D．【答案】D【分析】根据函数的定义域即可求解.【详解】3−x≥0x−1>0所以函数fx=3−x故选：D题型04求对数函数的在区间上的值域【例4】已知函数fx=lnx,1A．ln12,C．log92,ln【答案】A【分析】分别求每段函数的值域，再求并集.【详解】y=lnx在12y=log9x在2,4因为ln12<所以函数的值域是ln1故选：A【变式4-1】函数fx=log2x−2A．−32,1C．12,3 【答案】B【分析】判断出fx=log【详解】∵a=2>1，∴fx=log∴fx=log当x=2时，f当x=8时，f8∴fx=log2x−2故选：B．【变式4-2】函数y=2+log5xA．2,+∞ B．C．2,+∞ D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质，先求函数y=log【详解】由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是故选：C题型05对数型函数图象过定点问题【例5】函数y=loga3x−5+2的图象恒过定点P，点P在幂函数fA．13 B．3 C．3 【答案】C【分析】由真数等于1，求出定点P的坐标，设幂函数fx=xα，将点P的坐标代入幂函数fx=x【详解】令3x−5=1，得x=2，当x=2时，y=loga3×2−5+2由于函数fx为幂函数，设f将点P的坐标代入fx=xα，得∴fx=x故选：C.【变式5-1】函数y=logax−1+2（a>0，且A．1,0 B．1,1 C．−1,0 D．2,2【答案】D【分析】根据对数的性质，令x−1=1即可求解.【详解】因为loga1=0(a>0且所以在函数y=log令x−1=1，则x=2，y=2，所以函数y=loga(x−1)+2故选：D.【变式5-2】已知a>0且a≠1，若函数gx=log【答案】2,4【分析】根据loga【详解】由2x−3=1⇒x=2，此时g2所以函数gx的图象过定点2,4故答案为：2,4题型06根据对数型复合函数的单调性求参数取值范围【例6】已知关于x的函数y=log12x2+ax+a−1在A．a≤4 B．a<4C．a≤3 D．a<3【答案】D【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间−3,−2上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得a的取值范围.【详解】令t=x则y=log12t，∵0<1由复合函数的单调性可知，t在−3,−2单调递减，∴−a2≥−2∴a<3故选：D【变式6-1】函数f(x)=log2xA．−∞,12 B．(−∞,−1)【答案】B【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得.【详解】由题意可得x2−x−2=x−2x+1>0由y=x则其在−∞,−1上单调递减，在又y=log故f(x)=log2x故选：B.【变式6-2】已知函数f(x)=x2−ax+2a,x<−11−ln(x+2),x⩾−1在A．(−∞,0] C．[−2,+∞) 【答案】B【分析】分段函数的单调性需要考虑每段函数的单调性，还要考虑衔接点位置的取值大小关系，列不等式组即可求得答案.【详解】易知y=1−ln(x+2)在要使f(x)在R上单调递减，则需满足a2≥−1,1+3a≥1,即a的取值范围是[0,+∞故选：B.题型07根据对数函数的最值求参数或范围【例7】若函数fx=−x+7,x≤42+loga(x−1),x>4（其中a>0A．13<a<1 B．13≤a<1 C．【答案】D【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解.【详解】由函数fx=−x+7,x≤42+log当x≤4时，函数fx=−x+7为单调递减函数，所以则当x>4时，函数fx=2+log且满足fx>f4=2+log综上可得，实数a的取值范围为(1,3].故选：D.【变式7-1】已知函数fx=logax2−ax+1A．14,2 B．12,1∪1,2【答案】B【分析】根据y=x2−ax+1开口向上，故需y=x2【详解】要使函数fx在区间1由于y=x故需函数y=x2−ax+1在区间1该函数图像的对称轴为直线x=a2，所以解得a>0a≠1所以12<a<2，且a≠1，即实数a的取值范围为故选：B．【变式7-2】若函数fx=logax2−2ax−A．12 B．13 C．16【答案】C【分析】令gx=x2−2ax−a2+112，则【详解】令gx=x故当x=a时，gx在R上取得最小值为−2又因为函数fx=log所以0<a<1且loga(−2a2+故选：C.题型08求反函数【例8】函数y=−x−2的反函数是（

A．y=x2+2C．y=x2+2【答案】D【分析】根据反函数定义求解即可.【详解】解：∵y=−x−2，∴y≤0∴−y=x−2，即y2=x−2将x，y调换可得，y=x故函数y=−x−2的反函数是y=故选：D．【变式8-1】函数y=2x−1【答案】y=【分析】利用反函数的定义求解即可.【详解】因为y=2x−1所以x+1=2y，则故答案为：y=log【变式8-2】已知f(x【答案】f【分析】首先求f(x)，在求f−1x，最后求【详解】∵f(x3)=2x+3x令y=2+1x得x=1∴f故答案为：f题型09大小比较【例9】设a=log36,A．b<a<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【答案】C【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解.【详解】因为log33<log因为b=21.2>2所以c<a<b.故选：C【变式9-1】已知a=0.60.1，b=log0.60.3，c=log0.60.4，则A．b>c>a B．a>b>cC．c>b>a D．a>c>b【答案】A【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出b，c的大小关系，又判断出b，c大于1，a小于1，从而得出结论.【详解】由于y=log0.6x在(0,+又∵a=0.60.1<0.故选：A.【变式9-2】设a=0.50.4，b=log0.50.4，c=log40.5，则A．a<b<c B．b<c<a C． c<b<a D．【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为0<0.50.4<又b=log0.50.4>所以b>a>c.故选：D分层分层训练【基础过关】1．已知，（

）A．－2024 B． C． D．－1【答案】D【分析】根据分段函数的解析式计算得解.【详解】由题意得：，则，．故选：D2．已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（

）A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值.【详解】由条件可知，，且，即，即，那么，所以函数是周期为4的函数，.故选：B3．“”是“函数的值域为”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由函数的值域为，令，转化为的值域包含，结合二次函数与对数函数的图象与性质，再由充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由函数的值域为，令，则函数的值域包含，当时，函数值域为，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B4．下列各组中，函数与表示同一函数的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根据函数的定义域相同，解析式一致即可判断.【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，不是同一函数，故A错误；对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，不是同一函数，故B错误；对于C：函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，不是同一函数，故C错误；对于D：函数的定义域为，且，函数的定义域为，且，两函数的定义域相同，解析式一致，所以是同一函数，故D正确.故选：D5．给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据对数函数的定义，即可判断.【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数；②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选：A6．已知函数，，且，则函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论.【详解】由题意得：，∵，∴，∴，若，则，舍去；若，则，舍去；若，则，成立；若，则，舍去.故选：C.7．函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式.【详解】由已知可得，代入可得，则，即，因此，.故选：B.8．已知函数，下列说法错误的是（

）A．的定义域为 B．的图象关于轴对称C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增【答案】B【分析】根据对数函数的性质一一判断即可.【详解】函数，则，即，解得，所以函数的定义域为，故A正确；又，所以的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为，又在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.故选：B9．已知对数函数的图象经过点与点，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先代入点的坐标，求得，得到，解得，再结合对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解.【详解】设对函数（，且），由对数函数的图象经过点与点，可得，解得，所以函数，则，则，所以.故选：D.10．关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】当时，可知不等式恒成立；当时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x的不等式对一切恒成立，当时，不等式对一切恒成立，当时，时，则有，解得，所以k的取值范围是.故选：D11．（多选）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对分类讨论，结合指数函数与对数函数的图象与性质判断.【详解】由题意，且，的定义域为，的定义域为.当时，，函数在上单调递减，且过；在上单调递减，且过，所以函数，可能的图象是D；当时，，函数在上单调递增，且过；在上单调递减，且过，所以函数，可能的图象是B；当时，，函数在上单调递增，且过；，其图象是直线，选项中没有符合要求的；当时，，函数在上单调递增，且过；在上单调递增，且过，所以函数，可能的图象是A.综上，函数，可能的图象是ABD.故选：ABD.12．（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】由不等式的基本性质即可判定各个选项.【详解】A选项：当，时，，但，故A错误；B选项：∵，∴当时，，故B正确；C选项：∵，∴，，由∵，∴，故C正确；D选项：，则，当时，，故D错误.故选：BC.13．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，增长速度一直快于D．当时，增长速度有时快于【答案】BD【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可．【详解】对于，从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；对于，由于的增长速度是不变的，当x∈0,1时，大于，当x∈1,+∞时，大于，再也追不上，其中增长速度有时快于，C错误．故选：BD．14．已知函数，记集合为的定义域．(1)求集合；(2)判断函数的奇偶性；(3)当时，求函数的值域．【答案】(1)(2)奇函数(3)【分析】（1）由真数大于零求解其定义域即可；（2）由函数的奇偶性判断即可；（3）令，利用单调性求复合函数的值域即可.【详解】（1）由真数大于0可知，，.（2）可知定义域关于原点对称，，故为奇函数．（3）令，对称轴，在上，，又在上递减，故的值域是：．15．函数．(1)当时，求该函数的值域；(2)若对于恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可；（2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】（1），令，则有，因为，所以，因此，所以函数的值域为；（2）由（1）可知：令，因为，所以，，设函数，函数在上单调递增，所以函数在时单调递增，故，因此对于恒成立，只需，因此的取值范围为.

【能力提升】1．已知是奇函数，则（

）A． B．0 C． D．4【答案】A【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值.【详解】因为是奇函数，设，则，所以，即，所以，即，则.故选：A.2．已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质分别与比较判断．【详解】由对数函数性质知，由指数函数性质知，由指数函数性质知，所以．故选：A．3．已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】利用函数的奇偶性和对称性求解即可.【详解】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称；因为函数f2x+1所以，即函数的图象关于点1,0中心对称.又当时，，所以.故选：C4．已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，（a为常数），则的值为（

）A．−2 B． C．0 D．1【答案】C【分析】根据在上的奇函数，求得其解析式，再根据，由的周期为6及对数运算求解.【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，所以，，故选：C5．已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可知不等式的解集为，即可得或，解对数不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，可知不等式的解集为，若，可得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：B.6．已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（

）A．13 B． C． D．8【答案】C【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.【详解】当时，，即因为在直线上，所以当且仅当时，取等号，即的最小值为.故选：C7．已知函数，若，，则（

）A．25 B．20 C．10 D．5【答案】C【分析】根据分段函数的图象判断所在区间，根据二次函数图象的对称性得的值，利用对数函数的图象和对数运算可得的值，进而求解即可.【详解】由题意，函数y=fx根据，且，结合函数图像可得，，根据二次函数图象的对称性得，即；当时，，当时，；由，得，即，解得，即，所以，故选：C8．函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的数据即可得出答案.【详解】由函数的数据可知，函数，偶函数满足此性质，可排除B，D；当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C.故选：A.9．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，所以在上是减函数，，即，所以，所以，所以，即实数a的取值范围为.故选：.10．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可得确定图象.【详解】由解析式，知的定义域为，，所以为奇函数，当时，，，则，所以，在上，结合各项函数图象，知：C选项满足要求.故选：C11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的图象无对称中心B．C．的图象与的图象关于原点对称D．的图象与的图象关于直线对称【答案】BC【分析】由点的对称性判断图象的对称性，从而判断AC，直接代入计算判断B，利用反函数的解析式判断D．【详解】选项A，由已知的定义域是且，假设的图象有对称中心，取，其中，关于点的对称点是，但不在的定义域内，即不是图象上的点，与对称性矛盾，因此假设错误，所以A正确；选项B，，B正确；选项C，设是图象关于原点对称的图象上任一点，它关于原点的对称点为在的图象上，因此，即，所以的图象上任一点关于原点的对称点