3.4函数的应用(一)【两大必考点+七大秒杀招+七大题型+分层训练】高一数学题型归类（解析版）

3.4函数的应用(一)【两大必考点+七大秒杀招+七大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01用函数模型解决实际问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：知识点02常见的函数模型(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等．(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．解题大招解题大招大招01用一次函数模型解决实际问题的解题方法(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型；(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．注：（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．（2）一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．大招02二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．大招03利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．大招04幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．大招05用分段函数模型解决实际问题的解法分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．大招06应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.大招07解决“对勾”函数应用题的关键解决“对勾”函数f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(b,a))，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(b,a))))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值．题型分类题型分类题型01一次函数模型的应用【例1】果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为（

）A．y=3000−100xB．y=3000−100xC．y=3000−2.5xD．y=3000−2.5x【解题思路】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围.【解答过程】由题意可知函数关系式是y=3000−2.5x，由题意可知最少买100千克，最多买30002.5=1200故y=3000−2.5x；x∈故选:C.【变式1-1】网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码实际标准（mm）220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法（号）34353637383940414243习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米（

）A．150 B．200 C．180 D．210【解题思路】根据表中数据求出脚的长度与鞋码满足的函数关系式，由函数关系式即可求解.【解答过程】由题意，脚的长度与鞋码是一次函数关系式，满足y−220=5x−34，解析式为y=5x+50当x=30时，y=200mm.故选：B.【变式1-2】一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（

）A．y=20−2x B．y=20−2x(0<x<10)C．y=20−2x(5≤x≤10) D．y=20−2x(5<x<10)【解题思路】由等腰三角形的周长为20，得到y=20−2x，结合三角形的性质，求得5<x<10，即可得到函数的解析式.【解答过程】由等腰三角形的周长为20，且底边长y是关于腰长x，可得y+2x=20，所以y=20−2x，又由2x>y，即2x>20−2x，即x>5，因为y>0，即20−2x>0，可得x<10，所以5<x<10，所以解析式为y=20−2x(5<x<10).故选：D.题型02二次函数模型的应用【例2】把长为8cmA．4cm2 B．3cm2 C．【解题思路】设铁丝的一段长度为xcm，则另一段铁丝长为(10−x)cm，得到【解答过程】设铁丝的一段长度为xcm，（其中0<x<8），则另一段铁丝长为(10−x)两个正方形的面积之和为ycm根据题意，可得y=(当且仅当x=4时，y取得最小值，最小值为2cm故选：D.【变式2-1】生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝12x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（

A．36万件 B．22万件C．18万件 D．9万件【解题思路】设利润为y万元，根据题意得到y=20x-C(x)＝-12x2＋18x【解答过程】设利润为y万元，由题意得：y=20x-C(x)＝-12x2＋18x=−1故为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件故选：C.【变式2-2】据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：10x+x220(1)该企业每月产量x为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?(2)若每月生产x万套产品，每万套售价为：30+x10万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于【解题思路】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为y=20（2）由题意可知月利润P=x220【解答过程】（1）设平均每套的成本为y元，由题有y=20+10x+当且仅当20x=x所以企业每月产量20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元.（2）设月利润为P万元，则有P=x(30+x由题知x220+20x−20≥625，整理得到x所以，该企业每月生产不小于30万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元.题型03幂函数模型的应用【例3】2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【解题思路】设年平均增长率为x，依题意列方程求x即可.【解答过程】由题意，设年平均增长率为x，则150(1+x)所以x=3故选：B.【变式3-1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（A．14 B．12 C．23【解题思路】初始状态设为(x1,y1)，变化后为【解答过程】设初始状态为(x1,y1又y1=kx1α，y8y1y1=k⋅16αx故选：D．【变式3-2】遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H.Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（小时）的大致关系：y=1−0.6x0.06，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（（参考数据:12A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00【解题思路】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始.【解答过程】令1−0.6x0.06=0.42∵12∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30.故选：A.题型04分段函数模型的应用【例4】杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需要另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入Gx（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：G(x)=(1)写出年利润W(x)（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.【解题思路】（1）依题意可得W(x)=xGx−80x−50，根据（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出0<x≤20、x>20上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【解答过程】（1）依题意可得W(x)=xGx又G(x)=180−2x,当0<x≤20时W(x)=x180−2x当x>20时W(x)=x70+所以Wx（2）当0<x≤20时，Wx由函数图象开口向下，对称轴方程为x=25可知函数在0,20上单调递增，所以当x=20时，Wx当x>20时，W≤−210(x+1)⋅当且仅当10(x+1)=9000x+1时，即因为1360>1150，所以当年产量为29万台时，该公司获得年利润最大为1360万元.【变式4-1】某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本Vx（单位：万元），已知当0<x≤5时，Vx=125；当5<x≤20时，Vx=(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为Px（单位：万元），试求出P(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．【解题思路】（1）由Px（2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得.【解答过程】（1）当0<x≤5时，Px当5<x≤20时，Px当x>20时，Px故Px（2）当0<x≤5时，Px当5<x≤20时，Px=−xPx当x>20时，由基本不等式知x+1600x≥80即x=40时等号成立，故Px综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.【变式4-2】某工厂生产某种产品，受生产能力、技术水平以及机器设备老化等问题的影响，每天都会生产出一些次品，根据对以往产品中次品的分析，得出每日次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系式P=x6−x,1≤x≤c,(1)求每天的利润y（万元）与x的函数关系式；(2)分别在c=2和c=4的条件下计算当日产量为多少万件时可获得最大利润.【解题思路】（1）根据题意列出y（万元）与x的函数关系式即可；（2）利用函数的单调和基本不等式可求最值.【解答过程】（1）由题意得:当x>c时，y=x−当1≤x≤c时，y=x−综上，y=18x−4（2）令t=6−x，则y=18x−4若c=2，当x>2时，每天的利润为0，当1≤x≤2时，t=6−x∈[4,5]，y在[4,5]上单调递减，故最大值在t=4即x=2时取到，为ymax若c=4，当x>4当1≤x≤4时，t=6−x∈[2,5]，−4t+9t故最大值在t=3，即x=3时取到，为ymax综上，若c=2，则当日产量为2万件时，可获得最大利润；若c=4，则当日产量为3万件时，可获得最大利润.题型05分式型函数模型的应用【例5】如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100m2的成轴对称的“⊥”形地域.计划在正方形MNGH上建一座花坛，造价为2100元/m2；在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；在两个三角形DEM和CFN上铺草坪，造价为40元/m2.设总造价为

(1)设AH长为y（单位：m），写出y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值.【解题思路】（1）由题意得4xy+x2=100（2）根据题意表示出每一部分的面积，再乘以相应的每平方米的造价，然后相加可得S，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【解答过程】（1）由题意得4xy+x解得y=100−由于x>0,y>0，得0<x<10，所以y=100−（2）由题意得AH=100−所以S=2100x=2000x=20000+9500=29500当且仅当2000x2=50000所以当x=5时，S最小，且S【变式5-1】某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【解题思路】（1）设矩形花园的长为ym，结合xy=750，进而求得a关于x（2）由（1）知a=375x−【解答过程】（1）解：设矩形花园的长为ym因为矩形花园的总面积为750m2，所以xy=750，可得又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得2a+3=750x，可得即a关于x的关系式为a=375（2）解：由（1）知，a=375则S=(x−2)a+(x−3)a=(2x−5)a=(2x−5)×(≤15152−23x⋅1875所以当x=25m时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为1215【变式5-2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位；cm）满足关系：Cx=16(1)求fx(2)隔热层修建多厚时，总费用fx【解题思路】（1）由建造费与能源消耗费求和可得；（2）利用基本不等式求解即可.【解答过程】（1）每年能源消耗费用为Cx=16∴fx（2）因为1≤x≤10，所以fx当且仅当512x+2=8x+2所以当x=6时，fx取得最小值f∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.题型06“对勾”函数模型的应用【例6】某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用x年x∈N*所需的总维护费用为(1)该甜品店第几年开始盈利？(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：①当年平均盈利最大时卖出；②当盈利总额达到最大时卖出；试问哪一方案较为划算？说明理由．【解题思路】（1）表达出x年后所得总利润y=−x（2）设方案①的年平均利润为wx，表达出w【解答过程】（1）设该甜品店x年后所得总利润为y万元，则y=12x−x若开始盈利即y>0，∴−x2+10x−21>0∴第四年开始盈利．（2）方案①：设年平均利润为wx则wx由对勾函数性质可得wx在x∈0,21又x∈N∗，x=4时，w4x=5时，w5方案②：y=−x2+10x−21=−即x=5时总利润最大为4万元，故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在x=5即第5年总利润达到最大值4万元，加上卖设备的2万元，一共6万元利润．【变式6-1】汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来．汉服文化从三皇五帝延续（清代被迫中断），通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化．在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴．近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照．近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量H（件）与日租赁价格S（元/件）都是时间t（天）的函数，其中Ht=t+4（0<t≤30），(1)写出该店日租赁利润W与时间t之间的函数关系；(2)求该店日租赁利润W的最大值．（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）【解题思路】（1）由题意得到W=Ht（2）分0<t<15与15≤t≤30两种情况，结合二次函数和对勾函数单调性，求出最大值.【解答过程】（1）W=H=−（2）当0<t<15时，W=−t当t=12时，W取得最大值，最大值为256，当15≤t≤30时，W=2420令2420t−4=5t−4由对勾函数性质可知W=2420t−4+5在26,30上单调递增，且当t=15时，W=2420当t=30时，W=2420由于315−3420故15≤t≤30时，W的最大值为315，因为315>256，所以该店日租赁利润W的最大值为315元．【变式6-2】某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v（单位：kmh）与该路段上的行车数量n（单位：辆）的关系为：v=600n+10,n≤933000n2+k,n≥10(1)求实数k的值；(2)定义q=nv，求一天内q的最大值（结果四舍五入到整数）．【解题思路】（1）根据题意把17时测得的平均行车速度为3km/h（2）根据分段函数求最值的方法，分别利用函数单调性求每段的最值，即可得出函数q=nv的最大值．【解答过程】（1）由17时测得的平均行车速度为3km则n=−2(|17−12|−5)代入v=600n+10,n≤9解得k=1000．（2）①当n≤9时，q=nv=600n所以q≤600×9②当n≥10时，q=nv=33000n由函数f(x)=n+1000n在(0,1000)上递减，在且1000∈(31,32)，当n=31时，q=3300031+100031故qmax综上可知，一天内车流量q的最大值为522.题型07函数模型的选择问题【例7】某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示.x14916y14.47.811.2(1)根据上面表格中的数据判断y=ax+b与y=cx+d哪一个更适合作为y与(2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为z=2y−0.2x，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？【解题思路】（1）将(1,1),(4,4.4)代入y=ax+b和y=cx+d，求出两个函数，然后x=9和（2）由（1）得z=34【解答过程】（1）①若选择y=ax+b作为y与x的函数模型，将(1,1),(4,4.4)的坐标分别代入，得1=a+b4.4=4a+b，解得a=所以y=17此时，当x=9时，y=151当x=16时，y=18与表格中的11.2相差较大，所以y=ax+b不适合作为y与x的函数模型.②若选择y=cx+d作为y与将(1,1),(4,4.4)的坐标分别代入，得1=c+d4.4=2c+d，解得c=所以y=175x−12当x=16时，y=565=11.2所以y=cx+d更适合作为y与（2）由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为[0,300]，当y=175x易知，当x=17，即x=289故果树数量为289百棵时，年利润最大.【变式7-1】随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P(单位：kwh)与速度v(单位：kmv60708090100P8.81113.616.620为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现有以下两种函数模型供选择：①P1v=a(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为65kwh，汽车到达B地后至少要保留5kwh的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为16kw的充电桩（充电量【解题思路】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型①，代入数据计算系数可得函数解析式；（2）计算行驶耗电量，判断是否需要充电，表示出总时间，利用基本不等式求所用时间的最小值.【解答过程】（1）P与v的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①，由题意有：3600a+60b+c=8.8,4900a+70b+c=11,6400a+80b+c=13.6,所以P1（2）设耗电量为fv，则f任取60≤vfv由60≤v1<v2≤120，则有fv1−f所以函数fv在区间60,120单调递增，f即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达B地.又设行驶时间与充电时间分别为t1,t2，总和为则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量，即65+16t2−f所以总时间t=t当且仅当v16=625v，即v=100时取等，所以该汽车到达【变式7-2】北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去的一个月内（以30天计）的特价航模日销售价格Px（元/个）与时间x（一个月内的第x天，下同）的函数关系近似表示为Px=20+kx+2（常数k>0x（天）271423Qx4567已知一个月内第7天该专卖店特价航模日销售收入为350百元.(1)给出以下三种函数模型：①Qx=px+q，②Qx=ax−152+b(2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模日销售收入为fx（百元），其中1≤x≤30，x∈【解题思路】（1）根据变化速度排除模型①，根据不对称性排除模型②，代入数据计算Qx（2）确定k=150，fx【解答过程】（1）选择模型③，理由如下：表格中Qx对应的数据匀速递增时，x因为表格中数据满足Q7≠Q23对于模型③，将2,4，7,5代入模型③，有2m+n=43m+n=5，解得m=1此时Qx经验证，14,6，23,7均满足Qx故选择模型③.（2）f7=350，故20+kf≥26000当且仅当20x+2=300所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第13天最低.分层分层训练【基础过关】1．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数奇偶性定义易得函数奇偶性，对于函数单调性判断，可以通过函数图象进行判断，或者等价转化简化函数解析式，再进行判断.【详解】对于项，为奇函数，不符合题意，故A项错误；对于B项，为偶函数，在上单调递减，不符合题意，故B项错误；对于C项，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意，故C项正确；对于D项，为奇函数，不符合题意，故D项错误.故选：C．2．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可.【详解】由一次函数的图象可知：，，所以二次函数的图象开口向下，且对称轴为：，故选：D.3．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.【详解】由题意，，则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.故选：A.4．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（

）（精确到0.1，参考数据：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9【答案】B【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，得，，则，则给氧时间至少还需要小时故选：B5．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（

）A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元【答案】D【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.【详解】由题意可得，故当时，取得最大值，，当且仅当时，等号成立，因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.6．某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【答案】C【分析】画出图形，结合二次函数及基本不等式判断方案1、2，利用特殊情况判断方案3；【详解】解：方案1：设米，则米，则菜园面积，当时，此时菜园最大面积为；方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号，所以，即当且仅当，时取等号；方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米，此时菜园最大面积；故选：C．7．随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（

）A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定【答案】A【分析】设第一次的油价为，第二次的油价为，且，计算出两种加油方式的平均油价，比较大小后可得出结论.【详解】设第一次的油价为，第二次的油价为，且,第一种加油方式的平均油价为，第二种加油方式的平均油价为，因为，则，因此，更经济的加油方式为第一种.故选：A.8．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．【详解】设初始状态为，则，，又，，即，，，，，．故选：D．9．某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价.高峰时间段用电价格表：高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分低谷时间段用电价格表：低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（

）元A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表中数据分段求解电费即可.【详解】高峰时段电费为元，低谷时段电费为元，共计元.故选：D10．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，则（

）A．10 B．-10 C．2 D．-2【答案】A【分析】由图可知点在曲线上，点，点在曲线上，将点代入计算可求，，的值，从而得到结果.【详解】解：由得，其图象为x轴上方（包含x轴上的点）的两个半圆，由“爱心”图知经过点，即，．由“爱心”图知必过点与，所以，得，，从而．故选：A．11．（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】AB【分析】利用不等式的性质，赋值法可分析判断A、C、D选项，利用幂函数的性质可分析判断B选项，即可得答案.【详解】对于A，由，可得，有，故A正确；对于B，由函数是在定义在上的单调递增函数，若，则，故B正确；对于C，当，时，没有意义，此时和无法比较大小，故C错误；对于D，取，，，，此时，故D错误；故选：AB.12．（多选）设函数f（x）的定义域为R，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（

）A．4是f（x）的周期 B．C． D．【答案】AC【分析】首先利用轴对称、中心对称的公式，化简条件，然后利用赋值法即可求解.【详解】关于对称，则有，令，可得，令，得①.又的图像关于点对称，可得②，联立①②，可得，故A正确；，令得，故C正确.对于BD，例如，该函数符合AC，但是代入BD条件时，均不满足，故BD错误.故选：AC13．（多选）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（

）A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本【答案】BC【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案．【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，当时，，则为固定成本；由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；故选：BC．14．某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出.(1)将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；(2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.【分析】（1）由已知求得，结合每件产品的销售价格，可得出利润；（2）利用基本不等式求解最大利润即可．【详解】（1）由已知得，当时，，则，得，故.

故每件产品的销售价格为，故利润.（2）因为当时，，所以，

当且仅当，即时等号成立.即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.15．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，使用该设备开始盈利?【答案】(1)(2)第三年【分析】（1）根据题意，即可得出函数；（2）由，得出不等式，求解即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，.（2）当时，开始盈利，即，整理可得，解得.又，所以，即从第三年开始盈利.

【能力提升】1．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】设为奇函数，且当时，，则时，，则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.由在有解得：.故选：A2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线上找一点F，使得，连接，当的值最小时，求点F的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用数形结合，这里面有两个等腰直角三角形，再结合几何意义就能找到最小值点.【详解】解：过点D作于点M，延长交y轴于N，如图所示：∵一次函数与坐标轴交于点，于，设，则，延长交y轴于N，，当时，则，此时，取到最小值，，∴此时，解得，是的中点，轴，，故选：B．3．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围.【详解】设为奇函数，且当时，，则x>0时，.则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.由在有解得：.故选：A【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数fx位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数fx位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题.4．函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数图象关于原点对称，可知函数为奇函数，结合函数零点情况，逐项验证即可.【详解】函数图象关于原点对称，可知函数为奇函数，且函数在0,+∞对于A，函数的定义域为，且，函数为偶函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，，函数为奇函数，但当时，恒成立，无零点，故B错误；对于C，函数的定义域为，且，函数为偶函数，故C错误；对于D，函数的定义域为，且，函数为奇函数，经验证，符合题意，故D正确，故选：D.5．已知函数满足，，，且当时，，若函数在区间内有4个零点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可得的图象关于中心对称，关于对称且周期为，由函数在区间内有4个零点，则与的图象在区间内有4个零点，，作出图象，结合图象即可得出答案.【详解】因为，所以的图象关于中心对称，又因为，所以的图象关于对称，所以，即，所以，所以，所以的周期为，又因为，所以令中，则，所以，又当时，，所以，又因为在区间内有四个零点，令，即，即与的图象在区间有四个交点，又因为直线过定点，斜率为，如图所示：

为临界状态，当处于时，此时直线的斜率为，当处于时，此时直线的斜率为，因为满足，不满足.所以由图可知，a的取值范围是.故选：C6．已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程有四个不同的实数根，即直线与曲线，作出函数图象，即转化为在有两个不等实根，可得答案.【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根如图作出函数的图象，结合函数图象，则，所以直线与曲线有两个不同的公共点，所以在有两个不等实根，令，实数满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.7．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：①；②；③；④.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【分析】需满足四个条件：（1）自变量的取值范围是；（2）函数值域为的子集；（3）该函数在上恒有；（4）该函数在上为增函数.逐一对照分析即可求解.【详解】函数的对称轴为，所以，超出了范围，不符合题意；，时，，且在上单调递增，，即，符合题意；函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意；函数为增函数，且时，，，则，即，符合题意.故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④.故选：.8．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x的函数表示出来即可.【详解】于D，，,,且故当时，重合部分为三角形，三角形的高，面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项；当时，重合部分为直角梯形，上底长为，下底长为，高为4，故，函数图像为一条直线，故排除D选项；当时，重合部分可以看作两个直角梯形，左边直角梯形的上底长为，高为两个梯形下底长均为，右边直角梯形上底长为，高为，故，图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项；故选：C9．学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【分析】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象.【详解】设行进的速度为m/min，行走的路程为Sm，则，且，由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.故选：A10．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【答案】B【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值．【详解】解