高中数学复习专题08 立体几何中的体积表面积问题(解析版)

第三篇立体几何专题08立体几何中的体积表面积问题常见考点考点一体积问题典例1．已知长方体，，分别为和的中点，．(1)求三棱锥体积；(2)求证：平面平面．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由平面，可得结合题干条件，即得解；（2）先证明平面，平面，结合面面平行的判断定理，即得证(1)由题意可知：平面，，为的中点，，，，；(2)∵ABCD-A1B1C1D1是长方体∴AD//BC且AD=BC∵点E、F分别为CC1和BB1的中点∴EF//BC且EF=BC∴AD//EF且AD=EF∴四边形ADEF是平行四边形∴AF//DE∵平面，平面∴平面又，分别是线段，的中点平面，平面平面又平面平面．变式1-1．在五面体EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．(1)求证：AC⊥BF；(2)若三棱锥A﹣BCE的体积为，求线段AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)AB＝4【解析】【分析】（1）取AB中点O，连CO，通过证明FC⊥面ABCD，得到FC⊥AC，再结合AC⊥BC可得答案；（2）利用可得答案.(1)证明：取AB中点O，连CO．∵AD＝DC＝BC＝AB，AB∥CD，∴四边形AOCD为菱形，∴CO＝OA＝OB，∴△OCB为正三角形，∴AC⊥BC，∵正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，∴FC⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴FC⊥AC．BC∩FC＝C，∴AC⊥面BCF，∵BF⊂面BCF，∴AC⊥BF．(2)解：设BC＝x，则AB＝2x，由勾股定理得AC＝，由（1）可知ED⊥面ABCD，故，即，解得x＝2．∴AB＝4．变式1-2．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.(1)证明：；(2)若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)4.【解析】【分析】（1）证明平面BCD，原题即得证；（2）过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，求出，即得三棱锥的体积.(1)证明：∵，O为BD中点，∴，因为平面ABD，平面平面BCD，且平面平面，∴平面BCD，∵平面BCD，∴.(2)解：过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，因为且由（1）知平面BCD，所以平面BCD，∵平面BCD，∴在△BCD中，∵，∴，因为，∴，∴平面MNE∴∴为所求的二面角的平面角，∴，∴∵，，∴，因为，∴，∵，∴.∴，∴.∴∴.变式1-3．如图①，在平面五边形SBCDA中，ADBC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，将△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如图②，且E为PD的中点.(1)求证：CE平面PAB；(2)若PA=PB=6，AB=4，求三棱锥A-BCE的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）设F为PA的中点，连接EF，FB，证明四边形BCEF为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；（2）设O为AB中点，连接PO､OD，过E作EHPO交OD于点H，然后根据进行求解即可.(1)证明：设F为PA的中点，连接EF，FB，∵E为PD的中点，∴EFAD且EF=AD，又∵ADBC且AD=2BC，∴EFBC且EF=BC，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CEBF，又∵BF平面PAB，CE平面PAB，∴CE平面PAB；(2)如图，设O为AB中点，连接PO､OD，过E作EHPO交OD于点H，∵PA=PB=6，AB=4，∴PO⊥AB，即，又∵平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD，又∵EHPO，∴EH⊥底面ABCD，∴EH是三棱锥E-ABC的底面ABC上的高，且，又∵ADBC，AD⊥AB，BC=AB，∴AB⊥BC，S△ABC=AB•BC×4×4=8，所以.VA-BCE=VE-ABC=•S△ABC•EH=×8×.考点二表面积问题典例2．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值：若不存在，试说明理由．【答案】（1）；（2）存在，2.【解析】【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；（2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论.【详解】（1）正四棱锥中，，，侧面的高，正四棱锥的表面积．（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：取中点为，因为，则，过作的平行线交于，连接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，变式2-1．如图，在底面为矩形的四棱锥中，为棱上一点，底面．(1)证明：；(2)若，，过作平面，垂足为，求三棱锥的侧面积．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明，结合由线面垂直判定定理证明平面，由此可证；(2)由面面垂直的判定定理和性质定理平面，由此求三棱锥的各个侧面的面积，由此可求其侧面积.【详解】（1）证明：因为底面，所以．在矩形中，，因为，所以平面，因为平面，所以．（2）解：因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．又平面平面，平面，所以．因为，所以为的中点．连接，，，易知，所以的面积为．又的面积为，故三棱锥的侧面积为变式2-2．已知圆柱的底面半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆，（1）试用表示圆柱的表面积和体积;（2）若圆柱体积为，求点到平面的距离.【答案】（1），；（2）..【解析】【分析】（1）根据，可求得圆柱得高h，再根据圆柱得表面积和体积公式即可得出答案；（2）根据圆柱体积为，求出r，计算出和，由，利用等体积法即可求得点到平面的距离.【详解】（1）连接，设圆柱得高为h，因为，则，，所以，圆柱的表面积为；体积；（2）连接，，，，设点到平面的距离为，由题意知，，，，，所以，，，由，，，即点到平面的距离为.变式2-3．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点.（1）若弧的中点为，求证：平面；（2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥-体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）表面积；的最大值为9【解析】【分析】（1）证明即可；（2）由条件可得，，然后由的面积是9求出，当是弧中点时，三棱锥-体积的最大，最后利用相关公式可算出答案.【详解】（1）∵是底面圆的直径，∴∵弧的中点为，∴又，共面，∴又平面，平面，∴平面（2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，∴，由，得∴圆锥的表面积易知当是弧中点时，三棱锥-体积的最大，且最大值为：巩固练习练习一体积问题1．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点.(1)求证：平面平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)如图，连接BD，根据题意可得DE⊥CD，利用线面垂直的性质和判定定理可得DE⊥平面，进而即可证明面面垂直；(2)结合(1)和线面垂直的性质和判定定理可得平面，取的中点G，连接GF，进而可得平面，求出、、，利用三棱锥的体积公式计算即可.(1)如图，连接BD.在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以为正三角形，因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.因为AB//CD，所以DE⊥CD.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，而，且，平面，所以DE⊥平面.又因为平面DEF，所以平面DEF⊥平面.(2)由（1）知.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.而，且，平面，所以平面.如图，取的中点G，连接GF.因为F为的中点，所以，所以平面.由条件知，，，，所以三棱锥的体积.2．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，，．(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】（1）证明平面后可得面面垂直；（2）利用棱锥体积公式进行转换后计算．(1)是正方形，分别为中点，则，又，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；(2)平面平面ABCD，，平面，平面平面，所以平面，是中点，所以．3．如图所示的直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别是棱BC，CD上的点，且BE=2EC，DF=2FC，，G在棱上，为上底面的中心，平面EFG.(1)求的值；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）连接，，则，连接AC，BD，设，连接，易知，再根据平面EFG，利用线面平行的性质定理得到求解；（2）利用等体积法，由求解.(1)解：如图所示，连接，，因为为上底面的中心，所以，连接AC，BD，设，连接，则，设，由BE=2EC，DF=2FC，可得，因为平面EFG，所以平面EFG，又因为平面，记平面平面EFG=HG，则，所以.(2)因为，所以由（1）的证明可知，可知CG=1，又由BE=2EC及BC=2，可知，所以，所以三棱锥的体积为.4．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，F是棱上的点，满足，是的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取的中点，得到且，证得且，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面．

（2）根据题意先证得平面，得到点到平面的距离，结合和锥体的体积公式，即可求解.(1)证明：如图所示，取的中点，连接，因为分别是的中点，所以且，又因为是的中点，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．

(2)解：由直三棱柱中，可得，又由，且，平面，所以平面，又因为平面，且，所以点到平面的距离，由，所以三棱锥的体积为．练习二表面积问题5．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.(1)求四棱锥S－ABCD的侧面积；(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据垂直关系依次求解每个侧面三角形边长和面积即可得解；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.(1)由题可得：，则，SA⊥底面ABCD，所以，SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交线，所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，，所以四棱锥的侧面积(2)以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示：设平面SCD的法向量，，取所以取为平面SAB的的法向量所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.6．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.(1)设，，求这个几何体的表面积；(2)设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可(1)上下两个扇形的面积之和为：两个矩形面积之和为：4侧面圆弧段的面积为：故这个几何体的表面积为：(2)如下图，将直线平移到下底面上为由，且，，可得：面则而G是弧DF的中点，则由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则则直线与直线的夹角为7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.(1)证明：；(2)求四棱锥的表面积；(3)求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可证明面即可求证；（2）证明，，分别求五个面的面积之和即可求解；（3）利用三棱锥等体积求出点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，求出的值即可得角.(1)底面是矩形，且，，，分别是线段，的中点，连接，则，且，因为，所以，所以，因为平面，面，所以，因为，所以面，因为面，所以.(2)因为平面，面，所以，因为，，所以面，因为面，所以，因为平面，面，所以，因为，，所以面，因为面，所以，；；；；；所以四棱锥的表面积为.(3)连接，，，，所以，设点到平面的距离为，由可得，因为，，，因为，所以，所以，所以，可得，设直线与平面所成角为，则