高中数学复习专题07 立体几何中的最值问题(原卷版)

第三篇立体几何专题07立体几何中的最值问题常见考点考点一最大值问题典例1．如图，在中，，，为的外心，平面，且.(1)求证：平面；(2)设平面面，若点在线段（不含端点）上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值.变式1-1．如图，在正三棱柱中，，点D在边BC上，E为的中点.(1)如果D为BC的中点，求证：平面平面；(2)设锐二面角的平面角为，，，当取何值时，取得最大值？变式1-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，，M是棱SB的中点．(1)求证：平面SCD；(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值；(3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求的最大值.变式1-3．如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.(1)证明：；(2)若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.考点二最小值问题典例2．如图，在梯形ABCD中，，，，四边形BFED为矩形，，平面平面ABCD.(1)求证：平面BDEF；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成的夹角为，试求的最小值.变式2-1．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点.(1)求二面角的平面角的余弦值；(2)设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度.变式2-2．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，设平面与平面的交线为m．（1）证明：，且平面；（2）已知，R为m上的点求与平面所成角的余弦值的最小值．变式2-3．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面，平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.巩固练习练习一最大值问题1．如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点的平面与棱交于点．(1)证明：四边形为矩形；(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．2．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点．(1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度；(2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值.3．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．(1)求证：平面；(2)若二面角的平面角的正切值为，求的长；(3)在（2）的条件下，若为线段上一点，求与面所成角为，求的最大值．4．如图，在直角三角形中，，斜边，直角三角形可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.(1)求证：平面平面；(2)当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值；(3)求与平面所成角的正切值的最大值.练习二最小值问题5．如图，为正方形，为直角梯形，，平面平面，且.（1）若和延长交于点，求证：平面；（2）若为边上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值.6．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，设点在线段上运动.（1）证明：；（2）设平面与平面所成锐二面角为，求的最小值.7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的