高中数学复习专题06 立体几何中的翻折问题(原卷版)

第三篇立体几何专题06立体几何中的翻折问题常见考点考点一翻折问题典例1．如图1五边形中，，，，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图2，点为线段的中点，且平面．（1）求证：平面；（2）若直线与所成角的正切值为，求二面角余弦值．变式1-1．如图，在中，，，，，，沿将点折至处，使得，点为的中点.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.变式1-2．如图，在等腰梯形ABCD中，，，，，AE为梯形ABCD的高，将沿AE折到的位置，使得．

（1）求证：平面ABCE；（2）求平面PBC与平面PAE所成二面角的余弦值．变式1-3．已知边长为2的等边（图1），点和点分别是边、上的中点，将沿直线折到的位置，使得平面平面（图2），此时点和点分别是边、上的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.典例2．如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.（1）证明：OD⊥平面PAQ；（2）若BE＝2AE，求二面角C­BQ­A的余弦值．变式2-1．如图1，四边形是正方形，四边形和是菱形，，.分别沿，将四边形和折起，使、重合于，、重合于，得到如图2所示的几何体.在图2中，、分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.变式2-2．如图，已知四边形是边长为的正方形，与相交于点，为等边三角形．现将沿折起到的位置，将沿折起到的位置，使得折后平面．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．变式2-3．如图1，在矩形中，，，点、分别在线段、上，且，，现将沿折到的位置，连结，，如图2（1）证明：；（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.巩固练习练习一翻折问题1．如图1，在平面五边形中，是等边三角形.现将沿折起，记折后的点为，连接得到四棱锥，如图2.(1)证明：；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.2．如图所示，在边长为12的正方形中，点B，在线段上，且，，作，分别交、于点、，作，分别交、于点、，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．(1)试判断直线AQ是否与平面平行，并说明理由；(2)求平面APQ与平面ABC所成二面角的余弦值．3．如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，，是线段，上的两个动点（不含端点），且.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值；(3)设平面与平面所成锐二面角为，当时，求的值.4．如图，正方形的边长为2，的中点分别为，正方形沿着折起形成三棱柱，三棱柱中，，.(1)证明：当时，求证：平面；(2)若二面角的余弦值为，求的值.5．如图甲所示，在矩形ABCD中，，，为的中点，沿AE将翻折，使D折至处，且二面角为直二面角（如图乙）．（1）求证：；（2）求平面与平面ECB所成角的正切值．6．如图1，中，，，，D，E分别是，的中点.把沿折至的位置，平面，连接，，F为线段的中点，如图2.（1）求证：平面；（2）当三棱锥的体积为时，求直线与所成角的正切值.7．如图是矩形和边为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面，若点是折后图形中半圆上异于的点．（1）证明：；（2）若，且异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．8．如图是由正方形和长方形组成的平面图