广东省“八校联盟”2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试题(一)【含答案解析】

2024-2025学年广东省“八校联盟”高一第一学期期中教学质量检测（一）数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出全集，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为全集，，，则，，所以，.故选：B.2.若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A、B、C，利用不等式的性质判断D.【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误；对于B：当，时满足，但是，故B错误；对于C：当，时满足，但是，故C错误；对于D：若，则，所以，则，故D正确；故选：D3.下列命题为真命题的是（）A.若m>0，则B.集合与集合是相同的集合C.任意一个三角形，它的内角和大于或等于D.所有的素数都是奇数【答案】C【解析】【分析】举反例可说明选项A错误；化简两集合可得选项B错误；根据“或”命题真假的判断可知选项C正确；2是素数但不是奇数可得选项D错误.【详解】A.当时，，选项A错误.B.，，，选项B错误.C.任意一个三角形，它的内角和等于，选项C正确.D.是素数，但不是奇数，选项D错误.故选：C4.方程有两个异号实根的一个充要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可.【详解】由题知，，解得.故选：A5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6.幂函数y=f(x)的图象经过点，则是（）A.偶函数，且在上是减函数 B.偶函数，且在上是增函数C.奇函数，且在上是减函数 D.非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质逐项判断.【详解】设幂函数，由，得，解得，则，函数的定义域为R，且，所以是偶函数，根据二次函数的性质可知，在上是增函数，故B正确.故选：B7.定义域为，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值.【详解】由，得，联立消去，得，而，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：A8.已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（）A.5 B.7 C.13 D.15【答案】C【解析】【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可.【详解】已知集合，“孤立元”为1的集合为，，，；“孤立元”为2的集合为，；“孤立元”为3的集合为；“孤立元”为4的集合为，；“孤立元”为5的集合为，，，；综上，满足题意的集合有13个.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各组函数中是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】BCD【解析】【分析】选项A中函数定义域不同，不是同一函数；选项B，C，D中函数定义域相同，对应关系一致，是同一函数.【详解】A.定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数.B.，，定义域都为，对应关系一致，是同一函数.C.,，定义域都为，对应关系一致，是同一函数.D.与，定义域都为，对应关系一致，是同一函数.故选：BCD.10.已知函数，，则下列说法中正确的是（）A.是偶函数 B.是奇函数C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义直接判断选项AB，结合代换法即可判断选项CD.【详解】由题知，定义域为，关于原点对称，则，则fx为偶函数，故A正确，B错误；又，C正确，D错.故选：AC11.（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A.a＋b＋≥2 B.≥ C.≥a＋b D.(a＋b)≥4【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可【详解】解：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立，故B不成立．因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出命题“，”的否定：______．【答案】【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是：.故答案为：13.已知函数fx−1的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】根据函数定义域的定义计算得出的取值范围，由于法则相同，取值范围相同，所以函数中和函数中范围一致，从而计算得出答案.【详解】由函数的定义域为，得；，函数中和函数中范围相同，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.14.已知集合、集合，命题，命题，若命题是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】解分式不等式要先移项使一边为0，然后通分，接着根据分子与分母同号（或异号），转化为分子与分母的积大于0（或小于0），化为一元二次不等式找出解集．因为是的必要不充分条件，所以B是A的子集，根据集合的包含的关系，列出不等式后，解不等式确定参数的取值范围是．【详解】集合，集合，因为命题是的必要不充分条件，所以，得，解得，所以答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式和含参数的一元二次不等式的解法，把是的必要不充分条件转化为集合B是集合A的子集是解决本题的关键．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15已知全集，集合，．（1）当时，求，；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）求解二次不等式解得集合，再求，；（2）由题可得，根据集合的包含关系，列出关于的不等式，求解即可.【小问1详解】由题意可得或，当时，，故；，故．【小问2详解】因为，所以，又，则或，解得或，即的取值范围为或.16.已知函数满足（1）求的解析式；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）（2）函数在上的值域为【解析】【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解；（2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由①，得②，由②①得，解得．【小问2详解】由题意可得，因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，，所以函数在上的值域为．17.某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用．（1）若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元（2）如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？【答案】（1）（2）底面长宽分别，；最低价格为元【解析】【分析】（1）根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，即可列出方程；（2）由得，利用基本不等式即可得出．【小问1详解】如图所示，根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，该游乐场母婴室的总造价【小问2详解】由得，当且仅当即时，等号成立，所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元.18.已知函数．（1）当时，判断函数的单调性并证明；（2）若不等式成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；（2）结合函数单调性将不等式转化即可得解集.【小问1详解】在上单调递增，理由如下：任取，，且，．因为，所以，，，所以，即，可得，所以在上单调递增．【小问2详解】因为，，由（1）得在上单调递增，因为，所以，即，解得：或，所以实数x的取值范围是.19.定义：已知集合，，，则称为“有界恒正不等式”.（1）当时，判断是否为“有界恒正不等式”；（2）设为“有界恒正不等式”，求的取值范围.【答案】（1）是“有界恒正不等式”；（2）或.【解析】【分析】（1）当时，解不等式得解