北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．关于一元二次方程的一个根是0，则的值为（）A．1或 B．1 C． D．02．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直3．设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣14．由下表：6.176.186.196.200.040.1可知方程（为常数）一个根（精确到0.01）的范围是（）A． B． C． D．5．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连结AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．16．如图，正方形ABCD的面积为12，ΔABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．23 B．26 C．3−37．如图所示的图形是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边分别为3和4，则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是（不考虑落在线上的情形）（）A．35 B．45 C．16258．已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根，则A．4 B．−4 C．1 D．−19．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠510．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（）A． B． C． D．大小关系不能确定11．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是，则原来盒中有白色棋子()A．8颗 B．6颗 C．4颗 D．2颗12．盒子里有5个除颜色外其余均相同的球，其中红球、黄球、绿球各1个，白球2个，从中摸出3个球，有2个白球的概率是（）A．110 B．15 C．310二、填空题13．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____.14．在ΔABC中，∠C=90°，周长为(5+23)cm15．去游泳馆游泳，要换拖鞋，如果鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们正好是一双的概率为_________．16．将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是________．17．如图，线段(其中为正整数)，点在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接、、得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；…当时，的面积记为．当时，______．三、解答题18．解下列方程．（1）x2（2）4y（3）m(m−5)+4m=0（用因式分解法）；（4）7x（5）x2（6）(x+1)219．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．20．“田忌赛马”是一个被人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上等马、中等马、下等马各一匹，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局及以上者为胜（田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强）．（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.22．已知关于的一元二次方程．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）设该方程的两根分别为，且满足，求的值．23．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明．（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．24．小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛在一定距离外向大圆内掷小石子，若掷中阴影，则小红胜，否则小明胜，未掷入掘内不算，你来当裁判．（1）你认为游戏公平吗？为什么？（2）游戏结束，小明边走边想，“能否用频率估计概率的方法来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题．25．已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？答案与详解1．C【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a−1≠0，a2−1＝0，求出a的值即可．【详解】把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，∴a−1≠0，即a≠1，∴a的值是−1．故选：C．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．2．D【详解】A、不正确，两组对边分别平行，两者均有此性质；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．3．B【详解】∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3．∴．故选B．考点：一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．4．C【分析】根据二次函数的增减性，可得答案．【详解】解：由表格中的数据，得

在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，

当x=6.18时，y=-0.01，当x=6.19时，y=0.04，

方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，

故选C．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．5．B【解析】连BH，如图，∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵点E是AB的中点，∴EH=EB=EA，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．故选B．6．A【解析】【分析】连接BP．由正方形的对称性可知PD=PB，则PD+PE=PB+PE，依据两点之间线段最短可知当点B、P、E在一条直线上时，PD+PE有最小值，最小值=BE，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可【详解】解：连接BP．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE．

∴由两点之间线段最短可知当点P为点P′处时，PD+PE有最小值，最小值=BE．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=23．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=23．

∴PD+PE的最小值为23．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，明确当点P、E、B在一条直线上是，PE+PD有最小值是解题的关键．7．D【解析】【分析】根据直角三角形的性质，求出阴影部分面积和总面积，计算出二者的比值即可．【详解】解：∵两条直角边分别为3和4，

∴斜边为：32+42=5，

∵如图是由四个全等的直角三角形围成的，

∴四边形ABCD与四边形EFGH是正方形，

∴AB=3+4=7，

∴S正方形ABCD=49，S正方形EFGH=25，

∴飞镖落在阴影区域的概率是：25【点睛】本题考查几何概率的求法,解题的关键是求解各部分的面积，注意用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．8．C【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到△=22-4a=0，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得△=22-4a=0，

解得a=1．

故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．10．A【分析】根据t是一元二次方程的根，把t代入原方程得到at2+bt+c=0进行整理，两边同乘以4a，再移项，两边同加上b2，就得到了（2at+b）2=b2-4ac．【详解】把t代入方程ax2+bx+c=0中得at2+bt=-c，∵(2at+b)2=4a2t2+4abt+b2，∴(2at+b)2=4a(at2+bt)+b2=-4ac+b2，∴△=M.故选：A.【点睛】考查了一元二次方程解的概念以及根的判别式，主要是对方程进行转化，注意转化思想在解题中的应用.11．C【分析】先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，再得到一个方程，解方程组即可求得答案.【详解】由题意得，解得x=4，y=6，经检验x、y是原方程组的解，故选C．12．C【解析】【分析】由盒子里有5个除颜色外其余均相同的球，其中红的、黄的、绿的各一个，白的两个，可得从中摸出三个球，余下两球等可能的结果有10（种），其中余下两球没有白球的有3种情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：∵盒子里有5个除颜色外其余均相同的球，其中红的、黄的、绿的各一个，白的两个，

∴从中摸出三个球，余下两球等可能的结果如下表所示：红黄、红绿、红白1、红白2、黄绿、黄白1、黄白2、绿白1、绿白2一共10种情况，其中余下两球没有白球的有3种情况，

∴余下两球没有白球的概率为：310∴摸到两个白球的概率为：310．

【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．且．【详解】试题分析：∵，.∴一元二次方程为.∵一元二次方程有实数根，∴且.考点:（1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.14．3【解析】【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边的长，然后求得两边之和，然后求得两边之积即可求得面积．【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=2cm，

∴斜边c的长为：4，

∴两直角边的和为：a+b=1+23

∵a2+b2=c2=16

（a+b）2=a2+b2+2ab

∴2ab=（1+23）2-16=43-3，

∴Rt△ABC面积=ab2=14×(4故答案为：3−【点睛】本题考查了二次根式的应用、直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理的知识，解题的关键是利用完全平方公式求得两直角边的乘积．15．【解析】【分析】由鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，等可能的结果有182种，其中正好是一双的有50种情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：∵鞋柜里有尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋，

∴随意拿出2只，等可能的结果有：14×13=182（种），其中正好是一双有：红色成双4×4×2=32种，蓝色成双3×3×2=18种情况，共计50种成双情况.

∴随意拿出2只正好是一双概率为：．

故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．y=90+【详解】如图，根据菱形的性质得出∠ADC＝180°－x°，又∠CDB＝y°，∴∠ADC＋∠CDB＋∠ADB＝360°∴y=90+17．【解析】【分析】方法一：根据连接，则，利用的面积=的面积即可得出，，即可得出答案．方法二：根据题意得出图象，根据当时，，得出，得出与的关系，进而得出当时，，，即可得出的值．【详解】解：方法一：连接．∵在线段同侧作正方形及正方形，∴，∴与同底等高，∴的面积=的面积，∴当时，的面积记为，，∴当时，．方法二：如图所示：延长与，交于点，∵线段(其中为正整数)，∴当时，，∴当的面积记为：，，，当时，，∴此时的面积记为：，，，∴当时，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出与的关系是解题关键．18．(1)x1=5+372，x2=5−372；（2）y1【解析】【分析】（1）将方程的常数项移动右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）将方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2-4ac的值等于0，然后将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解；

（3）方程左边提取公因式m，化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；(5)将方程整理为一般形式，然后利用完全平方公式分解因式后之间开平方即可解答；（6）将方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2-4ac的值＜0，即可得原方程的无实数解；【详解】解：（1）x移项得：x2配方得：x2−5x+5开方得：x−5∴x1=5+（2）4移项得：4y整理得：4ya=4，b=-4，c=1，∴Δ=b∴y=4±∴y1（3）m(m−5)+4m=0分解因式得：m[(m−5)+4]=0，即m(m−1)=0，∴m=0或m−1=0，∴m1=0，（4）7x分解因式得：(7x+1)(x+1)=0，∴7x+1=0或x+1=0∴x1=−1（5）x2整理得：5x因式分解得：5(x−1)∴x1（6）(x+1)2移项整理：(x+1)24x∴x2∴Δ=1−12=−11<0．∴原方程无解．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，题目难度不大，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解决本题的关键．19．详见解析【分析】根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．【详解】证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形．∴AB=BC，∠ACB=60°．∴∠FAC=∠ACE=120°．∴∠BAD=∠BCD=120°．∴∠B=∠D=60°．∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．20．（1）详见解析；（2）田忌获胜的概率．【分析】（1）保证胜2局即可；田忌的马按中、上、下的顺序出阵即可得．

（2）用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．列举出所有情况，让田忌获胜的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）∵田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，齐王的马按上、中、下顺序出阵时，∴田忌的马按下、上、中的顺序出阵才能获胜．（2）田忌的马随机出赛的情况可画树状图如下：∴当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：齐王上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上胜方齐王齐王齐王齐王田忌齐王由上可知，双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，故田忌获胜的概率．【点睛】本题考查了利用列表或树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算这个事件的概率为．21．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，根据锐角三角函数求出BC的长（或用勾股定理求），并根据等腰三角形三线合一的性质求出DE的长，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AC=BE．∴BD=BE．（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8．∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，BC=BD·cos∠DBC=8×．∵BD=BE，BC⊥DE，∴CE=CD=4，∴DE=8∴四边形ABED的面积=（AB+DE）·BC=×（4+8）×．22．（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据根的判别式可得△=k2+4，由于k2≥0，进而可判断△＞0，从而可判断此方程有两个不相等的实数根；

（2）先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1•x2的值，而x1+x2=x1•x2，可把x1+x2，x1•x2的值代入，进而可求出k．【详解】解：（1）证明：，∵对任意，恒成立，∴恒成立，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．23．（1）四边形EGFH是平行四边形，理由详见解析；（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形；（3）当（2）中的菱形是正方形时．EF⊥BC，EF=1【解析】【分析】（1）由中位线定理可知GF//EH，GF=EH．利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可；

（2）由BE=CE即可得四边形EGFH是菱形；所以需要当点E运动到AD的中点；

（3）根据菱形EGFH是正方形即可得EG=EH，∠BEC=90°；从而可得△【详解】解：（1）四边形EGFH是平行四边形．理由如下：∵G,F,H分别是BE，BC，CE的中点，∴GF//EH，GF=EH．∴四边形EGFH是平行四边形（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D，∵AE=DE，∴ΔABE≌ΔDCE(SSS)，∴BE=CE．∵G，H分别是BE，CE的中点，∴EG=EF．由（1）知四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形．（3）当（2）中的菱形是正方形时．EF⊥BC，EF=1证明：∵四边形EGFH是正方形，∴EG=EH，∠BEC=90∵G，H分别是EB，CE的中点，∴EB=EC．∵F是BC的中点，∴EF⊥BC，EF=1【点睛】本题考查了等腰梯形的性质及菱形的判定，难度不大，关键是掌握菱形、正方形的判定方法和性质