新高考数学二轮复习对点题型第32讲高考题中的解答题三（数列）（学生版）

高考题中的解答题三（数列）数列求和(一)分组转化法求和某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论.[典例](2022·济南二模)已知{an}是递增的等差数列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分别为等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.[关键点拨]切入点(1)根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答案．(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案障碍点求数列{cn}的前n项和Sn要分n为奇数还是偶数进行讨论方法技巧(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差数列或等比数列，则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和；(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))且数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和；(3)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和．针对训练(2022·菏泽二模)已知数列{an}中a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2n,3)))为等比数列；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.(二)错位相减法求和若数列{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列，则求其积数列{an·bn}的前n项和，可以运用错位相减法.[典例](2022·石家庄二模)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[关键点拨]切入点(1)根据an与Sn得关系，计算即可得出答案．(2)求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和障碍点求Tn时错位相减法后得到等比数列，注意准确确定其项数方法技巧运用错位相减法求和的关键判断模型判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列错开位置为两式相减不会看错列做准备相减相减时一定要注意最后一项的符号针对训练(2022·临沂二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1.(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝eq\f(log2an,an)，求数列{bn}的前n项和Tn.(三)裂项相消法求和(1)对于无法用公式法、分组法、错位相减法求和的数列，可以考虑根据通项的特点，将其裂项，使得和式中许多项能相互抵消．(2)常见的裂项技巧：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan(n>0)．[典例](2022·菏泽一模)已知数列{an}，{bn}满足anb1＋an－1b2＋…＋a1bn＝2n－eq\f(n,2)－1，其中an＝2n.(1)求b1，b2的值及数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝eq\f(4bn－1an,bnbn＋1)，求数列{cn}的前n项和．[关键点拨]切入点(1)将n＝1，n＝2分别代入anb1＋an－1b2＋…＋a1bn＝2n－eq\f(n,2)－1，即可求得b1，b2的值，然后利用递推关系式即可求得数列{bn}的通项公式．(2)代入an，bn，将cn化简后通过裂项相消法，即可求得数列{cn}的前n项和障碍点把cn＝eq\f(4bn－1an,bnbn＋1)裂为两项方法技巧裂项相消之后，余项的基本特征(1)前几后几：即前面的余式和后面的余式的个数相同；(2)前第几，后倒数第几：即余下的式子是对称的；(3)突破口：裂项是关键！注意检验裂项过程中的等号；可以把裂好的项通分，检验等号是否成立．针对训练(2022·枣庄三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4，an＋1，Sn成等比数列，其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(4Sn,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.综合性考法针对练——数列求和1．已知数列{an}满足a1＋a2＝0，an＋2＋(－1)an＝2，则数列{an}的前2020项的和为()A．0 B．1010C．2020 D．20242．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)；第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an(n≥2)等于()A．n2 B．(n－1)2C．n(n－1) D．n(n＋1)3．若数列{bn}满足：若bm＝bn(m，n∈N*)，则bm＋1＝bn＋1，则称数列{bn}为“等同数列”．已知数列{an}满足a5＝5，且an＝n(an＋1－an)，若“等同数列”{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1＝b4，b2＝a2，S5＝a10，则S2022＝()A．4711 B．4712C．4714 D．47184．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)．例如：φ(1)＝1；φ(3)＝2(与3互素有1,2)；φ(9)＝6(与9互素有1,2,4,5,7,8)．记Sn为数列{n·φ(3n)}的前n项和，则S10＝()A.eq\f(19,2)×310＋eq\f(1,2) B．eq\f(21,2)×310＋eq\f(1,2)C.eq\f(19,4)×311＋eq\f(3,4) D．eq\f(21,4)×311＋eq\f(1,4)5．已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3.第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝[lgbn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100.6．(2022·聊城二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3Sn－1＝Sn－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log3eq\r(an)，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.7．在数列{an}中，a1＝2，且an＋1－2n＋1＝an－2n＋1.(1)证明：数列{an－n＋1}是等比数列．(2)若bn＝log4(an－n＋1)，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Sn.8．(2022·平凉二模)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an，②2a1＋2a2＋…＋2an＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．问题：在数列{an}中，已知________．(1)求{an}的通项公式．(2)若bn＝eq\f(2an－1,3an)，求数列{bn}的前n项和Sn.数列的递推关系与子数列问题(一)构造法求数列的通项公式高考试题中求数列的通项公式，一般不单独考查，往往是作为解答题的一个小题，与数列的求和综合考查，其总的原则是转化为等差数列、等比数列求解.[典例](1)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，求{an}的通项公式；(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式；(3)已知数列{an}中，a2＝eq\f(1,3)，an＝an＋1＋2anan＋1，求数列{an}的通项公式．[关键点拨]切入点(1)由an＋1＝3an＋6，可构造an＋1＋λ＝q(an＋λ)的形式．(2)将已知递推式两边同除以2n＋1，由等差数列的定义和通项公式，可得所求．(3)首先证得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，然后求出eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的通项公式，进而求出{an}的通项公式障碍点对递推式进行合理变形，转化为等差数列或等比数列方法技巧1．用“待定系数法”构造等比数列形如an＋1＝kan＋p(k，p为常数，kp≠0)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为an＋1＋m＝k(an＋m)(其中m＝eq\f(p,k－1))，由此构造出新的等比数列{an＋m}，先求出{an＋m}的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式．2．用“同除法”构造等差数列(1)形如an＋1＝qan＋p·qn＋1(n∈N*)，可通过两边同除qn＋1，将它转化为eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(an,qn)＋p，从而构造数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))为等差数列，先求出eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))的通项公式，便可求得{an}的通项公式．(2)形如an－an＋1＝kan＋1an(k≠0)的数列，可通过两边同除以an＋1an，变形为eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝k的形式，从而构造出新的等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，先求出eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的通项公式，便可求得{an}的通项公式．针对训练1．在数列{an}中，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，则a2023的值为()A．1517×22024 B．1517×22023C．1517×22022 D．无法确定2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋2)(n∈N*)，则a10＝()A.eq\f(1,1021) B．eq\f(1,1022)C.eq\f(1,1023) D．eq\f(1,1024)3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝eq\f(1,18)，2an＋1－an＝16an＋1an，bn＝eq\f(1,an)－16，则bn＝________.(二)数列的奇偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征等差、等比数列或其他特征求解原数列.数列中的奇、偶项问题的常见题型：1数列中连续两项和或积的问题an＋an＋1＝fn或an·an＋1＝fn；2含有－1n的类型；3含有{a2n}，{a2n－1}的类型；4已知条件明确的奇、偶项问题.[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，Sn＝(－1)nan＋eq\f(1,2n)＋n－3且(t－an＋1)(t－an)<0恒成立，则实数t的取值范围是________．[关键点拨]切入点由题意及Sn－Sn－1＝an可得an的表达式，再根据n的奇偶性求an迁移点结合函数的单调性解不等式，注意n的范围[例2]已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}前2k项和S2k；(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am＋1，am＋2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．[关键点拨]切入点(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知条件列方程组求得d，q后可得通项公式；(2)按奇数项与偶数项分组求和；(3)按m分奇偶讨论，利用2am＋1＝am＋am＋2，寻找k的解障碍点解第三问时不会由等差中项印证，从而造成无从下手方法技巧1．奇偶两重天(1)项的奇偶性：数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列划分成两个新的数列进行考查，很多同学对n为奇数时的情形产生混淆，往往会弄错新数列与原数列的项数；(2)项数的奇偶性：数列{an}中的任意一项an的角标不是奇数就是偶数．2．处理策略奇偶分离法，其本质其实就是分类讨论，只不过分类标准是项的奇偶性，按照奇数项与偶数项分而治之地进行操作．分类讨