新高考数学二轮复习讲练技巧02 填空题的答题技巧（8大题型）（练习）（解析版）

技巧02填空题的答题技巧目录01特殊法速解填空题02转化法巧解填空题03数形结合巧解填空题04换元法巧解填空题05整体代换法巧解填空题06坐标法巧解填空题07赋值法巧解填空题08正难则反法巧解填空题01特殊法速解填空题1．关于函数，有下列命题：①由可得必是的整数倍；②在区间上单调递增；③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称．其中正确的命题的序号是__________把你认为正确的命题序号都填上【答案】②③

【解析】函数，①特例：，，满足，但是不是的整数倍，所以①不正确；②的周期为，令，可得是函数的单调增区间，所以函数在区间上单调递增；所以②正确；③当时，，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；④由③知的图象不关于直线对称，所以④不正确；故答案为：②③．2．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：①；②；③；④其中为“好集合”的序号是__________．【答案】②③

【解析】对于①，注意到无实数解，因此①不是“好集合”；对于②，如下左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线相交，因此②是“好集合”；对于③，如下中图，注意到过原点任意作一条直线与曲线相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线相交，因此③是“好集合”；对于④，如下右图，注意到对于点，不存在，使得，因为与真数的限制条件矛盾，因此④不是“好集合”．故答案为：②③．3．已知数列的各项均为正数，其前n项的和满足给出下列四个结论：①的第2项小于②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项．其有正确结论的序号为__________．【答案】①③④

【解析】，可得，又各项均为正，可得，令可得，可解得，故①正确；当时，由得，于是可得，即，若为等比数列，则时，即从第二项起为常数，可检验则不成立，固②错误；可得，于是，所以，于是③正确；若所有项均大于，取，则，，于是，与已知矛盾，所以④正确．4．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则__________．【答案】

【解析】根据题意，对任意x都有，令，则有，又由，故又由，则有，故；故答案为：02转化法巧解填空题5．斜率为1的直线与双曲线交于两点A，B，点C是曲线E上的一点，满足，和的重心分别为P，Q，的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为，，，若，则双曲线E的离心率为__________．【答案】

【解析】设，，，则AB中点为，AC中点为，BC中点为，因为P、Q分别为，的重心，故，，因为，的外心为R，故R为AB中点，则由A、B、C三点均在双曲线上，①，②，③，①-②可得，即，同理由②-③可得，④由①-③可得，⑤因为斜率为1的直线与双曲线交于A、B两点，故，则，因为，所以，故④⑤两式相乘可得，即，故，则，则，故答案为6．如图，一个池塘的东､西两侧的端点分别为，现取水库周边两点，测得，，池塘旁边有一条与直线AB垂直的小路l，且点A到l的距离为小张点沿着小路l行进并观察两点处竖立的旗帜与小张的眼睛在同一水平面内，则小张的视线PA与PB的夹角的正切值的最大值为__________．【答案】

【解析】在中，，所以，，由正弦定理可得，所以，在中，，所以，所以，在中，由余弦定理，，所以，设l与AB的交点为E，，，如图，则，由，可得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：7．函数其中，b，，当时，恒成立，则的取值范围为__________【答案】

【解析】由题时，恒成立，则时，恒成立，设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则设，当且仅当时，等号成立，结合题意，则与同号．①当，时，即且时，与具有相同零点，设这两个相同的零点为，，则，，方程的两根为，，即，，则，即，且时，，令，，，则时，，单调递减，时，，单调递增，则，故②当，时，即且时，恒成立，即此时恒成立，则，当且仅当，，时，取到最小值，故综上所述，故答案为8．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．若，则该模型中最小小球的半径为__________．【答案】

【解析】如图所示正四面体ABCD，设棱长为，高为h，O为正四面体ABCD内切球的球心，延长AO交底面BCD于E，E是等边三角形的中心，过A作交CD于F，连接BF，则OE为正四面体ABCD内切球的半径，，，，，由图可知最大球内切于高为的正四面体中，最大球半径，中等球内切于高为的正四面体中，中等球半径，最小求内切于高为的正四面体中，最小球半径故答案为：03数形结合巧解填空题9．已知O为坐标原点，A，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________．【答案】

【解析】因为，即，，当M不在直线AB上时，在线段AB上取点E，使得，所以在AB的延长线上取点F，使得，所以所以因为，所以ME为的角平分线．因为，所以MF平分的邻补角．所以，即所以点M的轨迹为以为直径的圆除去E，，半径为当M在直线AB上时，点M的轨迹为点E，综上，点M的轨迹为以为直径的圆上，半径为设直线l：，过O作交l于点D，当EF的中点为D时，此时因为，，所以故答案为10．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内作往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动，记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为__________．【答案】

【解析】以滑槽AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为，设点，由于，则，由，可得，设，所以，解得，则点M的运动轨迹是椭圆，其方程为，设上的点，则，则切线长为，所以切线长的最大值为故答案为：11．已知的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是__________．【答案】

【解析】如图为直角三角形以斜边所在直线为轴旋转而成的旋转体．因为两条直角边分别为3，4，所以斜边长为5，利用三角形的面积相等，得出斜边上的高为，则圆锥的底面半径为，设两个圆锥的高为，，则，所以故答案为12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，若关于平分线的对称点Q在C上，则C的离心率为__________．【答案】

【解析】因为关于平分线的对称点Q在椭圆C上，由对称性可得P，，Q三点共线，设，则，，在中，由余弦定理可得，所以而，所以，可得，在中，由余弦定理可得，整理得，即离心率故答案为04换元法巧解填空题13．已知函数，则方程是自然对数的底数的实根个数为__________．【答案】6

【解析】令，得方程变为：，即，由与的图象可知方程有三个根当时，，可得函数有极大值，则由函数的图象，方程无解；方程四解；方程两解；所以原方程共有6个根，故答案为：14．已知函数，则在上的零点个数为__________．【答案】2

【解析】由，得，设，则，因为，所以，此时与有两个交点，所以方程有两个根，即有两个根，所以在上的零点个数为2个．故答案为15．已知，若在上恰有两个不相等的实数a、b满足，则实数的取值范围是__________．【答案】

【解析】，，令，则，

因为恰有两个不相等的实数a、b满足，故，故，故16．已知a，b都是正数，则的最小值是__________．【答案】

【解析】因为

均为正实数，故设

，

，则

联立解得

，

，，当且仅当

，即

，即

时取等号，故答案为：

．05整体代换法巧解填空题17．如图，在所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为已知，且，则__________．【答案】

【解析】因为，在中有，所以，由正弦定理得，由，得，即，则，由题意得，，如图：在中，，则得18．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则__________．【答案】6

【解析】由题意可知，，设，的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，所以故答案为：19．锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是__________．【答案】

【解析】，由正弦定理可得：，

即，化为：，是锐角三角形，，解得，，解得，，，的面积是1，，化为：故答案为：06坐标法巧解填空题20．在平行四边形ABCD中，，，AC，BD相交于点O，E为线段AC上的动点，若，则的最小值为__________．【答案】

【解析】平行四边形ABCD中，，，AC，BD相交于点O，，可得，可得，解得，建立如图所示的坐标系，则，，，，AC的方程为：设，，，，当且仅当时取等号．故答案为：21．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．若，，，则MA的最小值为__________．【答案】

【解析】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为设点，，，依题意，，且，所以，且即且由于t不恒为0，于是，故，，代入，可得，则，，当时，取最小值，故的最小值为22．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为．根据以上性质，函数的最小值为__________．【答案】

【解析】根据题意画出图象，函数表示的是点到点的距离与到点，到的距离之和，则这个等腰三角形ABC的费马点在高线AD上，设O点即费马点，连接OB，OC，则，，，，，，，距离之和的最小值为：故答案为：23．用平行于圆锥母线的平面不过顶点截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于__________．【答案】

【解析】连接PO，由题意可得面ABC，所以，由题意，因为E是母线PB的中点，所以，由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示：可得：，设抛物线的方程为，将C点坐标代入可得，所以，所以抛物线的方程为：，所以焦点坐标为，准线方程为，所以焦点到其准线的距离为，故答案为：07赋值法巧解填空题24．已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________．【答案】①④

【解析】由得到，再结合函数为偶函数，，，将x换做得：，，所以函数的周期是在中，令时，得，所以，又周期为4，，所以①正确；在区间上单调递增，是偶函数，图像关于y轴对称，又，函数图象关于点对称，函数在区间上单调递增，在上减，在上增，函数的大致图象可模拟如下：故函数在处可取得最小值，函数在处可取得最大值，y轴和都是函数的对称轴，而不是对称轴，所以②错误，③错误，④正确，⑤错误；故答案为①④．25．若函数的定义域为，且，，则__________．【答案】

【解析】，令，则，可得，令，则，可得，由，可得，，故答案为：26．对于函数，给出下列命题：在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；若，则函数的图象关于直线对称；若，则函数是周期函数；若，则函数的图象关于点对称．其中所有正确命题的序号是__________．【答案】①③④

【解析】设函数与的图象关于直线对称，则，即，解得：，即函数与的图象关于直线对称，故①正确；若，则函数的图象关于直线对称，故②错误；③若，，则函数是周期为2的周期函数，故③正确；④若，则函数的图象关于点对称，故④正确．故答案为：①③④27．函数是定义在R上的奇函数，且满足当时，，则__________．【答案】1

【解析】是定义在R上的奇函数，，且又，，，可得，奇函数的周期为4，故答案为08正难则反法巧解填空题28．设集合…，，，2，3，…，，则集合A中满足条件“…”的元素个数为__________．【答案】

【解析】集合A中共有个元素；其中…的只有一个元素，…的有