指数函数和对数函数综合题目与答案

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，指数函数和对数函数综合指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【要点链接】1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快．2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决一些问题．【随堂练习】、选择题以下函数中随x的增大而增大速度最快的是〔〕1exy= 1001 1假设以下函数中随x的增大而增大速度最快的是〔〕1exy= 1001 1假设a2<a-2A.a>1y=100lnx则a的取值范围是〔a>0f(x)=2x,g(x)=3x,h(x)=(-)x,C.y=x100〕0<a<1y=100义2xD.0<a<1当x£[-8,0)时，它们的函数值的大小关系是〔〕h是〔〕h(x)<g(x)<f(x)C.g(x)<h(x)<f(x)g(x)<f(x)<h(x)D.f(x)<g(x)<h(x).假设1<x<b,a=(logx)2,c=logx，则a、b、c的关系是〔baA.a<b<cB.a<c<b C.c<b<aD.c<a<b二、填空题TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".函数y=x2,y=x3,y=xInx,y=ex在区间(1,+8)增长较快的一个是 ..假设a>0,b>0,ab>1,10ga=ln2,则10gb与10ga的关系是 1 a 122.函数y=x2与y=2x的图象的交点的个数为.三、解答题,-231,1、 ,2、4.比较以下各数的大小：(—2)5、(2-)-2、(一3)3、(―3)5..设方程2x=2—x2在(0,1)内的实数根为m，求证当x>m时，2x>2—x2.答案1.A指数增长最快.1 1C在同一坐标系内画出幂函数y=x2及y=x-2的图象，注意定义域，可知0<a<1.B在同一坐标系内画出f(x)=2x,g(x)=3x,h(x)=(1)x的图象，观察图象可知.

D1<x<b，则0<logx<logb=1,则0<a<1,则logx<log1=0,TOC\o"1-5"\h\zb b a a可知c<0<a<1<b.y=& 指数增长最快.logb<loga由loga=ln2>0，则0<a<1,而ab>1,则b>1,a 1 12 2则logb<0，而loga>0，则logb<loga.

a 1 a 12 23 在同一坐标系内作出函数y=x2与y=2x的图象，显然在x<0时有一交点，又x=2时，22=22,x=3时，32>23,x=4时，42=24，而随着x的增大，指数函数增长的速度更快了，则知共有3个不同的交点.8.2 2解：8.2 2解：(-2)5=25、2=(2)2、1 1 ，2、4，2、4(——)3=———、(——)5=(―)5.3 27 3 32V(2V(—2)5>1、,1「一一3、±(—)3<0，而(y)2、24(—3)5均在0到1之间.考查指数函数y=(|)x在实数集上递减，—2 31 .2.4 1则(—2)5>(-)—2>(—-)5>(—-)3.9.证明：设函数f(x)=2x+x2-2，方程2x=2—x2在(0,1)内的实数根为m,知f(x)在(0,1)有解x=m，则f(m)=0.用定义容易证明f(x)在(0,+8)上是增函数，所以f(x)>f(m)=0,即f(x)=2x+x2-2>0,所以当x>m时，2x>2-x2.备选题8y=0.278y=0.27，则〔〕3b.y>y>y1 3 2d.y>y>y1 2 3.设y=0.06257,y=0.037,\o"CurrentDocument"1 2a.y>y>y3 2 1c.y>y>y2 1 34 4 41.By=0.257,y=0.047，而幂函数y=x7在x>0上为增函数，\o"CurrentDocument"1 32.2.图中曲线是对数函数y=logx的图象，已知a取％3,二，二，四个值，则相应于G，a 5510 12.C2,A.C.C2.C2,A.C.C3,C4的a值依次为〔〕-431v3,3,5,i04,v3,3,-3 510B<3411B.x,3,10,5d4、3

. , , ,3 105c作直线y=1,与四个函数的图象各有一个交点，从左至右的底数是逐渐增大的，则知则相应于， . .4231C1，C2，C3，C4的a值依次为力,v3,-,-12 34 3 510指数函数复习【要点链接】1．掌握指数的运算法则；2．熟练掌握指数函数的图像，并会灵活运用指数函数的性质，会解决一些较为复杂的有关于指数函数复合的问题．【随堂练习】一、选择题.函数y=2%+a的图象一定经过〔〕A.第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限.已知三个实数a,b=aa,c=ab，其中0<a<1,则这三个数之间的大小关系是〔〕A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b.设f(x)=(1)』,%£R,那么f(%)是〔〕A.奇函数且在(0,+s)上是增函数 B.偶函数且在(0,+8)上是增函数C.奇函数且在(0,+8)上是减函数 D.偶函数且在(0,+8)上是减函数1.函数y=---的值域是〔〕2%一1A.(-8,1) B.(-8,-1)U(0,+8)C.(-1,+8) D.(-8,0)U(。,+8)二、填空题.假设函数f(%)=71-2%的定义域为是..函数f(%)=(a2-3a+3)a%是指数函数，则a的值为..方程2|%|=2－%的实数解有 个.三、解答题.已知f(%)=2%,g(%)是一次函数，并且点(2,2)在函数f[g(%)]的图象上，点(2,5)在函数g[f(%)]的图象上，求g(%)的解析式.,… …a2%—1—a,,一.假设函数y=--~~--为奇函数.2%—1〔1〕确定a的值；〔2〕求函数的定义域；〔3〕讨论函数的单调性.答案A当a=0，图象不过三、四象限，当a=-1,图象不过第一象限.而由图象知函数y=2%+a的图象总经过第一象限.C由 得 则〃<匕<1,所以 a<c<b.1TOC\o"1-5"\h\z1 (-)X,(转0) 1D因为函数/⑴=(万"=2 ，图象如以下图. I[2x,(X<0)由图象可知答案显然是D. 一B 令t=2x-1,2x>0，则2x>—1,又作为分母，则t>-1且t幺0,画出y=-的图象，则t>-1且t。0时值域是(-8,-1)U(0,+8).t(-8,0]由1-2x>0得2x<1，则x<0.2知a2-3a+3=1,a>0且a。1，解得a=2.2 在同一坐标系内画出y=2xi和y=2—x的图象，由图象知有两个不同交点.解：：g(X)是一次函数，可设为g(X)=kx+b(k。0)，则f[g(x)]=2kx+b，点(2,2)在函数f[g(x)]的图象上，可得2=22k+b，得2k+b=1.又可得g[f(x)]=k-2x+b，由点(2,5)在函数g[f(x)]的图象上，可得5=4k+b.由以上两式解得k=2,b=-3，g(x)=2x-3.TOC\o"1-5"\h\za2x一1一a 1解：先将函数y=——--化简为y=a----.2x—1 2x—1〔1〕由奇函数的定义，可得f〔一x〕+f〔X〕=0，即1 1 1—2x 1a- +a- =0，.・.2a+-——=0，Aa=--.2—x—1 2x—1 1—2x 21 c〔2〕・/y=———7；7，•>2X—1W0.2x—1，函数y=-1——^-定定义域为｛xixW。｝.2 2x—1〔3〕当X>0时，设0<X1<X2，__ 1 _ 1 _ 2X1—2X2人」""2x2—1 2X]—1 (2x2-1)(2%-1)V0<X1<X2，；♦1<2X1<2X2.2X—2X2<0，2X1—1>0，2X2—1>0.・•.乂一y2<0，因此y=—1—在〔0，+8〕上递增.2 2x—1同样可以得出y=-1—刀;在〔一8，0〕上递增.2 2x—1备选题.函数y=ax(a>1)在区间[0,1]上的最大值是4,则a的值是〔〕A.2 B.3 C.4 D.5C函数y=ax(a>1)在区间[0,1]上为增函数，则最大值是a1=4,则a=4.

函数y=a'2-2x〔a>1〕的定义域，值域{xIx三2,或xW0} {yIy三1}由x2—2x>0，得定义域为{x|x三2,或xW0}；此时、，:x2—2x>0，则值域为{yiy三1}.对数函数【要点链接】1.掌握对数的运算法则；2.熟练掌握对数函数的图像,并会灵活运用对数函数的性质,会解决一些较为复杂的有关于对数函数复合的问题.【随堂练习】、选择题1210g3x=-，则x等于〔〕4C.C.x=、：3D.x—9〕B.x轴对称d.直线y=x对称0<a<1,则x1、x2、x3的大小关系是〔A.x=_B.x= 9 3.函数y=1g〔二—1〕的图象关于〔1－xa.y轴对称c.原点对称.已知logx=logx=logx>0,21 a2 a+13aA.x3<x2<x1 B.x2<x1<x3 c.x1<x3<x2 D.x2<x3<x14.假设函数f(x)=log(—)(a>0且a中1)的定义域和值域都是[0,1],则a等于〔ax+4.b.b.72 c.噂D.2二、填空题TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5.函数y—log v,3x—2的定义域是 ^2x—1\o"CurrentDocument"6.设函数f(x)满足f(x)―1+f(1)-logx，则f(2)— .2 2117.已知a=log3,b=10g-,c=10g，则a、b、c按大小关系排列为\o"CurrentDocument"1 13 12223三、解答题.假设f(x)=1+10g3,g(x)=2log2，试比较f(x)与g(x)的大小.xx.假设不等式x2—logx<0在〔0,1〕内恒成立，求实数m的取值范围.m2

答案答案TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 12log3xACDA4=2-2，则10g3x=-2，则x=2log3xACDA- 2 -1+xy=1gf-——1〕=ig ，易证f(-x)=-f(x)，所以为奇函数，1一x 1—x则图象关于原点对称.,.,0<a<1,；.a<1<a+1<,；.x<1<x<x.a2 310<x<1时，1<」<1,要使值域也是［0,1］,就有f(x)>0，则0<a<1,2x+1则f(x)在［0,1］为增函数，则log1=0,log==1,解得a=..a a2 25.5.(2,1)U(L+8)可知3x-2>0,2x-1>0且2x-1丰1,解得x>3且x丰1.3由已知得f(1)=1+f(1)-1og22，则f(1)=1，则f(x)=1+1-1og2x,…“1, -3则f(2)=1+--log2=-.2 2 2a<c<ba=-log3<0,b=log3>1,c=log2，则0<c<1,那么有a<c<b.2 2 33x8.解：f(x)-g(x)=log(3x)-log4=log.x x x4x 一 3x 一一当0<x<1时，0<—<1,则log >0，则f(x)>g(x)；x4- 4.3x当x=—时，—=1,则f(x)=g(x)；4 3x 3x当1<x<不时，0<—<1,则log—<0，则f(x)<g(x)；4 x43x- ， 3x八。、 ,、当x>不时，—>1,则10g—>0，则f(x)>g(x).4 x49.解：由x2-9.解：由x2-logx<0得x2<logx.m在同一坐标系中作y=x2和y1、要使x2<logx在〔0,-〕m 21、只要y=logx在〔0,-〕m 2m=logx的图象.m内恒成立，内的图象在y=x2的上方，于是0<m<1..*x=—时y=x2=—2 4；•只要x=R时y=.*x=—时y=x2=—2 42 m2 4/.—Wm4,即——Wm.2 16又0<m<1,・•.所求实数m的取值范围-1Wm<1.16

备选题1．以下函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是〔〕A.y=弓卜b.y=-C.y=log3(-x) d.y=—%3D A、C是非奇非偶函数，B是奇函数，但在定义域内不为减函数，则选D.11.2a=1000,0.0112b=1000，则---=〔〕abTOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2C.3 D.42.A1=log 11.2,1=2.Aa 1000 b 100011则―11则―-7=logab1000——=log1000=1.0.0112 10003.如果函数f(%)=(3-a｝，g(%)=log%它们的增减性相同，则a的取值范围a是 .3.1<a<2由3-a>0且3-a中1,及a>0且a中1,得0<a<1,或1<a<2,或2<a<3.当0<a<1或2<a<3时，f(%)与g(%)一增一减，当1<a<2时，f(%)与g(%)都为增函数.同步测试题一、选择题.已知3a=2，那么log8—2log6用a表示是〔〕33A.a—2B.5a—2C.3a—(1+a)2 D.3a—a2.假设函数y=log(X+b)[a>0且a中1〕的图象过两点(—1,0)和(0,1)，贝U()aA. a=.v2,b=2 B.a=2,b=23.C.a=2,b=1 D.a=J2,b=3.已知f(x)=ax,g(x)=logx,(a>0且a中1)，假设f(3)-g⑶<0,则f(x)与a4.，g(x)4.，g(x)同一坐标系内的图象可能是〔〕A.单调递减，无最小值

C.单调递增，无最大值B.单调递减D.单调递增有最小值有最大值5.f(5.f(nx)=[f(x)]n (ngQ)offf f(x)B.f(x—y)= f(y)f[(盯)n]=[f(x)]n•[f(y)]n(ngN+)设指数函数f(x)=ax(a>0,a丰1),则以下等式中不正确的选项是〔.函数x)=loga|x+1，在〔一1,0〕上有x)>0,那么〔〕fx)(fx)(-8,0)上是增函数C.fx)在〔一8,-1〕上是增函数fx)在〔一8,0〕上是减函数D.fx)在〔一8,一1〕上是减函数二、填空题[log,x(x>0) 1.已知函数f(x)=13x2(xV0),则f[f(4)]=.11.直线x=a(a>0)与函数y=(3)x,y=(2-)x,y=2x,y=10x的图像依次父于A、B、C、D四点,则这四点从上到下的排列次序是 ..已知f(x)=log](3—2x—x2)，则值域是；单调增区间是.2三、解答题.求函数f(x)=ax+11—ax|(a>0且a丰1〕最小值..已知函数f(x)=llgxI,如果0<a<b,且f(a)>f(b),证明：ab<1.

12.已知函数f(x)=log1(2—12.已知函数f(x)=log1(2—mx—m)2〔1〕〔2〕〔3〕假设函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；1．、选择题已知函数y=kx与y=logx图象的交点横坐标为2,则k的值为〔〕1A. —2121B.一41C.—2D.—2．已知函数y=ax1．、选择题已知函数y=kx与y=logx图象的交点横坐标为2,则k的值为〔〕1A. —2121B.一41C.—2D.—2．已知函数y=ax+b的图象不经过第一象限，则以下选项正确是〔3．1a=—,b=—221C.a=—,b=12假设函数f(x)=loga=2,b=—3D.a=3,b=0x(0<a<1)在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍，则a的值4．为〔)1A——4B．D．A．0ex—11B2是奇函数,则m的值是〔C．1D．二、填空题.如图，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=ae-〃J那么桶2中水就是y=a—ae-n.12假设过5分钟时桶1和桶2的水相等,则再经过 分钟桶1中的水只有a.8.已知y=log〔2—ax〕在［0,1］上是x的减函数，a则a的取值范围是 .三、解答题3.已知函数y=b+ax2+2x(a、b是常数且a>0,aW1)在区间［—,，0］上有ymax=3,5ymin=2，试求a和b的值.8.设函数f8.设函数f(x)=log+log(X-1)+log(p-X).(p>1)〔1〕求f(X)的定义域；〔2〕f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；假设不存在，请说明理由.答案A组A3a=2，则a-log2,log8一2log6=3log2—2(1+log2)=a—2.3 3 3 3 3B由已知可得0-log(b—1),则b-2，又1-logb-log2，则a-2.a a aCf(3)-g⑶<0，则g⑶<0，则0<a<1,则f(x)与g(x)都为减函数.A1+2x>1,则0<<1,则f(x)无最大值，也无最小值，1+2x而显然f(x)为减函数D逐个验证可知D不正确D—1<x<0时，0<|x+1|<1，而f(x)>0,则0<a<1,画出f(x)=loga|x+1|的图象，知f(x)在〔一8,一1〕上是减函数.1f(1)-log1-—2，则f[f(1)]=3-2=1.9 4 24 4 9D、CA画出图象可知.L2, ,L1,1)有3—2x—x2>0，则—3<x<1,在x=—1时3—2x—x2有最大件4,令t-3—2x—x2，则0<t<4，则logJ>10gl4=—2，则值域是1—2,+8),在L1,1)上，t-3—2x—x2递减，则f(x)-logJ3—2x—x2)单调增区间是L1,1).2c 「2ax—1,(x>0)TOC\o"1-5"\h\z.解：当a>1时，f(x)-1 画出图象，知此时f(x) =1.[1,(x<0) min_ 12ax—1,(x<0)当0<a<1时，f(x)=\ 画出图象，知此时f(x) =1.[1,(x>0) min由以上讨论知函数f(x)-ax+|1—ax|(a>0且a丰1〕最小值为1..证明：画出函数f(x)=|lgx|的图象，可以看出在(0,1]上为减函数，在[1,+8)上为增函数，0<a<b时有f(a)>f(b)，则不可能有1<a<b,则只有0<a<b<1及0<a<1<b这两种情况.假设0<a<b<1,显然ab<1；假设0<a<1<b，则f(a)>f(b)化为|lga|>|lgb|，则—lga>lgb,则lga+lgb<0,lg(ab)<0，可得ab<1.由以上讨论知，总有ab<1.22〕,„ 1土j512.解:〔1〕方程x2-x-1=0的根为x=--12.解:, 1- 1+:5于是函数的定义域为(-8,—^)D(一2,2

所以(0,+8)CUIU=x2所以, 1- 1+:5于是函数的定义域为(-8,—^)D(一2,2

所以(0,+8)CUIU=x2因为函数的值域为R,〔因为函数的值域为R,故A=m2+4m/0nmVy4或m>0.〔3〕欲使函数在区间^8,1-"上是增函数，则只须J—J3Vy n|m>2-2超4-%於)-m1-33)-m>0=1mV2所以2-2V3<m<2,B组A由y=logx,当x=2时，y=-1,代入y=kx中，有-1=2k，则k=-；.1 22A当a=2,b=-2时，y=(2)x-2，其图象是y=(2)x的图象向下平移了2个单位，则就不会经过第一象限了.C 知f(x)在［a,2a］上为减函数，则最大值是10ga=1,最小值是a2log(2a)=1+log2，则1=3(1+log2),则log2=--,TOC\o"1-5"\h\za a a a 33 °13 <2loga=-—,a—22= .2 2 4m^mmmexmD 由f(-x)=—f(x)，得1+ -=-1- ，则2+- =- ,e-x—1 ex—1 1—ex ex—1可得2-可得2-mexmex-1ex-1，5.10根据题设条件得：ae-5n=a-ae-5n，所以e-5.10a1 1令ae-nt=G，则e-n=-，所以e-n=(-)3=e-15n,8 8 2所以t=15.15—5=10〔分钟〕，即再经过10分钟桶1中的水就只有a.8是减函数,6.a£〔1,2〕是减函数,a>0且aW1n^〔x〕=2—ax是减函数，要使y=log〔2—ax〕a2则a>1,又2—ax>0na<—〔0<x<1〕na<2,所以a£［1,x7.解：令u=x2+2x=(x+1)2—1・•.当7.解：令u=x2+2x=(x+1)2—1・•.当x=—1时，umin=—13x£[—2，0]，； 当x=0时，Umax=0.1)当a>1时<b+