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高中数学：二次项展开公式应用举例※.已知(eq\f(a,54x)-eq\r(\f(x,2)))9的展开式中x³的系数为eq\f(5,4)，求常数a的值。解：展开式通式Tᵣ=C(9,r)*(eq\f(a,54x))eq\s\up10(9-r)*(-eq\r(\f(x,2)))r,=C(9,r)*aeq\s\up10(9-r)*(54x)eq\s\up10(r-9)*(-1)r*(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2)),=C(9,r)*(-1)r*aeq\s\up10(9-r)*54eq\s\up10(r-9)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),=C(9,r)*(-1)r*(eq\f(a,54))eq\s\up10(9-r)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),根据题意有：eq\f(3r,2)-9=3,求出r=8，代入有：9-r=9-8=1,C(9,r)=C(9,8)=9，(-1)r=(-1)8=1，(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2))=(eq\f(1,2))4,根据系数关系有：9*eq\f(a,54)*(eq\f(1,2))4=eq\f(5,4),即：a=eq\f(5,4)*24*eq\f(54,9)=120.※.若(x4+eq\f(2,x2))n的展开式各系数的和为729，则n和展开式的常数项分别是多少？解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：(1+2)n=729,即可求出n=6.本题展开式通式为：Tᵣ=C(6,r)*(x4)6-r*(eq\f(2,x2))r=C(6,r)*x4*6-4r*2r*x-2r=C(6,r)*2r*x4*6-4r-2r因为求常数，所以：4*6-4r-2r=0，即r=4，则此时的系数为：Tᵣ=C(6,r)*2r=C(6,4)*24=15*16=240.※.求二项展开式(3x+2)⁵中偶数项的系数和。解：根据题意，设：(3x+2)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，分别令x=1和x=-1，有：(3+2)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,(3-2)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,两式子相加有：2(a₁+a₃+a₅)=(3+2)⁵+(3-2)⁵,即：2(a₁+a₃+a₅)=3125+1,2(a₁+a₃+a₅)=3126,所以：a₁+a₃+a₅=1563。※.在(3-2x)6*(24+31x)展开式中,x3的系数是多少？解：对(3-2x)6来说，展开通项有：Tᵣ=C(6,r)*36-r*(-2x)r=C(6,r)*36-r*(-2)r*xr题意要求x3的系数，考虑到24+31x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=3和r=2，则：T=T₁+T₂=24*C(6,3)*36

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