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高中数学：二次项展开公式应用举例※.已知(eq\f(a,18x)-eq\r(\f(x,3)))9的展开式中x³的系数为eq\f(5,3)，求常数a的值。解：展开式通式Tᵣ=C(9,r)*(eq\f(a,18x))eq\s\up10(9-r)*(-eq\r(\f(x,3)))r,=C(9,r)*aeq\s\up10(9-r)*(18x)eq\s\up10(r-9)*(-1)r*(eq\f(x,3))eq\s\up20(\f(r,2)),=C(9,r)*(-1)r*aeq\s\up10(9-r)*18eq\s\up10(r-9)*(eq\f(1,3))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),=C(9,r)*(-1)r*(eq\f(a,18))eq\s\up10(9-r)*(eq\f(1,3))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),根据题意有：eq\f(3r,2)-9=3,求出r=8，代入有：9-r=9-8=1,C(9,r)=C(9,8)=9，(-1)r=(-1)8=1，(eq\f(x,3))eq\s\up20(\f(r,2))=(eq\f(1,3))4,根据系数关系有：9*eq\f(a,18)*(eq\f(1,3))4=eq\f(5,3),即：a=eq\f(5,3)*34*eq\f(18,9)=270.※.若(2x5+eq\f(1,x))n的展开式各系数的和为729，则n和展开式的常数项分别是多少？解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：(2+1)n=729,即可求出n=6.本题展开式通式为：Tᵣ=C(6,r)*(2x5)6-r*(eq\f(1,x))r=C(6,r)*26-r*x5*6-5r*1r*x-r=C(6,r)*26-r*1r*x5*6-5r-r因为求常数，所以：5*6-5r-r=0，即r=5，则此时的系数为：Tᵣ=C(6,r)*26-r*1r=C(6,5)*26-5*15=6*2*1=12.※.求二项展开式(4x+2)⁵中偶数项的系数和。解：根据题意，设：(4x+2)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，分别令x=1和x=-1，有：(4+2)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,(4-2)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,两式子相加有：2(a₁+a₃+a₅)=(4+2)⁵+(4-2)⁵,即：2(a₁+a₃+a₅)=7776+32,2(a₁+a₃+a₅)=7808,所以：a₁+a₃+a₅=3904。※.在(2-2x)6*(7+7x)展开式中,x2的系数是多少？解：对(2-2x)6来说，展开通项有：Tᵣ=C(6,r)*26-r*(-2x)r=C(6,r)*26-r*(-2)r*xr题意要求x2的系数，考虑到7+7x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=2和r=1，则：T=T₁+T₂

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