大学附中高中数学（选择性必修1）导学设计

XX大学附中高中数学(选择性必修1)导学设计编号1

空间向量及其线性运算

【学习目标】

I.经历由平面向量推广到空间向量的过程，体会平面向量与空间向量的共性和差异：

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算；

3.记住向量共线、共面定理，并会用向量共线、共面定理解决相关问题.

【学习重点】I.向量加减法运算(三角形法则和平行四边形法则).

2.向量共线定理的应用.

【学习难点】向量共线、共面定理的应用.

一、导学：

阅读课本〃2-5,完成导学部分。

I.空间向曷的某本概念

空间向量零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量

2.空间向量的加减法及数乘运算

(1)空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变，一。一\

为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，/

0B=AB=

(2)运算律

加法交换律：加法结合律：

数乘结合律：数乘分配律：

3.方向向量：

4.共面向量：

问题：空间任意两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？

如果两个向最4,人不共线，那么向量P与向量4共面的充要条件是

二.导练：

1.已知平行六面体人ga)-A*c7y,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

(1)AB+BC；(2)AB+AQ+A4'；

(3)AB+AD+-CC(4)-(AB+AD+AAr)

2.如图所示，已知四边形4BC。、ABE/都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF

的中点，判断CE与MN是否共线.

3.如图，已知平行四边形4BCD,过平面4c外一点0作射线OA、OB、OC、0D,在四

竹口/市OEOFOGOH十f口匚厂口

条射线上分别取点E、F、G、H,并月.便——=——=——=——=k,求证：E、F、G、H

OAOBOCOD

四点共面.

三.目标检测：

1.下列说法中正确的是1)

A.若|。|=|2|,则〃的长度相同，方向相反或相同.

B.若。与〃是相反向量，则|("=|力|.

C.空间向量的减法满足结合律

D.在四边形A8C。中，一定有A4+4O=AC.

2.空间四边形Q4BC中，〃、N分别是Q4、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN,

}§：OG=xOA+yOB+zOC,则()

AII111I

A.x=->y=->z=-BR.x=->y=-,z=—

3•333.36

「111cl11

C.A=­»y=—»z=-u.x=—»y=-»z=-

6-63633

3.下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是()

®OM=OA-OB-OCx@OM=-OA^-OB+-OCx

532

@MA+MB+MC=Oi®OM+OA+OB+OC=0.

A.lB.2C.3D.4

4.已知空间四边形ABCZ）的四个顶点A、B、。、。不共面，E、F、G、”分别是A3、BC、

CD.4。的中点，求证：E、尸、G、”四点共面.

XX大学附中高中数学(选择性必修1)导学设计编号2

空间向量的数量积运算

【学习目标】

I.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的数量积运算；

2.能结合空间向量数量积的运算公式求向量的模长及夹角.

【学习重点】空间向量数量积运算

【学习难点】空间向量数量积的应用

一、导学：

1.空间向量的夹角：

1.定义：已知两个非零向量a,〃，在空间任意取一点0,作Q4=a,OB=hf则.

叫做向量a与。的夹角，汜作.

2.范围：特别地，如果(a,Z?)=0,那么a与/?同向；如果(a,。)=〃，那

么。与〃反向；如果(4/»=90。，那么。与〃,记作.

思考：向量的夹角(04。)、叫、卜。有何关系?

2.数量积的定义：

已知两个非零向量a,b,则叫做a,〃的数量积，记作.

即___________=.零向量与任何向量的数量积为.

3.向量。在向量力上的投影向量：

向量a在平面6上的投影句量：

4.性质与运算律：

性质：(1)a・e=|4|cos«,e)(2)aA.b<^ab=

(3)|«|2=_________

运算律：(1)(Aa)-b=(2)ab=(交换律)

二.导练:

1.已知空间四边形4BCZ)的每条边和对角线长等于1,点E,尸分别是AB、A。的中点,

计算：(1)EF•BA(2)EF•BD(3)EF-DC.

2.如图，在空间四边形。ABC中，。4=8,人B=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45C,Z

OAB=60°,求OA与BC的夹角的余弦值.

3.在正四面体4BCO中，棱长为a,M、N分别是棱AB、C。上的点，且|M8|二2|AM|,

求|MN|.

三.目标检测：

1.下列命题正确的是()

A.ab=ac(awO)nb=cB.a/?=0=>a=0或力=0

C.(ab)c=a(bc)D.a(Ab)=A(a•b)

2.正三棱柱ABC-A6G的各棱长都为2,E,F分别是AB,AiG的中点，则E/7的长()

A.2B.x/3C.x/5D.x/7

3.已知空间四面体OABC的各棱长为1,则。4在8c上的投影向量的模长为,OA

在平面ABC上的投影向量的模长为，OA与平面ABC所成角的余弦值为

4.在棱长为1的正四面体4BCO中，E是BC的中点，则AE-CO=.

5.四面体。一ABC中，ZPAB=ZBAC=ZPAC=,|AB|=I,\AC\=2,|AP|=3,则

\AB+AP+AC\=.

6.如果q,弓是两个夹角为60。的单位向量，则〃=《+电与〃=42心的夹角为.

7.已知a,人是空间两向量，若|a|=3,||=2,|a-b|=J7,则。与/?的夹角为

向量a在向量力上的投影向量为.

8.已知在空间四边形48co中，AB1CD,ACA,BD,求证：4D_L8C（用向量法）.

9.如图所示，在四棱锥P-ABC7）中，附_L平面48c。，AB1BC,AB1AD,且

PA=AB=BC=-AD=\,求P8与。所成的角.

XX大学附中高中数学（选择性必修1）导学设计编号3

空间向量基本定理

【学习目标】记住空间向量基本定理，并会应用空间向量基本定理解决相关问题.

【学习重点】空间向量基本定理的应用.

【学习难点】空间向量基本定理的理解

一、导学：

阅读课本PU-PI2相关内容，回答下列问题：

1.空间向量基本定理

问题1：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量表示（平面向量基本

定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？

定理：如果三个向量4，b,C,那么对于任用一个空间向量〃，存在

使得P=.其中我们把最做空间的一个基底，叫

做基向量.

问题2：空间任意三个向量都可构成空间的一个基底吗？

特别地，如果空间的一个基底中三个基向量那么这个基底叫做单位

正交基底，常用表示

对于空间中任意一个向量a，均可以叫

做把空间向量。进行正交分解.

二.导练：

1.（1）已知｛a,b,c）是空间向量的一个基底，则可以与向量〃=a+〃，4=4-匕构成一

个基底的向量是（）

A.aB.hC.a+2bD.〃+2c'

2.已知正方体/SCO-AgCQ中，点E为上底面4G的中心，若=+

则X、的值分别为（）

A.x=1»y=1B.x=l,y=g

3.如图，空间四边形Q4BC,G,H分别是kABC,NOBC的重心，设。4=a,OB=〃，OC=c,

试用向星mb,c表示向星:OG和G”.

4.如图，在棱长为I的正方体ABCO-dgGA中，M、N分别是和的中点，借助

空间向量完成：

(1)求证MN//CG；

(2)求直线AM和CN所成角的余弦值.

MB

5.三棱柱ABC-A4G中，底面边长和侧棱长都相等，N84A尸NC44=60。，求异面直线

AS与8G所成角的余弦值.

三.目标检测：

I.在以下命题中，不正确的命题个数为()

(1)已知A、B、C、。是空间任意四点，则A8+8C+CO+D4=0.

(2)若｛a,b,c｝为空间的,个基底，则｛〃+力,〃+c,c+。｝构成空间的另■个基底.

(3)\(ab)-c\=\a\-\b\\c\.

(4)对空间任意一点O和不共线的三点4、艮C,若。P=YO4+)，0A+70c(其中,八)，、

z£R),则P、4、B、。四点共面.()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.在四面体。一ABC中，Q4=a,OB=b,0C=c,0为BC的中点，E为4。的中点,

则0E可表示为(用a,b、c表示).()

A-LC.U+L

244232344344

3.已知空间四边形OA8C,其对角线为08,AC,M,N分别是对边04,BC的中点，点G

在线段M,N上，且MG=2GN,现用基组\OAtOB,OC]表示向量OG，有

OG=xOA+yOB+zOC,则x,z的值分别为.

4.在平行四边形/WCO中，AB=AC=],NACQ=9()。，将它沿对角线AC折起，使相和

C。成60。角(见下图).求B、。间的距离.

XX大学附中高中数学（选择性必修1）导学设计编号4

空间向量及其运算的坐标表示

【学习目标】1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间直角坐标；

2.经历由平面向最的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向最的

运算及其坐标表示.

【学习重点】空间向量的坐标表示及坐标运算.

【学习难点】空间向量运算的坐标表示.

一、导学：

阅读课本P16-P21相关内容，完成以下内容：

1.空间直角坐标系及相关概念

（1）空间直角坐标系：在空间选定一点。和一个单位正交基底｛i,女｝,以。为原点，

分别以i,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：,

它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个叫做原点，i,j,k都叫做坐标

向量，通过______________的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、

平面，它们把空间分成八个部分.

（2）在空间直角坐标系0Pz中，i,j,A为坐标向量，对空间任意•点A,对应••个向量。A,

且点力的位置由向量04唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组G,>>,

z）,使。4=*+切+zh在单位正交基底｛i,J,幻下与向量OA对应的叫做

点4在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点A的横坐

标，叫做点A的纵坐标，叫做点A的竖坐标.

（3）在空间直角坐标系Opz中，给定向量。，作OA=a.由空间向量基本定理，存在唯一

的有序实数组（x,y,z）,使。=浦+犷+2匕有序实数组（x,y,z）叫做。在空间直角坐标

系Oyyz中的坐标，上式可简记作a=（x,y,z）.

2.空间向量运算的坐标表示：

（I）空间向量的坐标运算：

若a=（%,%,%）,〃=（4，阳&），则

（1）d+b=（2）a-b=

（3）=（4）a-h=

(5)aHbo______________________(6)=_______________________

.,ab

(7)\d\=y[d~a=__________________(8)cos<a、b>=--------

\a\\b\

(ID空间中向量的坐标及两点间距离公式:

若A(xi，y\,zi),B(X2，”，Z2),则

(1)AB-______________________(2)\AB\-______________________

二导练：

I.已知以垂直于正方形桢CQ所在的平面,M、N分别是A8、PC的中点，并且以=AD=1,

建立适当坐标系，求向量MN的坐标.

2.已知正三棱柱ABC-A£G,底面边长AB=2,ABilBG，点0,。分别是棱AC,4G

的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求三棱柱的侧棱长；

(2)求异面直线A8L与8c所成角的余弦值.

3.已知0为坐标原点，A,B,。三点的坐标分别是(2,-1,2)、(4,5,-1)、(-2,2,3).求点P

的坐标使得(I)OP=-(AB+AC);(2)AP=-(AB-AC)

22

4.设4=(1,5,—1),/?=(-2,3,5).

(1)若(ka+b)〃(a-3b),求生

(2)若+B)_L(d-3方),求女.

三.目标检测：

I.已知。=(2,-1,3),b=(-4,2,x)且a±b,则x=.

2.已知A(1,O,O),4(0,—1,1),。人+2OB与OB的夹角为120。，则入的值为()

A+6B.通C「国

A.±—D.±76

666

3.已知。=(1,2,-y)，1=(芭1,2)且3+»)〃(24-杨,则()

A11

A.x=-,y=\B.x=—»y=-4C.x=2,y=-—D.x=1,y=-l

2.4

4.A(-2,3,l),5(2,-5,3),C(8J8),D(4,9,6),求证：四边形ABC。为平行四边形.

XX大学附中高中数学（选择性必修1）导学设计编号5

空间向量在立体几何中的应用

【学习目标】1、会用空间向量判断和证明空间中的平行、垂直问题；

2、会用空间向量求空间角：

3、会用空间向量求空间距离.

【学习重点】用空间向量求空间角.

【学习难点】建立空间直角坐标系及确定空间点的坐标.

一.导学：

阅读课本/>26741的相关内容，完成以下内容：

1.空间中点、直线和平面的向量表示：

（1）如图，在空间中，我们取一定点。作为，那么空间中任意一点P就可以用向

量位置向量。产来表示.我均把向最OP称为点P的.

（2）直线/的方向向量为防且过点A.如图，取定空间中的任意一点。，可以得到点尸在

直线/上的充要条件是存在实数，，使

OP=OA+ta,①

8把人8=。代入①式得

OP=OA+lAB,②

①式和②式都称为.

（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,），，使OP=.

③我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.

（4）如图，直线/_La,取直线/的方向向量。，我们称a为平面a的过点A且

以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合｛P|a•人~=0）.

2.空间中平行关系的向量表示：

设直线/,〃?的方向向量分别为a，〃，平面a,P的法向量分别为〃，v»则

(1)线线平行：〃/机。o

(2)线面平行：IHa。o

(3)面面平行：aZ^oo

3.空间中垂直关系的向量表示：

设直线/,〃?的方向向量分别为a，b,平面a,[3的法向量分别为“，v»则

(1)线线垂直：。。

(2)线面垂直：=o

(3)面面垂直：oo

4.空间中距离的向量求法：

(1)两点A(X],M,Z]),以出，)’2)间的距离4AB-IA"I-.

(2)已知直线/的单位方向向量为“，A是直线/上的定点，P是直线/外一点，设向量4P

在直线/上的投影向量为AQ=;则点尸到直线/的距离为.

(3)已知点尸和平面a上任一点A,向量〃为平面a的法向量，则点尸到平面a的距离•可

表示为.

5.空间中的角的向量求法：

设直线的方向向量分别为a,1,平面a,0的法向量分别为〃,U’则

(1)若两异面直线/与，力所成角为0(0<。<二)，则cos0=；

2

(2)若直线/与平面a所成角为/0<942)，则sin，=：

2

(3)若平面a与平面p的夹角为e(o<ev]),则8se=；

二.导练：

1.在四棱锥尸-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥

的高力=()

A.!B.2C.13D.26

2.已知四棱锥尸—ABCQ的底面为直角梯形，AB//DC,N。人8=90。，附_1_底面48。。，且

PA=AO=OC=LA8=1,M是P8的中点.

2

(1)证明：面以。L面尸CD；

(2)求AC与尸8所成的侑；

(3)求面AMC与而8MC夹角的余弦值.

XX大学附中高中数学(选择性必修1)导学设计编号6

直线的倾斜角和斜率

【学习目标】1.记住直线的倾斜角斜率的定义；

2.会用过两点的直线的斜率的计算公式.

【学习重点】直线的倾斜角与斜率的关系.

【学习难点】对直线的倾斜角与斜率概念的理解

一.导学

阅读课本〃51-〃54,完成导学部分.

1.倾斜角的概念：

当直线/与x轴时，取作为基准，正向与直线/_______之间所成的角a

叫做直线/的倾斜角，直线倾斜角的范围为.

注意：当真线与轴x平行或重合时,我们规定它的倾斜角为.

2.倾斜角的坐标表示

探究1：设小和y),6(々,月)(玉工毛)是直线/上的两点，由两点确定一条直线可知，直线

/由点P，P2唯一确定，那么，直线/的倾斜角与外，P2两点的坐标有怎样的关系？

思考1：当直线与x轴平行或重合时，上面的式子还成立吗？为什么？

思考2：当直线与)，轴平行或重合时，上面的公式还适用吗？为什么？

3.斜率与倾斜角的关系：

“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=

一条直线的倾斜角a(a+-)的叫做这条直线的斜率，记为k=.

2

(1)当a=0。时，k.

(2)当0。<(1<90。时，k.

(3)当a=90。，k.

(4)当90。<(1<180。时，k.

倾斜角不同的直线，其斜率也不同，因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90。的直线相

对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。

二.导练

1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1)。=30°；(2)。=135。：(3)。=60°；(4)

变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.

(1)k=0；(2)4=1；(3)kS(4)k不存在.

2.求经过两点A(2,3),6(4,7)的直线的斜率，并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.

变式I.己知点21,-2),点Q在x轴上，宜线PQ的倾斜角为135。，则Q点的坐标为.

变式2.在同一直角坐标系中画出斜率为0,1,T且经过点(1,0)的直线.

变式3.判断A(-212),8(1,3),C(4,-6)三点的位置关系，并说明理由.

3.已知经过4(肛2),的直线的倾斜角为a,且450VaV135。,求实数〃，的

取值范围.

变式1.已知直线/的斜角。以0。,45。］(135°,180°),则直线/的斜率的取值范围是.

变式2.已知直线/的斜率左满足-走石，则直线/的倾斜角。的范围是________.

三.目标检测

1.下列叙述中不正确的是()

A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角

C.与坐标轴垂直的直线的I顷斜角为0。或90。

D.若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana

2.经过A(2,0),3(5,3)两点的直线的倾斜角为.

3.过点P(-2,tn)和的直线的斜率等于1,则m的值为.

4.如右图，直线八，/2,；3的斜率分别为心，5依，贝IJ()

A.k、<h<kyB.ks<kx<k2

C.ky<k2<k{D.k<k、<ky

5.在平面直角坐标系中，正\ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC,AB所在的直线斜

率之和为.

6.直线/经过二、三、匹象限，/的倾斜角为a,斜率为亿则a为角；2的取值范

围为•

7.若三点A(2,2),8(a,0),C(0,b)(他/0)共线，则工-工的值等于.

XX大学附中高中数学（选择性必修1）导学设计编号7

两条直线平行和垂直的判定

【学习目标】会判定两条直线的平行与垂直.

【学习重点】两条直线平行与垂直的判定

【学习难点】利用直线的平行与垂直解决有关问题.

一.导学：

阅读课本〃55-〃57,回答以下问题.

（1）若两条直线平行，这两条直线的倾斜角关系如何？斜率呢？

若两条直线的倾斜角相等，这两条直线位置关系如何？若两直线斜率相等呢？

（2）若两条直线垂直，这两条直线的倾斜角关系如何？斜率呢？如何利用直线的斜率判定

两条直线垂直？

总结归纳：

思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于-1吗？

二.导练:

1.判断下列各小题中的直线/.与，2是否平行或垂直.

(1)/i经过点4一1,-2),5(2,1),，2经过点M(3,4),M-L-1)

(2)八经过点A(O,I),91.0),A经过点M(3,4),N(-l,-l)

(3)八经过点4(一1,一2),8(1,2),72经过点发(-2/),N(2,T)

(4)G经过点A(3,4),仅3,100),占经过点”(70,40),N(10,40)

(5)/i经过点4—1,0),/2经过点”(1,2),;V(2,3)

变式：试确定的值，使过点A(m+1,0),5(-5,阳)的直线与过点QY,3),£>(0,5)的直线

平行.

2.已知点4(-2,-5),8(6,6),点p在x轴上，且NAPB=90°,试求点P的坐标.

变式：已知定点A(-l,3),8(4,2),以A,B为直径的端点，作圆与x轴有交点C,求交点C

的坐标.

3.已知一直线/恒过定点A(2,I),直线外有一点B(3,-2),问当直线/的斜率为多少时，点

以3,-2)到直线/的距离最大？最大距离是多少？

三、目标检测：

1.顺次连接4(0,0),C(5,5),0(3,6)四点所组成的图形是()

A.平行四边形B.直角梯形C.矩形D.以上都不对

2.若直线/2的倾斜角分别为四，(12,且则有()

A.a,-a2=90°B.4_/=9。°C.\a2-«,|=90°D.at+a2=\80°

3.已知两条直线，2的斜率是方程3/+〃7.1-3=0(〃"/?)的两个根，则人与乙的位置关

系是()

A.平行B.垂直C.可能重合D.无法确定

4.已知直线人的斜率为a,/2±/H则/2的斜率为

5.试确定〃?的值，使过8(-1,〃?)两点的直线与过尸(1,2)0-5,0)两点的直线：

(1)平行(2)垂直

6.已知8(2,2),C(3,0)三点，求点。使CO_A3且。8//A。.

7.已知AABC的顶点为4(5,-1),8(1,1),C(2,m),若&4BC为直角三角形，求m的值.

XX大学附中高中数学（选择性必修1）导学设计编号8

直线的点斜式方程

【学习目标】1.会由一点和斜率导出直线的点斜式方程；

2.记住直线的点斜式方程及斜截式方程；

3.会求直线的点斜式方程.

【学习重点】直线的点斜式方程的求法.

【学习难点】直线的点斜式方程的求法.

一.导学：

阅读课本〃59-〃61,完成导学部分.

1.推导直线的点斜式方程：直线/经过点6（%,%），且斜率为匕设P（x,），）是直线上不同

于点八）的任意一点，试建立直线的方程。

2.直线/的截距

（1）直线在），轴上的截距：直线与），轴的交点（0,b）的.

（2）直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点（a,0）的.

思考2：直线与），轴交点到原点的距离和直线在），轴上的截距是同一概念吗？

二.导练：

I.写出下列直线的点斜式方程：

（1）经过点42,-1）,斜率为0；

（2）经过点8（-0,2）,倾斜角为30。；

（3）经过点C（0,3）,倾斜角是0。；

（4）经过点以-4,-2）,倾斜角是120。；

（5）经过点4（2,T）,8（一夜,2）

2.求直线y=（工-2）绕点（2,0）按顺时针方向旋转30。所得的直线方程.

变式：求过点A（-l,-3）,且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍的直线方程.

3.求在1y轴上的截距为-3,且与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程.

4.求经过点4-2,2）且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程.

5.已知直线（：y=，l2:y=k2x+b2»试讨论：（1）/"〃2的条件是什么？

（2）/1_L，2的条件是什么?

变式：

（I）当a为何值时，直线《：y=-x+2〃与直线/2：）=（下一2»+2平行?

（2）当a为何值时，直线《：.y=（2a—l）x+3与直线/2：『=4%一3垂直？

三.目标检测：

I.直线近-y+l=3A,当人变动时，所有直线都通过定点

2.如果力＞0,°＜几,那么直线y=xcos0+力必不经过笫象限。

3.已知4（5,-。）两点，直线的斜率为I,若一直线/过线段46的中点且倾斜

3

角的正弦值为,求直线/的方程.

回

4.求过点八（-5,-4）且与两坐标轴所围成的三角形面积为5的直线方程.

XX大学附中高中数学（选择性必修1）导学设计编号9

直线的两点式方程

【学习目标】1.会求直线的两点式方程；2.记住直线的两点式方程及截距式方程；

【学习重点】直线的两点式方程的求法.

【学习难点】直线的两点式方程的求法.

一.导学：

阅读课本〃62-〃63,完成导学部分.

1.推导直线的两点式方程：已知直线/经过两点-2（%,）、2）（其中司工士，y尸_y2），

求直线/的方程：

归纳总结：

1.直线的两点式方程

名称已知条件*示意图方程使用范围

4（X[,y），6*2,）,2），

两点式

其中王。工2，>\*>2

思考1：过点（1,3）和（1,5）的直线能用两点式表示吗？为什么？过点（2,3）,（5,3）

的直线呢？

2.直线的截距式方程

名称已知条件示意图方程使用范围

在X,〉，轴上的截距分别

截距式

为〃，〃且〃邦，/#0

思考2：截距式方程能否表示过原点的直线？

二.导练:

1.A/WC的三个顶点为A（-3,0）,8（2,1）,。（-2,3）,求:

（1）8c所在直线的方程；

（2）5c边上中线所在直线的方程;

（3）8C边上的垂直平分线QE所在直线的方程.

2.已知点4（3,4）,

(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

(2)经过点4且在X轴上的截距是在)，轴上的截距的2倍的直线方程为

(3)经过点A且与两坐标轴围成的二角形面积是1的直线方程为

(4)经过点人且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为

3.直线/与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2,两截距之差为3,求直线/的方程.

4.过点P(2,l)作直线/交x轴，y轴的正半轴于A,3两点，。是原点.求：

(1)当A4O8面积最小时的直线/的方程；

(2)当|。4|+|。4|最小时的直线/的方程；

(3)当|尸川|尸网最小时的直线/的方程.

三、目标检测：

1.过A(1,2)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有条

2.下列四个命题中，假命题是()

A.经过定点PA，x))的直线不一定都可以用方程丁-.%=&*-/)表示：

B.经过两个不同的点『小龙),P2(x2Jy2)的直线都可以用方程

—%)="一内)(为一Y)来表示;

c.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程二+』/1表示；

ab

D.经过点Q(0,〃)的直线都可以表示为)，=米+〃；

4.方程|x|+|y|=l所表示的图形的面积为.

XX大学附中高中数学（选择性必修I）导学设计编号10

直线的一般式方程

【学习目标】I.记住直线方程的一般式+C=0（A,8不同时为0）；

2.能由直线方程的一般式/U+8y+C=0求出直线的斜率，截距.

【学习重点】直线方程五种形式的互化及应用.

【学习难点】以直角坐标系为载体，建立直线与方程的联系.

一.导学：

阅读课本〃64-〃66,完成导学部分.

1.直线方程几种形式及应用范围.

点斜式适用于

斜截式适用于

两点式适用于

截距式适用于

2.思考：

思考I.平面直角坐标系中的任意一条直线是否都可以用At—约，+C=0（A,3不同时为零）

表示？

思考2.对于任意一个二元一次方程At+8.v+C=0（A,B不同时为零）都能表示一条直线

吗？

得出结论：

1.直线的方程都是关于了,），的二元一次方程：

在平面直角坐标系中，任意一条直线/,在其上任取一点庶（%,券）当直线的倾斜角，GMO。

时，直线方程可写成；当a=90。时，直线方程可写成，它们乂都可变形为

的形式，且A,B不同时为0,即直线的方程都是关于x,y的二元一次方程.

2.关于x,），的二元一次方程的图形是直线：

因为关于x,y的二元一次方程的一般形式为Ar+By+C=O,其中人，4不同时为0.在4加

和3=0两种情况下，一次方程可分别化成和它们分别是直线

的斜截式方程和与），轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线.

这样我们就建立了直线与关于x,y二元一次方程之间的对应关系.

我们把叫做直线方程的一般式.

3.方程4Y+3.V+C=0（A,B不同时为零）中，当___________时，方程表示的直线垂直

于x轴；当___________时，方程表示的直线垂直于y轴；当___________时，方程表示的直

线过原点：当___________时，方程表示的直线过第一、三、四象限.

3.利用一•般式解决直线平行与垂直问题

已知直线/,:+B,y+G=0,:层），+G=（）

（1）

（2）I山2。___________

XX大学附中高中数学（选择性必修I）跟进落实编号27

椭圆双曲线

2

1.椭圆三+工=1的离心率是（)

94

.屈

A.---O.--C.-D.-

3339

22

2.已知方程4------J=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则〃的取值

m'+n3m'—n

范围是（）

A.(-l,3)C.(0,3)D.(0,同

r22

3.已知Q,B是双曲线石：丁-v与二1的左，右焦点，点M在E上，MQ与X轴垂直,

ab-

sin/M6£=g,则双曲线E的离心率为（）

A.>/2C.73D.2

4.已知椭圆小。）的左、右顶点分别为4,6且以线段44为直径

的圆与直线历:-4+〃〃=0相切，则椭圆C的离心率为（）

A"R有r&D1

A.15.C.D•一

3333

5.已知双曲线十卷=13>0/>0）的一条渐近线方程为尸争，且与椭圆会+?=1

有公共焦点，则双曲线。的方程为（）

6已知双曲线?一3=1">°），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲

线的两条渐近线相交于A、B、C、。四点，四边形的4BC。的面积为24则双曲线的方程

为（）

A.《一生=|B.K-生工］cX-4=lDV-亡=1

44434b2412

7.双曲线方程为/-2），2=1,则它的右焦点坐标为.

2222

8.已知椭圆M:=十与=1（〃>人>0）,双曲线N:二—与=1.若双曲线N的两条渐近线与

a~b~m~

椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为

：双曲线N的离心率为.

二导练:

I.若方程(加-l)x+(〃?2+「-2)y-l=0能表示直线方程的,般式，求加的取值范围.

2.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式:

(1)经过点A(8,-2),斜率是—■!•；

2

(2)经过点8(4,2),平行于x轴;

(3)经过点P(3,—2),25,-4)；

(4)在x轴，y轴上的截距分别是之，-3.

3.已知直线/的方程为(2m2+5m-3)x+(2〃『一〃z)y-2川+1=0；

(1)当〃尸时,直线/的倾斜角为45。；

(2)当m=时,直线/在x轴上的截距.为3；

(3)当m=时,直线/在)，轴上的截距为3；

(4)当"尸时,直线/J_y轴；

(5)当时,直线/J_x轴.

4.已知A(2,2)和直线/:次+4)，-20=0.

求：(1)过点A和直线/平行的直线方程;

(2)过点A和直线/垂直的直线方程.

三.目标检测：

1.若直线/:Ar+B)，+C=O(A,8不全为0),点P(%,y。)在/上，则/的方程可化为

A.人(x+与)+BCy+y^+C=0B.AQ+与)+8(y+%)=()

C.A(x-x0)+3(y-阳)+C=()D.A(x-x0)+B(y-y0)=0

2.若直线(3-7加+2加江一(9一加方+3加2=0的倾斜角的正弦为#，则根为

3.已知三条直线x-y=0,x+y-l=(),〃ir+y+3=0不能构成三角形，则机的取值范围

是.

4.过点42,3)且垂直于直线2x+v-5=0的直线方程为.

5.已知集合A={(x,y)|^^=a+1}，8={(羽刈(。2-1次+(〃-1))，=15}试问当。为何俏时,

x-2

A/8=0?

XX大学附中高中数学(选择性必修1)导学设计编号11

直线的交点坐标

【学习目标】1.会用代数方法判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标；

【学习重点】两直线的交点坐标

【学习难点】求直线过定点

【学习过程】

一.导学：

阅读课本尸70,完成下列问题

1.在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用

表示直线，就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以

通过______把握直线上的点,进而用代数方法对直线进吁定量研究，例如求,

平面内与点、直线相关的距离问撅等.

2.设两条直线的方程分别是4:Ax+=0,/2:Ax+B2y+C2=O：

方程组［曲+外'+G=o

一组解无数组解无解

\x+B2y+C2=0

直线八，，2的公共点个数

直线人/2的位置关系

3.直线系过定点问题

经过两直线4：Ax+4y+G=()，/2：A,x+B2y+C2=()交点的直线系方程为

4工+丹3，+6；+〃4工+62,，+。2)=0,其中入是待定系数，在此方程中，无论入取什么实数，

都不能表示直线h.

二、导练：

I.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形.

4:3x+4y-2=0:2x+y+2=0

2.判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：

(1)Z,:2x-y=7,，2：3x+2y-7=0；

(2)/,:2x-6y+4=0,/2:4.r-12>-4-8=0：

（3）/]:4x+2y+4=0»/2:y=-2x+3.

3.（1）不论，〃为何实数，直线（〃1-1）工+（2〃?-1）5=〃7-5恒过的定点坐标是.

（2）无论m为何值，直线（/〃+l）x-y-7〃?-4=0恒过一定点P,则点P的坐标是.

4.直线/经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-l=0的交点，求直线/的方

程.

5.已知直线/经过两条直线2x—3y-3=0,x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平

行，求直线/的方程.

三.目标检测：

1.已知直线4：3x+4y—5=0与，2：3x+5y—6=0相交，则它们的交点是（）

A.（-1，!）B.（!，l）C.（I