2023-2024学年山西省高二（上）期末数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山西省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={3,4}，B={x|2x−1<4,x∈N}，则A.(2,3) B.{2,3} C.(3,4) D.{3,4}2.已知复数z满足(z−1)2=−4，则复数z的模为A.2 B.5 C.7 3.下列说法中，正确的是(

)A.数列2，4，6，8可表示为集合{2,4,6,8}

B.数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列

C.数列{n2+n}的第k项为k2+k

D.数列0，1，2，3，4.若函数f(x)=lnx−2x+1，则f′(12)=A.0 B.12 C.32 5.若α∈(0,π)，且2sinα−cosα=1，则12sinαcosα−A.2539 B.53 C.−56.已知半径为1的圆经过点(1,1)，其圆心到直线3x+4y+3=0的距离的最大值为(

)A.52 B.72 C.2 7.已知公差不为0的等差数列{an}满足am+aA.1 B.54 C.34 8.已知函数f(x)=2x−sinx+cosx，若α∈(0,1)，则下列式子大小关系正确的是(

)A.f(α)<f(α)<f(α) B.f(二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是(

)A.an=n+n2,n∈N∗ B.10.2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PMI)如图所示：

则下列说法正确的是(

)A.从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为5.8%

B.2023年7月份，制造业采购经理指数(PMI)为49.3%，比上月上升0.3个百分点

C.从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的第71百分位数为50.1%

D.从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数(PMI)的平均数约为48.78%11.已知正四棱锥P−ABCD的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球O的球面上，则下列说法正确的是(

)A.直线PA与平面ABCD所成角的余弦值为33

B.平面ABCD截球O所得的截面面积为2π

C.球O的体积为9π2

D.球心12.已知F1，F2为双曲线Γ：x2a2−yA.当P为双曲线Γ上一点时，△PF1F2的面积为4

B.当点P坐标为(0,22)时，a=2

C.当P在双曲线Γ上，且点P的横坐标为±15时，Γ的离心率为3

D.当点P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设单位向量a,b的夹角的余弦值为−12，则(214.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点B(3,−1)，若点A为抛物线上任意一点，当|AB|+|AF|点A的坐标为______．15.某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是______．16.若存在实数a，b使得ea+be≤a+lnb+3，则a+be的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且x=1，x=3为极值点．

(1)求实数a，b的值；18.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA⋅(a+12c)+sinC⋅(c+12a)=sinB⋅b．

(1)求角B；

(2)设D是边AC上一点，BD19.(本小题12分)

已知数列{an}，且log2a1+log2a2+⋯+log2a20.(本小题12分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，BD与AC相交于点O，∠BAD=90°，AD=AA1=2AB=4BC=4，P为线段A1D上一点，且A1P=15A21.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx，g(x)=x−1．

(1)证明：f(x)≤g(x)；

(2)设ℎ(x)=f(x)−g(x)，求证：对任意的0<b<a，都有ℎ(a)−ℎ(b)a−b>122.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为23，点(−1,63)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设l1，l2是经过椭圆C下顶点的两条直线，l1与椭圆C相交于另一点M，l2参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.B

6.D

7.C

8.A

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.ABD

13.1214.(115.2316.1

17.解：(1)f′(x)=x2+2ax+b，

因为x=1，x=3为函数的极值点，

所以1+2a+b=09+6a+b=0，解得a=−2b=3，

经检验符合题意，所以a=−2，b=3；

(2)由(1)得f(x)=13x3−2x2+3x，f′(x)=x2−4x+3，

当x<1或x>3时，f′(x)>0，当1<x<3时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在(−∞,1)，18.解：(1)由正弦定理得a(a+12c)+c(c+12a)=b2，

即a2+c2+ac=b2，

利用余弦定理可知cosB=a2+c2−b22ac=−12，

因为B∈(0,π)，所以B=2π3；

(2)在△ABC中，∠ABC=2π19.解：(1)因为log2a1+log2a2+⋯+log2an=n2+n2，

当n≥2时，log2a1+log2a2+⋯+log2an−1=(n−1)2+(n−1)2，

两式相减，得lo20.(1)证明：因为AD//BC，所以△BOC∽△DOA，所以BODO=BCAD=14，

又P为线段A1D上一点，且A1P=15A1D，

所以A1PPD=14，在△A1BD中PO//A1B，

又OP⊄平面BA1C1，A1B⊂平面BA1C1，

所以OP/​/平面BA1C1．

(2)解：在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，又∠BAD=90°，

如图建立空间直角坐标系，

则B(2,0,0)，A1(0,0,4)，C1(2,1,4)，C(2,1,0)，D1(0,4,4)，

21.证明：(1)设m(x)=g(x)−f(x)=x−1−lnx(x>0)⇒m′(x)=1−1x=x−1x，

当x>1时，m′(x)>0，m(x)单调递增，

当0<x<1时，m′(x)<0，m(x)单调递减，所以m(x)min=m(1)=0，

于是有m(x)=g(x)−f(x)=x−1−lnx≥0⇒g(x)≥f(x)，即f(x)≤g(x)．

(2)要证明ℎ(a)−ℎ(b)a−b>1a+b−1成立，

即证明lna−(a−1)−lnb−(b−1)a−b>1a+b−1成立，

即证明lnab−(a−b)a−b>1a+b−1成立，

也就是证明lnaba−b>1a+b成立，

因为0<b<a22.解：(1)因为点(−1,63)在椭圆C上且长轴长为23，

所以2a=231a2+23b2=1，

解得a=