福建省部分重点高中2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题含答案

高二数学试卷（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．2．已知是等差数列的前项和，若，则（

）A．168 B．196 C．200 D．2103．已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（

）A．若是等差数列，则是等差数列B．若是等比数列，则是等比数列C．若是等差数列，则是等比数列D．若是等比数列，则是等差数列4．已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（

）A．数列从第3项起各项数值逐渐增大B．当时，取最大值C．是该数列的项D．数列的图象与的图象相同5．圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．相交 C．外切 D．内切6．已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知直线将圆分成面积分别为，的两个部分，当的值取最大时，的值为（

）A．0 B．2 C． D．8．一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.9．已知直线，，则下列说法正确的是（

）A．若满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，则B．必过定点C．若，则或4D．若，则10．已知圆，点，直线不全为，则下列说法正确的是（

）A．若与圆相切，则点在上 B．若与圆相交，则点在外C．若与圆相离，则点在内 D．若与圆相离，则点在外11．斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（

）A． B．C． D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．.直线与之间的距离是13．已知圆与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），动点C满足，则的面积最大值为.14．定义在上的函数满足对任意的x，y都有（为常数），且，设，数列an的前n项和为，当且仅当时，取到最大值，则t的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知数列的前项和，其中.(1)求数列的通项公式；(2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.16．已知直线过点，且的一个法向量是.(1)求直线的方程；(2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程；(3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程.17．设数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.18．已知直线和圆交于A、B两点.(1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长；(2)探究：x轴的负半轴上是否存在一个定点M，使得x轴平分，如果有，求出M点坐标，如果没有，说明理由.19．定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列.(1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由；(2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列；(3)若、都是和谐数列，证明也是和谐数列.

答案1．A解析：直线的斜率为，所以，该直线的方向向量为，故该直线的一个方向是.故选：A.2．A解析：因为数列是等差数列，所以.故选：A.3．C解析：对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数，所以，数列是等比数列，但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对；对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为，则不是常数，故数列不是等比数列，不是常数，故数列不是等差数列，BD都错.故选：C.4．C解析：对于A，，由二次函数的性质可知从起起各项数值逐渐增大，故A错误；对于B，由，可知时，取最大值，无最大值，故B错误；对于C，令，可得，解得或，所以是数列中的项，故C正确；对于D，数列的图象是函数的图象中横坐标为正整数的孤立的点，所以数列的图象与的图象不相同，故D错误.故选：C.5．B解析：由可得，即圆心，半径，由圆可得，即圆心，半径，所以圆心距，所以，所以两圆相交.故选：B6．D解析：直线的斜率．因为直线的倾斜角为，则，根据正切函数的性质可得．故选：D．7．D解析：由题意可得，直线过定点，且当弦长最短时，的值取最大，此时直线与直线垂直，圆的圆心为，半径为3，所以，所以.故选：.8．A解析：设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为，由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列，则第n次着地后经过的路程为，即，结合选项，检验时，，时，成立，故选：A9．BC解析：当时，方程为，也满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，故A错；把变形得，所以，所以必过定点，故B对；若，则满足或1，故C对；若，则满足或，故D错；故选：BC10．ABC解析：对于A，因为与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以，即点满足直线的方程，所以点在上，故A正确；对于B，若与圆相交，所以圆心到直线的距离，所以，即点不满足直线的方程，所以点在外，故B正确；对于CD，与圆相离，所以圆心到直线的距离，所以，所以点在内，故C正确，D错误.故选：ABC．11．BCD解析：由题设，，，A错；由，则，故，B对；由，结合B的结论有，，，，所以，C对；，D对；故选：BCD12．解析：根据平行线间距离公式可得两直线距离为13．解析：设动点C的坐标为，由题意知，,由，得，化简得，即动点C在圆上，设的面积，当时，取最大值.故答案为：.14．解析：由，令，得，则，又，所以，所以，因为，所以，，又，所以数列an是以为首项，以为公差的等差数列，所以，又当且仅当时，取到最大值，所以满足，则则t的取值范围是.故答案为：15．(1)(2).解析：（1）当时，，则，当时，，满足上式，所以.（2）由.所以，即的最小值为.16．(1)(2)(3)解析：（1）因为直线的一个法向量是，又过点所以可得直线的方程为，化简得，所以所求直线的方程为.（2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以，因为，所以，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，则，所以.由点可知直线方程为，即.（3）设直线的倾斜角为，因为，所以，，则，所以，的角平分线所在直线的倾斜角为，则的角平分线所在直线的斜率为，因此，的角平分线所在直线的方程为，即.17．(1)(2)解析：（1）依题意有，所以，，，.累加这（）个式子得，，又，所以显然满足上式，所以.（2）由（1）知，所以，，两式相减得：，所以，整理得.18．(1)；(2)存在，.解析：（1）当时，直线，圆心到直线的距离，圆的半径为2所以.（2）假设存在点满足题意，设点坐标为x1,y1，点坐标为x2,y2依题意有平分，则，所以，即，又，所以上式可化为，即.由，得，易知，，，因此，，即，又，则，整理得，因此轴上存在一个定点符合题意.19．(1)是和谐数列，理由见