2023-2024学年北京中学初三（上）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023北京北京中学初三（上）期中数学一、选择题。（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．方程x（x﹣1）＝0的解是（）A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x＝0 D．x1＝0，x2＝﹣12．关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个实数根，则a的值可以是（）A．3 B．﹣1 C．1 D．03．将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（）A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x+3）2 C．y＝x2﹣3 D．y＝x2+34．用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝55．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，以下说法正确的是（）A．当x＞﹣2时，y随x增大而减小 B．当x＞﹣2时，y随x增大而增大 C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大6．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．27．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解有可能是（）A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.458．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（）A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4二、填空题。（每题2分，共16分）9．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是．10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式．11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为．12．二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是．13．抛物线y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是．14．点A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两个点，则y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．15．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，且CC′∥AB，则∠BAB'＝°．​16．一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元．）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间；（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元．三、解答题。（本题共68分，17题8分，18题4分，19题6分，第20-25题，每小题8分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（8分）（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）x2﹣1＝2（x+1）．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3）．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A'．（1）画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点A'的坐标；（2）求线段BB'的长．19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．20．（5分）某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．22．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值．23．（5分）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．x﹣2﹣1012…y…3430﹣5…（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞4，直接写出n的取值范围．24．（5分）随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元．销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）．（1）求出w与x的关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？25．（5分）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE＝x米，EF＝y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00（1）隧道顶面到路面AB的最大高度为米；（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米，结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：（填写“是”或“否”）．26．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若mnp＜0，求a的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接DG．（1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明；（2）若DG＝DF，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明．28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B．点P为平面内任意一点，若PA＝PB，且∠APB≤120°时，称点P为线段AB的“居中点”．特别地，当PA＝PB，且∠APB＝120°时，又称点P为线段AB的“正居中点”．抛物线y＝x2﹣2x与x轴的正半轴交于点M．（1）若点C是线段OM的“正居中点”，且在第一象限，则点C的坐标为（，）；（2）若点D是线段OM的“居中点”，则点D的纵坐标d的取值范围是．（3）将射线OM绕点O顺时针旋转30°得到射线m，已知点E在射线m上，若在第四象限内存在点F，点F既是线段OM的“居中点”，又是线段OE的“正居中点”，求此时点E的坐标．

参考答案一、选择题。（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．【答案】B【分析】利用因式分解法得到x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故选：B．2．【答案】A【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的方程，解之即可得出a的值，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个实数根，∴Δ＝a2﹣4×1×1≥0，∴a2≥4．解得a≤﹣2或a≥2，故选：A．3．【答案】A【分析】根据函数图象左加右减，可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2，故选：A．4．【答案】D【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：x2+4x＝1，则x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，故选：D．5．【答案】C【分析】根据二次函数的顶点式可以得出图象的对称轴和开口方向，从而确定函数的增减性．【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，∴当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，故选：C．6．【答案】A【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值．【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0可得：m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1；故选：A．7．【答案】D【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合，故选：D．8．【答案】D【分析】由已知求得顶点坐标为（1，1﹣a），再结合a＜0，即可确定坐标轴的位置．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴顶点坐标为（1，1﹣a），∵a＜0，∴抛物线与m5的交点为顶点，∴m4为y轴，∵1﹣a＞1，∴m2为x轴，故选：D．二、填空题。（每题2分，共16分）9．【答案】见试题解答内容【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．10．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2开口向上，且与y轴的交点为（0，﹣2）．故答案为：y＝x2﹣2（答案不唯一）．11．【答案】1．【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，解得m＝1．故答案为：1．12．【答案】见试题解答内容【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2，又∵y＝kx2﹣4x+2是二次函数，∴k≠0，∴k的取值范围是k≤2且k≠0．故答案为：k≤2且k≠0．13．【答案】（5，0）．【分析】利用抛物线解析式得出对称轴，进而利用其中一个交点坐标为（﹣1，0），得出另一个交点坐标．【解答】解：∵函数y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），∴抛物线对称轴为：直线x＝2，∴则它与x轴的另一个交点坐标是：（5，0）．故答案为：（5，0）．14．【答案】＜．【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出y1、y2的值，再比较即可．【解答】解：把A（﹣1，y1）、B（4，y2）代入二次函数y＝（x﹣1）2得，y1＝（﹣1﹣1）2＝4；y2＝（4﹣1）2＝9，所以y1＜y2．故答案为＜．15．【答案】40．【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°，故答案为：40．16．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费＝100×租住一人间的间数+130×租住三人间的间数，可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数且x≤4，即可得出结论；（2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论．【解答】解：（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，根据题意得：100x+130y＝1530，∴x＝，又∵x，y均为自然数，且x≤4，∴，∴他们租住了1间一人间．故答案为：1；（2）当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．∵19﹣1＝18（人），18÷3＝6（间），33﹣19﹣（3﹣1）＝12（人），12÷3＝4（间），6+4＝10（间），∴租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的3间一人间里面1间住男士，2间住女士，另租住10间三人间，∴此时租住一晚的住宿房费为100×3+130×10＝1600（元），∴租住一晚的住宿房费最少为1600元．故答案为：1600．三、解答题。（本题共68分，17题8分，18题4分，19题6分，第20-25题，每小题8分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝4；（2）x1＝3，x2＝﹣1．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，∴x1＝﹣2，x2＝4；（2）∵x2﹣1＝2（x+1），∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1．18．【答案】（1）△OA'B'见解析，A'（0，﹣5）；（2）．【分析】（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点，再与点O顺次连接即可，根据图形得出A'坐标；（2）根据勾股定理得出BB'的长．【解答】解：（1）如图1所示，△OA'B'即为所求，此时A'（0，﹣5）；（2）解：连接BB'，如图2，．19．【答案】（1）见解答；（2）m＜3．【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到Δ＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：∵Δ＝（m﹣4）2≥0，∴x＝＝．∴x1＝m﹣2，x2＝2．∵此方程有一个根小于1．∴m﹣2＜1．∴m＜3．20．【答案】见试题解答内容【分析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：（21﹣3x）米，宽度为：（8﹣2x）米，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．【解答】解：设人行道的宽度为x米，由题意得（21﹣3x）（8﹣2x）＝60，解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）．答：人行道的宽度为2米．21．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3．（2）﹣3＜x＜1．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）求出抛物线与x轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．【解答】解：（1）将A（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）令x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴抛物线经过（﹣3，0），（1，0），∵抛物线开口向上，∴y＜0时，﹣3＜x＜1．22．【答案】（1）（1，﹣4）；（2）函数图象见解答；（3）当自变量0≤x≤3时，函数的最大值是0，最小值值是﹣4．【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；（2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象；（3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣3）（x+1），∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4），与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），与y轴交于点（0，﹣3），过点（2，﹣3），函数图象如图所示；（3）由图象可得，当自变量0≤x≤3时，函数的最大值是0，最小值值是﹣4．23．【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；（2）n＜﹣5．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于n的不等式，解不等式即可求得．【解答】解：（1）由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（﹣1，4），设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4（a≠0），将（1，0）代入得4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴该二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令﹣x2﹣2x+3＝n，整理得x2+2x﹣3+n＝0，设点A、B的横坐标为x1，x2，∴x1，x2是方程x2+2x﹣3+n＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝n﹣3，∵AB＞6，∴|x1﹣x2|＞6，∴（x1﹣x2）2＞36，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＞36，即4﹣4（n﹣3）＞36，∴n＜﹣5，∴n的取值范围是n＜﹣5．24．【答案】（1）w＝﹣2x2+120x﹣1600．（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．【分析】（1）由利润＝每袋利润×销量求解．（2）将函数解析式化为顶点式求解．【解答】解：（1）由题意可得w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600．∴w与x的关系式为w＝﹣2x2+120x﹣1600．（2）∵w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵20≤x≤40，且a＝﹣2＜0，∴当x＝30时，y最大值＝200．答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．25．【答案】（1）3.99．（2）详见解答部分；（3）是．【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在x＝2时y取得最大值，由此可得结论；（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标；（3）先将D（0，3）代入抛物线，求出a的值，在y＝﹣0.2475（x﹣2）2+3.99中，令x＝0.8，求得相应的y值，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.5m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．【解答】解：（1）根据二次函数的对称性可知，当x＝2时，y有最大值3.99，故答案为：3.99．（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标；函数如图所示；（3）将D（0，3）代入y＝a（x﹣2）2+3.99，得4a+3.99＝3，解得a＝﹣0.2475，∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.2475（x﹣2）2+3.99．在y＝﹣0.2475（x﹣2）2+3.99中，令x＝0.8，得y＝﹣0.2475（0.8﹣2）2+3.99＝3.6336，∵3.6336﹣3＞0.5，∴车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，∴该货车能安全通过；故答案为：是．26．【答案】（1）﹣4a+2．（2）a＜﹣或．【分析】（1）将（2，n）代入解析式求解．（2）将A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）代入解析式，求出m，n，p与a的关系，分类讨论a＞0，a＜0时满足mnp＜0的条件，进而求解．【解答】解：（1）将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝4a﹣8a+2＝﹣4a+2．（2）∵y＝ax2﹣4ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4a+2），将（﹣1，m）代入y＝ax2﹣4ax+2得m＝a+4a+2＝5a+2，将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝﹣4a+2，将（3，p）代入y＝ax2﹣4ax+2得p＝﹣3a+2，当a＜0时，抛物线开口向下，若mnp＜0，则n＞0，p＞0，m＜0，∴5a+2＜0，解得a＜﹣，当a＞0时，抛物线开口向上，若mnp＜0，则n＜0，p＞0，m＞0，∴，解得，综上所述，a＜﹣或．27．【答案】（1）∠ADG＝∠CDG，理由见解析过程；（2）BC＝3BE，理由见解析过程．【分析】（1）由旋转的性质可得∠EAF＝90°＝∠BCD，由“SSS”可证△ADG≌△CDG，即可求解；（2）通过证明△FGH∽△FEC，可得CE＝2GH，FC＝2FH，由等腰直角三角形的性质可得DG＝HG＝DH，即可求解．【解答】解：（1）∠ADG＝∠CDG，理由如下：连接AG，CG，∵将射线AE绕点A逆时针旋转90°，∴∠EAF＝90°＝∠BCD，∵点G是EF的中点，∴EF＝2CG＝2AG，∴GA＝GC，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SSS），∴∠ADG＝∠CDG；（2）BC＝3BE，理由如下：过点G作GH⊥CD于H，∴GH∥BC，∴△FGH∽△FEC，∴＝，∴CE＝2GH，FC＝2FH，∵△ADG≌△CDG，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，∵HG⊥CD，∴∠CDG＝∠DGH