总复习教案：函数的单调性与最值(学生版)

1 1 #1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述于O自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数尸f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数尸f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二、函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x£I，都有f(x)WM；②存在x0£I，使得fx0)=M①对于任意x£I，都有f(x启M；②存在x0£I，使得fx0)=M结论M为最大值M为最小值［小题能否全取］1.(2012・陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()B.y=—x3D.yB.y=—x3D.y=xIxIC.1y=C.2.函数y=(2k+1)x+b在(一8,+8)上是减函数，则( )A.k>2B.k<2CC.k>一2D.k<—23.(教材习题改编)函数f(x)=4A.5

1―1—^的最大值是()B.4C.44D.34.(教材习题改编fx)=x2—2x(x£［—2,4］)的单调增区间为；fx)max=5.已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)f(n)；若)<(1)，则实数x的取值范围是1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．［注意］单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结.函数单调性的判断典典题导入［例1］证明函数fx)=2x—1在(一8,0)上是增函数.

x由由题悟法对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行.以以题试法.判断函数g(%)=T在(1,+8)上的单调性.x－1求函数的单调区间[例2](2012・长沙模拟)设函数y=f(%)在(一8,十8)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(义函数fk(%尸( )A.(—8,0)C.(—8,—1)取函数f(%)=2-1%i.当k=1时，函数fk(%)的单调递增区间为B.(0,＋8)D.(1,＋8)一题多变若本例中f(%)=2-1%i变为f(%)=log2l%I,其他条件不变，则fk(%)的单调增区间为由由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法：先求定义域,再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(%)是以图象形式给出的，或者f(%)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.以以题试法.函数f(%)=l%—2I%的单调减区间是()A.[1,2] B.[—1,0]C.[0,2] D.[2,＋8)单调性的应用典典题导入

［例引(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)<f(m2)的实数m的取值范围是(2)(2012・安徽高考)若函数fx尸12x+H的单调递增区间是［3,+8),则a=.由由题悟法单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．以以题试法TOC\o"1-5"\h\z.(1)(2013^孝感调研)函数f(x)=一在［2,3］上的最小值为 ，最大值为 .x-1(2)已知函数f(x)=1-1(a>0,x>0),若f(x)在1，2上的值域为1,2,则a= .ax 2 24级全员必做题1.(2012・广东高考)下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是( ),1y=x+7xA.y=ln(x+2) B.,1y=x+7xD.c.y=D..若函数f(x)=4x2—mx+5在［—2,+8)上递增，在(一8,—2］上递减，则f(1)=( )B.1AB.1c.17Dc.17.(2013・佛山月考)若函数y=ax与y=一b在(0,+8)上都是减函数，则y=ax2+bxx在(0,+8)上是( )A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.先减后增.“函数fx)在［a,b］上为单调函数”是“函数fx)在［a,b］上有最大值和最小值”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.(2012・青岛模拟)已知奇函数fx)对任意的正实数x1,x2(x1Wx2),恒有(x1—x2)(fx1)—f(x2))>0,则一定正确的是()A.f(4)>f(—6) B.f(—4)<f(—6)C.f(—4)>f(—6) D.f(4)<f(—6).定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0,则函数f(x)在［a,b］上有()A.最小值f(a) B.最大值f(b)C最小值f(b) D.最大值/缺b}.函数y=-(x—3)1xI的递增区间是 ..(2012・台州模拟)若函数y=I2x—II,在(一8,m］上单调递减，则m的取值范围是.若f(x)=言2在区间(一2,+8)上是增函数，则a的取值范围是 x2.求下列函数的单调区间：(1)y=—x2+2IxI+1；(2)y=a1—2x—x2(a>0且aW1).x.已知f(x)= (xWa).x—a⑴若a=-2,试证f(x)在(一8,—2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1,+8)内单调递减，求a的取值范围..(201L上海高考)已知函数f(x)=a-2x+b.3x，其中常数a,b满足abW0.⑴若ab>0,判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0,求f(x+1)fx)时x的取值范围.B级重点选地即.设函数f(x)定义在实数集上，fQ—x)=f(x)，且当x三1时，f(x)=lnx，则有( )A.41)<f(2)f£) B.f2)<f(2)f3)

Cf2)f3)<(2)D.f(2)J2M32.(2012・黄冈模拟Cf2)f3)<(2)D.f(2)J2M3.11B.2乙C.1B.2乙C.'鱼

23.函数f(X)的定义域为(0,十8),且对一切x>0,y>0都有f^y^J=f(x)—f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)=2,求f(x)在［1,16］上的值域.|彖临备选硬.求函数f(x)=\:x2+x—6的单调区间..定义在