微积分求极限的方法(2·完整版)

专题一求极限的方法【考点】求极限近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2—3题12—18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件,如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0,无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等.极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用,比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。一.sinx 1 14、两个重要极限hm =1hm（1+—）=lim（1+x）x=e，注意变形，如将第二个式子x—0X x—<» X x—01lim（1+x）x=ex—0 中的x变成某趋向于0的函数f（x）以构造“卜”的形式的典型求极限题目.5、5、（1）（2）（3）（1）（2）（3）函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等.有时可以利用这点进行解L-limex-1题,如x—1 因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）遇到无限项和式求极限时想三种方法:①看是否能直接求出这个和式（如等比数列求和）再求极限②夹逼定理③用定积分的概念求解.（4）如果f（x）/g（x）当xTx0时的极限存在，而当xTx0时g（x）T0,则当xTx0时f（x）也T0（5）一个重要的不等式：sinx<x（x>0）大其中方法②③考到的可能性较大.有关求极限时能不能直接代入数据的问题。闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理）此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解•求极限的方法】方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算.【例1】求极限lim【例1】求极限limx—1xm—1xn一1」 -Xm-1「(X-l)(Xm-1+Xm-2+1m解lirn 二hm =—Xf1Xn—1 Xf1(X—l)(xn-1+xn-2+ )n注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。【例2】求极限lim(xX2+1-\；X2-X)limXf+81limXf+81+XXX2+1+xX22-Xlim(\:X2+1-\:x2—x)=Xf+8注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法一一有理化和采取倒变量的方法。 axn+axn-1+ +a一，一一，2、一个最基本的多项式极限lim1 2 产(系数均不为0)：Xf+gbxm+bXm-1+ +b1 2 n①若n>m，则极限为正无穷；②若n<m,则极限为0；③若n=m，则极限为亲。(本质为比较次数)1要注意的是X是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里X的最高次的1次来计算，如JXT的次数为1。方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例3】设u2-12，u尸J12+u(n=12..J，证明limu存在并求之

1 n+1 、 n nfn解因为q—=/=Ju；+12—J_r一,+12+l+12所以-a„的符号与nh—u—i的符号相同，也知与at—a.的符号相同.jifj~*~ 12+Qi-*"aI —(.LZi—趣事—01— 十©一外=―,. = - .J12+$+叫 yl2+fl1+0L(1)若占这0,则显然的>aiJaJ单调增加,⑵着卬>0,则当।V4时*>'al，｛%［单倜增加i当即>4时，能<*M册｝单调破少I当生k4时,小工况1=。♦巾一］，？*3,…，考察 七_4检一4=Ja.+12-4=-==—，口川+ 7b y露+12+4所以八、嘏师.C4E=】工,…，有上界，且此时2.毕隔增

加.由单蠲有界数列必有极限的性质知物露存在.必有:谓“>4 >…i，2,…,小有下鼻也比吟为单蠲*少屈此赤（3）当知=4时，％=4,纣=L2,….显然极限存在总之可得当:存在.现设匕叫.儿则将—―F两边如一的树阳得；a=WK一成解得A__3f舍去.因为心,3用. 3,…八月♦j综上所搓jtn%极限存在*为，*方法三:利用夹逼定哼一适用于无限项求极限时可放缩的情况.lim一H+n：2+n.3+...+nln【例4】求极限 n\ ' \nf8解因1二—,n<11+n江+《3+...+啰百）<1・n《n'=《石nn n而lim1=limn^n=1nf8nf8故由夹逼定理lim-《+0+n3+…+nn=1nf8n方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则--未定式极限。（化加减为乘除！）etan%—exlim 【例5】求极限xf0tanx—x[.ex(etanx-x-1) [.ex(tanx-x)1TOC\o"1-5"\h\zlim =lim =1解 原式二xf0 tanx-x xf0tanx-x\o"CurrentDocument". 1 1【例6】求极限limx2(ax-ax+1)xf+8. 1 -±_ . -±_1」 1-limx2(ax-ax+1)=limx2ax+1(axx+1-1)=limx2-1•(ax(x+1)-1)xf+8 xf+8 xf+8「 I 1 1 1xf+8x(x+1)limx2-1--xf+8x(x+1)lim【例7】求极限0X—0tan原式=limX—0tanX-sinX=lim ^-4 X―0X+X2)--X2・23+sin尢+尢2)4-1)=lim—X—0Xtanx(1-cosx)(sinx=limX—0【例8】求极限【例8】求极限limX—01-cosxcos2xcos3x1-cosx解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得limX—01-cosxcos2xcos3x1-cosxlimX—0sinxcos2xcos3x+limX—0limX—01-cosxcos2xcos3x1-cosxlimX—0sinxcos2xcos3x+limX—04cosxsin2xcos3x2x+limX—09cosxcos2xsin3xlimX—0sinxcos2xcos3xlimX—0sinXsinXcos2Xcos3X+limX—02cosxsin2xcos3xlimX—0XsinXcos2Xcos3X+limX—0sinX2cosXsin2Xcos3X+limX—03x3cosxcos2xsin3x+limX—0X4cosXsin2Xcos3X+limX—0sinX3cosXcos2Xsin3X2x+limX—0X9cosXcos2Xsin3X3x=1+4+9=14【例9】求极限limlog(Xa+Xb)XXf+8解:由换底公式，=limXf+8ln(x=limXf+8ln(xa+xb)lnx(艺)=lim"a+bxb=iim8Xf+8Xa+Xb Xf+8axa+bxbxa+xb若a>b，则极限为a；若a<b，则极限为b，综上，极限为max{a,b}方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。【例10】lim(nsin1T2【例10】lim(nsin1T2(18)「(.1Y2 「(.1/2limnsin_ =limxsin—n-8\n7 x.+8\X7-limt—0+(-lim1+t—0+ksint

t、t sint—t1\ - •一sint—t t127「cost—1

lim =et-0+312【例11】limx-+8\—arctanxlx7(00)=e=eHm□x—+8If兀 ，)ln——arctanx2

lnxf兀 \—lim—arctanx12x—+8、乙 J(一 (一 )八1+x2 /0、lim 1+x——(-)兀 0x—+8——arctanx2limx—+8二e

1K一一arctanx2limex—+81—x21+x2(arccotx Ix人J*注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少,分析底数易知底数趋向于正无穷。但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。故是一个"80"型，所以要用“先取对数

再取指数”的方法。对于之后arccotx的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的,可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度.arccotxln—lime解原式一Xarccotxln—lime解原式一Xf+8eX-1limarccotxln二exf+slimarctan1Inrex-1)lneXlim ex-limex-+»ex 1ex-1X1TOC\o"1-5"\h\z*关于第三个等号左右的变化：令y=arccotx，则x=coty= ，tany\o"CurrentDocument"1 1y=arctan—,综上，arccotx=arctan—X X方法七：运用泰勒定理求极限一适用于直接洛必达不好算时考虑的方法.【例13】【例13】求极限limX-0x2+2-2J1+x2x2(cosX-ex2)7—1,x2x4 x21+X2=1+——一+o(X4)，Xf0cosX=1一一+o(X3)，X-02 8 ， 2!ex2=1+x2+o(x2)，xf0代入原式可得，lim原式【。X4 /、x2lim原式【。X4 /、x2+2-2-x2+—+o(x4)4X2X21-5+o(X3)-1-X2-o(X2)x4,，人+o(X4)=lim_4 =-1Xf0-2X4+o(X4) 6方法八:通过定积分的概念来求极限【例14】求lim(nf+8解由于此题无法直接对式子进行化简，解，即n+...+ )n2+n2也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求1n2原式二lim—( -nf+snn2+1n2+ + +...+ )n2+4 n2+9n2+n2=lim1nf+8n1(1、21+—In)1+ (2、21+—I=lim1nf+8n1(1、21+—In)1+ (2、21+—In)1+1+=lim£此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数以x)=占在［°，1］上的定积分，故lim(nf+8【例15】求极限limn9+s1 1(n!)n=lim1[n(n-1)(n—2)...2-1]；lim1£ln-=en一+8n nI=1n9+811 1 [n(n-1)(n-2)...2.1]；lim_(n!)n=lim nf+sn n—+s nlimnf+s—i1n(n-1)(n-2)...2.1；nn【例16】limnf+s123lim(—•—.—nf+snnnlim—£ln—=enf+sn nI=1Ek2-sin2k, lnk=11 「123n-1n、lim—ln( ... )nf+sn=Jjnxdx=e(xlnx-x册=e-1【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解.故我们需要找到定积分概念中和式极限的“1”和“f化)”。TOC\o"1-5"\h\zn i“1”我们可以类似【例5】，自己把这一项构造出来，而f化)这一项不同于我们以往做过n 1i—13 i的题目中f化)经常取小区间的左端点 或右端点一，而是取了中间一个点，但是无论i n ni--1