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文档简介
陕西省榆林市第二中学2025届高考数学四模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B. C. D.2.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.3.已知函,,则的最小值为()A. B.1 C.0 D.4.集合的真子集的个数是()A. B. C. D.5.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()6.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:①它的图象关于直线x=对称;②它的最小正周期为;③它的图象关于点(,1)对称;④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④7.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.138.若复数满足(是虚数单位),则()A. B. C. D.9.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.10.已知数列满足,则()A. B. C. D.11.已知点、.若点在函数的图象上,则使得的面积为的点的个数为()A. B. C. D.12.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为()A.13 B.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,则a2=____.14.在中,已知,,是边的垂直平分线上的一点,则__________.15.已知实数,满足约束条件则的最大值为________.16.已知集合,.若,则实数a的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面是棱长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面,分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正切值.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.19.(12分)已知六面体如图所示,平面,,,,,,是棱上的点,且满足.(1)求证:直线平面;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识,高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人,按男、女分层抽样从文科生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.(1)设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生,而且这两个男生必须文、理科生都有”,求事件发生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人数,求的分布列和数学期望.21.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.22.(10分)(1)求曲线和曲线围成图形的面积;(2)化简求值:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详解】执行该程序可得.故选:D.【点睛】本题考查程序框图.解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论,也可以由程序框图确定程序功能,然后求解.2、B【解析】
由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为03、B【解析】
,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,,故当,即时,.故选:B.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.4、C【解析】
根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;【详解】解:集合含有个元素,则集合的真子集有(个),故选:C【点睛】考查列举法的定义,集合元素的概念,以及真子集的概念,对于含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,属于基础题.5、D【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.6、B【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④错误;故选:B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型7、D【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.8、B【解析】
利用复数乘法运算化简,由此求得.【详解】依题意,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数模的计算,属于基础题.9、A【解析】
根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.10、C【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式,可计算出,然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时,;当时,由,可得,两式相减,可得,故,因为也适合上式,所以.依题意,,故.故选:C.【点睛】本题考查利用求,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属于中等题.11、C【解析】
设出点的坐标,以为底结合的面积计算出点到直线的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于的方程,求出方程的解,即可得出结论.【详解】设点的坐标为,直线的方程为,即,设点到直线的距离为,则,解得,另一方面,由点到直线的距离公式得,整理得或,,解得或或.综上,满足条件的点共有三个.故选:C.【点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.12、C【解析】
每一次成功的概率为p=26=【详解】每一次成功的概率为p=26=13故选:C.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解:(2x-1)7的展开式通式为:当时,,则.故答案为:【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数,是基础题.14、【解析】
作出图形,设点为线段的中点,可得出且,进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点,则,,,.故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,涉及平面向量数量积运算律的应用,解答的关键就是选择合适的基底表示向量,考查计算能力,属于中等题.15、1【解析】
作出约束条件表示的可行域,转化目标函数为,当目标函数经过点时,直线的截距最大,取得最大值,即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,转化目标函数为当目标函数经过点时,直线的截距最大此时取得最大值1.故答案为:1【点睛】本题考查了线性规划问题,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算能力,属于基础题.16、9【解析】
根据集合交集的定义即得.【详解】集合,,,,则a的值是9.故答案为:9【点睛】本题考查集合的交集,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见证明;(2)【解析】
(1)取PD中点G,可证EFGA是平行四边形,从而,得证线面平行;(2)取AD中点O,连结PO,可得面,连交于,可证是二面角的平面角,再在中求解即得.【详解】(1)证明:取PD中点G,连结为的中位线,且,又且,且,∴EFGA是平行四边形,则,又面,面,面;(2)解:取AD中点O,连结PO,∵面面,为正三角形,面,且,连交于,可得,,则,即.连,又,可得平面,则,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值为.【点睛】本题考查线面平行证明,考查求二面角.求二面角的步骤是一作二证三计算.即先作出二面角的平面角,然后证明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中计算.18、(1);(2)证明详见解析,;(3).【解析】
(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【详解】解:设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为;证明:根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,消去得到,设点,则.所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点.当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去,整理得,则.所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.19、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接,设,连接.通过证明,证得直线平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的正弦值.【详解】(1)连接,设,连接,因为,所以,所以,在中,因为,所以,且平面,故平面.(2)因为,,,,,所以,因为,平面,所以平面,所以,,取所在直线为轴,取所在直线为轴,取所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得,,,,所以,因为,所以,所以点的坐标为,所以,,设为平面的法向量,则,令,解得,,所以,即为平面的一个法向量.,同理可求得平面的一个法向量为所以所以二面角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1);(2)见解析【解析】
(1)按分层抽样得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超几何分布求解即可【详解】(1)因为学生总数为1000人,该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人,则抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.所以.(2)的可能取值为0,1,2,3,,,,,的分布列为0123.【点睛】本题考查分层抽样,考查超几何分布及期望,考查运算求解能力,是基础题21、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由题意可得,的坐标,结合椭圆离心率,及隐含条件列式求得,的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)设直线,求得的坐标,再设直线,求出点的坐标,写出的方程,联立与,可求出的坐标,由,可得关于的函数式,由单调性可得取值范围.【详解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设直线,则
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