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文档简介

安徽省合肥中学2025届高三第二次调研数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.2.已知函数,,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为()A. B. C. D.3.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数4.已知集合,,若,则实数的值可以为()A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则()A. B. C. D.6.已知菱形的边长为2,,则()A.4 B.6 C. D.7.若a>b>0,0<c<1,则A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb8.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.9.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.610.已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.11.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,…,满足,,,若,则()A.2020 B.4038 C.4039 D.404012.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是抛物线上一点,是圆关于直线对称的曲线上任意一点,则的最小值为________.14.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.15.的展开式中,x5的系数是_________.(用数字填写答案)16.在中,,,,则________,的面积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)直线(t为参数)与曲线C交于A,B两点,求最大时,直线l的直角坐标方程.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,是棱上的一点,满足平面.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)设,,若为棱上一点,使得直线与平面所成角的大小为30°,求的值.19.(12分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时,需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8:30之前送到维修处,并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数,具体数据如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天,随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.(Ⅰ)求X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前维修处有两名工人从事维修工作,为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个,至少需要增加几名维修工人?(只需写出结论)20.(12分)如图,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.过顶点,的平面与棱,分别交于,两点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:四边形是平行四边形;(Ⅲ)若,试判断二面角的大小能否为?说明理由.21.(12分)如图,三棱台中,侧面与侧面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,证明:∥平面;(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22.(10分)已知为等差数列,为等比数列,的前n项和为,满足,,,.(1)求数列和的通项公式;(2)令,数列的前n项和,求.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.2、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(当且仅当ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1时,等号成立);故f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故选:A.3、D【解析】

当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.4、D【解析】

由题意可得,根据,即可得出,从而求出结果.【详解】,且,,∴的值可以为.故选:D.【点睛】考查描述法表示集合的定义,以及并集的定义及运算.5、A【解析】

根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和的正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:,又为锐角所以,根据三角函数的定义:所以由所以故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.6、B【解析】

根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果.【详解】如图所示,菱形形的边长为2,,∴,∴,∴,且,∴,故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题..7、B【解析】试题分析:对于选项A,,,,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B,,,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D,利用在上为减函数易得,所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8、B【解析】由题,侧棱底面,,,,则根据余弦定理可得,的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径,则该三棱锥的外接球的表面积为点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径公式是解答的关键.9、B【解析】

由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.10、A【解析】

先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,所以函数在处的切线方程为:,令,它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示:利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.故选:A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.11、D【解析】

计算,代入等式,根据化简得到答案.【详解】,,,故,,故.故选:.【点睛】本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.12、C【解析】

求出函数的导函数,当时,只需,即,令,利用导数求其单调区间,即可求出参数的值,当时,根据函数的单调性及零点存在性定理可判断;【详解】解:∵(),∴,∴当时,由得,则在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值,∴只需,即.令,则,∴函数在上单调递增.∵,∴;当时,,函数在上单调递减,∵,,函数在上有且只有一个零点,∴的值是1或0.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,零点存在性定理的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意求出圆的对称圆的圆心坐标,求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值,减去半径即可得到的最小值.【详解】假设圆心关于直线对称的点为,则有,解方程组可得,所以曲线的方程为,圆心为,设,则,又,所以,,即,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题,涉及到的知识点有点关于直线的对称点,点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径,属于中档题目.14、【解析】令直线:,与椭圆方程联立消去得,可设,则,.可知,又,故.三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍,则内切圆半径,其面积最大值为.故本题应填.点睛:圆锥曲线中最值与范围的求法有两种:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法,判别式法,重要不等式及函数的单调性法等.15、-189【解析】由二项式定理得,令r=5得x5的系数是.16、【解析】

利用余弦定理可求得的值,进而可得出的值,最后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】由余弦定理得,则,因此,的面积为.故答案为:;.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积的计算,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)利用消去参数,得到曲线的普通方程,再将,代入普通方程,即可求出结论;(2)由(1)得曲线表示圆,直线曲线C交于A,B两点,最大值为圆的直径,直线过圆心,即可求出直线的方程.【详解】(1)由曲线C的参数方程(为参数),可得曲线C的普通方程为,因为,所以曲线C的极坐标方程为,即.(2)因为直线(t为参数)表示的是过点的直线,曲线C的普通方程为,所以当最大时,直线l经过圆心.直线l的斜率为,方程为,所以直线l的直角坐标方程为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系,考查化归和转化思想,属于中档题.18、(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由平面,可得,又因为是的中点,即得证;(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,设,计算平面的法向量,由直线与平面所成角的大小为30°,列出等式,即得解.【详解】(Ⅰ)如图,连接交于点,连接,则是平面与平面的交线,因为平面,故,又因为是的中点,所以是的中点,故.(Ⅱ)由条件可知,,所以,故以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,设,则,设平面的法向量为,则,即,故取因为直线与平面所成角的大小为30°所以,即,解得,故此时.【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合,考查了学生逻辑推理,空间想象,数学运算的能力,属于中档题.19、(Ⅰ)分布列见解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

(Ⅰ)求出X的所有可能取值为9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前两问的结果,判断至少增加2人.【详解】(Ⅰ)X的取值为:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列为:X912151824P故X的数学期望;(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,a,b的值可能为:,或,或.经计算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值为.(Ⅲ)至少增加2人.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差,属于中等题.20、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)不能为.【解析】

(1)由平面平面,可得平面,从而证明;(2)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(3)作交于点,延长交于点,连接,根据三垂线定理,确定二面角的平面角,若,,由大角对大边知,两者矛盾,故二面角的大小不能为.【详解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(3)不能.如图,作交于点,延长交于点,连接,由,,,所以平面,则平面,又,根据三垂线定理,得到,所以是二面角的平面角,若,则是等腰直角三角形,,又,所以中,由大角对大边知,所以,这与上面相矛盾,所以二面角的大小不能为.【点睛】本题考查了

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