2025届北京市西城区第四中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

2025届北京市西城区第四中学高三冲刺模拟数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A． B． C． D．2．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．或 C．或 D．3．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（）A． B．C． D．4．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知向量，，且与的夹角为，则x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-16．已知集合，，则等于()A． B． C． D．7．的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（）A． B． C． D．8．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知是虚数单位，若，，则实数（）A．或 B．-1或1 C．1 D．10．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A． B．C． D．11．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）A． B．3 C． D．12．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知下列命题：①命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“”为真命题；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．14．的展开式中常数项是___________.15．已知，若，则a的取值范围是______．16．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.18．（12分）已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，对于符合题意的任意，当时均有?若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82820．（12分）在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为．（1）分别求、、的值；（2）求的表达式．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：22．（10分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.参考数据：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.2、A【解析】

过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，，则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，易知此时直线的斜率存在，设切线方程为，则.则，则直线的方程为.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.3、C【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，由中位线定理可得且，所以即为与直线所成的角，，由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为，故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.4、D【解析】

先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.5、B【解析】

由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.6、B【解析】

解不等式确定集合，然后由补集、并集定义求解．【详解】由题意或，∴，．故选：B.【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型．7、A【解析】

先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.【详解】由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.故选：A【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.8、C【解析】

由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.【详解】解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，即有解，令，则，则当时，；当时，，故时，取得极大值，也即为最大值，当趋近于时，趋近于，所以满足条件．故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．9、B【解析】

由题意得，，然后求解即可【详解】∵，∴.又∵，∴，∴.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题10、A【解析】

根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因为函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.11、D【解析】

建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．设，则，化简得：，则，解得：，即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选：.【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.12、A【解析】

根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线（），所以，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②【解析】命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(p)∧(q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a＞2，但a＞2⇒/a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．14、-160【解析】试题分析：常数项为.考点：二项展开式系数问题.15、【解析】

函数等价为，由二次函数的单调性可得在R上递增，即为，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】，等价为，且时，递增，时，递增，且，在处函数连续，可得在R上递增，即为，可得，解得，即a的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16、2【解析】

如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.【详解】由题得,.因为.所以,过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因为,所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案为：2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析，分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析【解析】

（1）的可能取值为10000，11000，12000，的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；（2）计算期望，得到，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，，计算分布列，计算数学期望得到答案.【详解】（1）的可能取值为10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值为9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列为如下9000100001100012000（2）设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为，的可能取值为2，3，4，5，，，则的分布列为2345的可能取值为3，4，5，6，，，则的分布列为3456由于，，因此需购买甲设备【点睛】本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.18、(1)；(2).【解析】

（1）对求导，对参数进行分类讨论，根据函数单调性即可求得.（2）先根据，得，再根据零点解得，转化不等式得，令，化简得，因此，，最后根据导数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得取值集合.【详解】（1），当时，对恒成立，与题意不符，当，，∴时，即函数在单调递增，在单调递减，∵和时均有，∴，解得：，综上可知：的取值范围；（2）由(1)可知，则，由的任意性及知，，且，∴，故，又∵，令，则，且恒成立，令，而，∴时，时，∴，令，若，则时，，即函数在单调递减，∴，与不符；若，则时，，即函数在单调递减，∴，与式不符；若，解得，此时恒成立，，即函数在单调递增，又，∴时，；时，符合式，综上，存在唯一实数符合题意.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.19、（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析.【解析】

（1）计算得到，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）∵的观测值，有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有人，女生有人，选取的人中，男生有人，女生有人．则的可能取值有，，，，，的分布列为：．【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20、（1）,,,（2）【解析】

（1）根据机器人的进行规律可确定、、的值；（2）首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下),由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于的表达式,并得到的表达式,然后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解.【详解】解：（1）,,（2）设为沿轴正方向走的步数（每一步长度为1）,则反方向也需要走步才能回到轴上,所以,1,2,……,,（其中为不超过的最大整数）总共走步,首先任选步沿轴正方向走,再在剩下的步中选步沿轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下）,即等价于求中含项的系数,为其中含项的系数为故．【点睛】本题考查组合数、二项式定理,考查学生的逻辑推理能力,推理论证能力以及分类讨论的思想.21、（1）；（2）详见解析.【解析】

（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候