专题20一次函数的图象与性质重难点题型专训(十大题型)(原卷版+解析)

专题20一次函数的图象与性质重难点题型专训（十大题型）【题型目录】题型一正比例函数的图象题型二正比例函数的性质题型三根据一次函数的定义求参数题型四求一次函数自变量或函数值题型五已知函数经过的象限求参数范围题型六一次函数图象与坐标轴的交点问题题型七一次函数的平移问题题型八一次函数的增减性题型九求一次函数的解析式题型十一次函数的规律探究问题【知识梳理】知识点：一次函数的图像与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3.、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4.两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0，b>0：经过第一、二、三象限k>0，b<0：经过第一、三、四象限k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。k<0，b>0：经过第一、二、四象限k<0，b<0：经过第二、三、四象限k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。总结：1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直。5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。知识点：待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【经典例题一正比例函数的图象】1．（2023春·八年级单元测试）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（

）A． B．C．或 D．或2．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）下列关于函数的结论正确的是（）A．函数图象经过点B．函数图象经过第一、三象限C．y随x的增大而减小D．不论x为何值，总有3．（2023春·吉林四平·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为

4．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为，若直线与线段有公共点，则的值可以为（写出一个即可．）5．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知正比例函数的图象过点，求：(1)求正比例函数关系式；(2)画出正比例函数的图象；(3)当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围．【经典例题二正比例函数的性质】1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）已知点，是正比例函数图象上的两点，则b、c的大小关系是（）A． B． C． D．不能确定2．（2023春·全国·八年级专题练习）若是y关于x的正比例函数，如果点和点在该函数的图像上，那么a和b的大小关系是（

）A．a<b B．a>b C． D．3．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有，两点，将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点F在直线上，则点D的坐标为．4．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）直线与线段有公共点，已知点，，则的取值范围.5．（2023·上海·八年级假期作业）已知与成正比例，当时，(1)求与的函数表达式；(2)当时，求函数值；(3)当时，求自变量的值．【经典例题三根据一次函数的定义求参数】1．（2022春·福建福州·八年级统考期末）若直线经过点和，且，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝﹣2x+1上，点A关于y轴的对称点B恰好落在直线y＝kx+2上，则k的值为（）A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣33．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）若是关于x的一次函数，则m的值为．4．（2023·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）若以关于的二元一次方程组的解为坐标的点在一次函数的图像上，则的值为．5．（2022秋·八年级课时练习）已知函数，(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？【经典例题四求一次函数自变量或函数值】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为（

）A．3 B． C．2 D．02．（2023·安徽滁州·校考二模）已知点在直线上，且，则下列关系一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，若直线经过和两点，则代数式的值为．4．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）将点向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，点Q恰好在直线上，则a的值为．5．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为__________；(2)已知一次函数，①这个函数的相关函数为__________；②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值．【经典例题五已知函数经过的象限求参数范围】1．（2022秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（）A． B． C． D．或2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（

）A．，B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为3．（2023春·北京东城·八年级北京市第一六六中学校考期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围为．4．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）一次函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围为．5．（2022春·浙江·八年级期末）在平面直角坐标系中，设一次函数，（k，b是实数，且）．(1)若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标；(2)若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点；(3)若函数的图象不经过第二象限，且过点，求k的取值范围．【经典例题六一次函数图象与坐标轴的交点问题】1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·安徽亳州·八年级校联考阶段练习）已知一次函数．（1）若该函数图象与轴的交点位于轴的负半轴，则的取值范围是；（2）当时，函数有最大值，则的值为．4．（2023秋·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，直线分别与、轴交于、两点，若在轴上存在一点，使是以为底的等腰三角形，则点的坐标是．

5．（2021春·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图像过点和．交x轴于A，交y轴于B．(1)求这个函数的解析式；(2)若点在函数图像上，求a的值；(3)规定横、纵坐标都为整数的点为整点，若此一次函数图像与的图像及y轴围成的区域（不含边界）称为区域W，则：①区域W中整点的个数有个；②把这个一次函数图像至少向上平移个单位，则使得区域W中的整点个数为0．【经典例题七一次函数的平移问题】1．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点，以为斜边在y轴右侧作且，将直线向下平移m个单位，使平移后的直线经过点C，则m的值是（

）

A． B．8 C． D．42．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向左平移得到．若经过点，则点的坐标为（

）．

A． B． C． D．3．（2023秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，且，点A坐标为，经过点A的直线平分的面积，与y轴交于点C，将直线向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为．

4．（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）已知点，，直线．（1）若直线，则．（2）若直线m与线段有交点，则k的取值范围为5．（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点和点，(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与轴、轴的交点坐标，(2)如果正比例函数与所求的一次函数平行，请直接写出的值、(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．【经典例题八一次函数的增减性】1．（2023春·陕西延安·八年级统考期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（

）A．的值为或 B．的值随的增大而增大C．该函数图象经过第一、二、三象限 D．在的范围内，的最大值为2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点，在函数的图象上，当且时，都有，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2021春·安徽芜湖·八年级校考期末）已知点和点，若直线与线段有交点，则的取值范围是．4（2023春·山东青岛·八年级校考开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值：（1）当时，一次函数的值随x值的增大而减小；（2）当时，一次函数的图象与的图象平行；（3）当时，一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴．5．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）已知一次函数．(1)当、为何值时，随的增大而减小？(2)当、为何值时，函数的图象与轴的交点在轴的下方？(3)当、为何值时，函数图象经过原点？【经典例题九求一次函数的解析式】1．（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（

）01232581214A．2 B．5 C．8 D．122．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）若与成正比例，且时，，则y关于x的函数解析式为（）A． B． C． D．3．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在四边形中，，若平分交于点D，点，则经过O、D两点的直线表达式是．

4．（2023秋·四川绵阳·九年级统考开学考试）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，过点A作直线l将分成周长相等的两部分，则直线l的函数解析式为．

5．（2023春·广东惠州·八年级惠州市惠阳区第一中学校考期中）已知直线经过，两点．

(1)求直线的函数解析式；(2)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴交于点P，且使，求的面积．(3)点Q是y轴上一点，使得是等腰三角形．①求出一个满足以上条件的点Q坐标；②直接写出其余满足条件的点Q的坐标？【经典例题十一次函数的规律探究问题】【例10】（2023春·四川凉山·八年级统考期末）如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为（

）

A． B．C． D．2．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，正方形，，的顶点，，和顶点，，分别在直线和x轴上，用同样的方式依次放置正方形，，……，，则点的纵坐标为．

3．（2021秋·江西抚州·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1）(1)①直接写出点A，B的坐标：A，B．②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式；(2)根据操作规律，可知点的坐标为．可得直线的函数关系式为．(3)求的面积．【重难点训练】1．（2023春·河南周口·八年级校考期中）若一次函数的图象经过点，则该一次函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）一次函数的图象经过点，点，那么该函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（

）A．3 B． C．2 D．04．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．5．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①关于的方程的解为；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是(

)

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知，y是x的一次函数，则．7．（2023春·山东青岛·八年级校考开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值：（1）当时，一次函数的值随x值的增大而减小；（2）当时，一次函数的图象与的图象平行；（3）当时，一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴．8．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）已知关于的两个一次函数，其中，均为非零常数．（1）若两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点，则；（2）若对于任意实数，都成立，则的取值范围是．9．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间（不包括边界），则的取值范围是．

10．（2023春·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，正方形，，，按如图所示放置，点，，都在直线上，点，，都在x轴上，则点的坐标是．

11．（2023秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为．

12．（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，过点的直线与直线交于．

(1)求直线对应的表达式；(2)求四边形的面积．13．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，直线与轴，轴分别交于两点，点的坐标为．

(1)求的值；(2)若点是直线在第一象限内的动点，试确定点的坐标，使的面积为12．14．（2023春·吉林长春·八年级校联考期中）定义：对于关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“a变换函数”（其中a为常数）．例如：对于关于x的一次函数的“5变换函数”为

(1)一次函数的“0变换函数”为y＝．(2)在网格中补全一次函数的“2变换函数”图象，并完成下列问题：①对于一次函数的“2变换函数”，当时，求y的值；当时，求x的值；②对于一次函数的“2变换函数”，当时，y的取值范围是．(3)当一次函数的“a变换函数”与直线y＝2有一个交点时，直接写出a的取值范围．15．（2023春·河北邢台·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为．

（1）直线的函数解析式为；（2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点在轴上，点在轴上．①当的面积为6时，直线就会发蓝光，则此时输入的的值为；②当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的的取值范围是．16．（2023春·山西大同·七年级大同市第三中学校校考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．

(1)如图1，求点A的坐标；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积．(3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标．

专题20一次函数的图象与性质重难点题型专训（十大题型）【题型目录】题型一正比例函数的图象题型二正比例函数的性质题型三根据一次函数的定义求参数题型四求一次函数自变量或函数值题型五已知函数经过的象限求参数范围题型六一次函数图象与坐标轴的交点问题题型七一次函数的平移问题题型八一次函数的增减性题型九求一次函数的解析式题型十一次函数的规律探究问题【知识梳理】知识点：一次函数的图像与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3.、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4.两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0，b>0：经过第一、二、三象限k>0，b<0：经过第一、三、四象限k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。k<0，b>0：经过第一、二、四象限k<0，b<0：经过第二、三、四象限k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。总结：1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直。5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。知识点：待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【经典例题一正比例函数的图象】1．（2023春·八年级单元测试）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分类讨论：当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式．【详解】直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，两部分的面积分别为3和6，当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，，解得，，设直线的解析式为，把代入得，解得，此时直线的解析式为；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，，解得，，，设直线的解析式为，把，代入得，解得，此时直线的解析式为，综上所述，直线的解析式为或．故选：．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质．2．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）下列关于函数的结论正确的是（）A．函数图象经过点B．函数图象经过第一、三象限C．y随x的增大而减小D．不论x为何值，总有【答案】B【分析】直接根据正比例函数的图象与性质特点逐项判断即可得．【详解】解：A、当时，，则函数图象不经过点，此项错误，不符合题意；B、函数中的，则函数图象经过第一、三象限，此项正确，符合题意；C、函数中的，则随的增大而增大，此项错误，不符合题意；D、只有当时，，则此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．3．（2023春·吉林四平·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为

【答案】（答案不唯一）【分析】分别求正比例函数经过点和时的值，即可找到的取值范围，从而可选择一个合适值．【详解】解：当正比例函数经过点第一象限时，，当正比例函数经过点时，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正比例函数比例系数，利用数形结合求出正比例函数系数的范围是解题关键．4．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为，若直线与线段有公共点，则的值可以为（写出一个即可．）【答案】【分析】将y=3代入求出x=2，再根据点A、B的坐标及直线与线段有公共点即可确定n的取值范围由此得到答案.【详解】当y=3时，得到，解得x=2，∵点的坐标分别为，若直线与线段有公共点，∴，故答案为：3（答案不唯一）.【点睛】此题考查两直线相交，由点A与确定的直线可以得到点B在直线上或是在直线的右侧，由此求出直线上纵坐标为3的点的横坐标，即可确定n的取值范围，由此解答问题.5．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知正比例函数的图象过点，求：(1)求正比例函数关系式；(2)画出正比例函数的图象；(3)当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围．【答案】(1)(2)画图见解析(3)【分析】（1）把代入函数解析式即可；（2）先列表描点，再连线即可；（3）分别求解当时，；当时，；从而可得答案．【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点，∴，∴，∴正比例函数为；（2）列表：00描点连线：

（3）当时，；当时，；当自变量x满足时，对应函数值y的取值范围为．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键．【经典例题二正比例函数的性质】1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）已知点，是正比例函数图象上的两点，则b、c的大小关系是（）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据正比例函数的增减性进行判断即可．【详解】解：正比例函数解析式为，∴y随x的增大而增大，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的性质、比较函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）若是y关于x的正比例函数，如果点和点在该函数的图像上，那么a和b的大小关系是（

）A．a<b B．a>b C． D．【答案】B【分析】利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m-2=-4＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小即可解答．【详解】解：∵y=（m-2）x+m2-2是y关于x的正比例函数，∴m2-2=0，m-2≠0，解得：m=-2，∴m-2=-2-2=-4＜0，∴y随x的增大而减小．又∵A（m，a）和B（-m，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图像上，m＜-m∴a>b．故答案为：B．【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，掌握“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解答本题的关键．3．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有，两点，将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点F在直线上，则点D的坐标为．【答案】【分析】先根据平移的性质求出点的纵坐标为3，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得．【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且，点的纵坐标为3，当时，，解得，，将沿轴向右平移个单位长度后得到，平移后，点与点是对应点，且，，即，故答案为：．【点睛】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键．4．（2023春·江西南昌·八年级校考阶段练习）直线与线段有公共点，已知点，，则的取值范围.【答案】【分析】根据过点k取最大值，过点k去最小值计算即可．【详解】∵过点k取最大值，∴∵过点k去最小值，∴，解得，故的取值范围，故答案为：．【点睛】本题考查了解析式的确定，交点的意义，熟练掌握求解析式是解题的关键．5．（2023·上海·八年级假期作业）已知与成正比例，当时，(1)求与的函数表达式；(2)当时，求函数值；(3)当时，求自变量的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正比例函数的定义得出的值，即可得出答案；（2）将代入（1）中函数解析式进而得出答案；（3）将代入（1）中函数解析式进而得出答案．【详解】（1）解：∵与成正比例，∴．∴．∵当时，，∴．∴．∴与的函数表达式为；（2）当时，；（3）当时，．∴．【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键．【经典例题三根据一次函数的定义求参数】1．（2022春·福建福州·八年级统考期末）若直线经过点和，且，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据题意得出，求出，根据，求出，即可得出答案．【详解】解：由题意得，解得：，，，，可以是5，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝﹣2x+1上，点A关于y轴的对称点B恰好落在直线y＝kx+2上，则k的值为（）A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣3【答案】B【分析】由点A的坐标以及点A在直线y＝﹣2x+1上，可得出关于m的一元一次方程，解方程可求出m值，即得出点A的坐标，再根据对称的性质找出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法即可求出k值．【详解】解：∵点A在直线y＝﹣2x+1上，∴m＝﹣2×2+1＝﹣3，∴点A的坐标为（2，﹣3）．又∵点A、B关于y轴对称，∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），∵点B（﹣2，﹣3）在直线y＝kx+2上，∴﹣3＝﹣2k+2，解得：k＝2.5．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是求出点B的坐标．3．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）若是关于x的一次函数，则m的值为．【答案】【分析】根据一次函数的定义得到且，即可得到答案．【详解】解：由题意得：且，解得，故答案为：．【点睛】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键．4．（2023·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）若以关于的二元一次方程组的解为坐标的点在一次函数的图像上，则的值为．【答案】【分析】解方程组，先用含k的代数式表示出x、y，根据以方程组的解为坐标的点在一次函数的图像上，得到关于k的一元一次方程，求解即可．【详解】解：得，，∴；得：∴把，代入，得：，解得，，故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x、y．5．（2022秋·八年级课时练习）已知函数，(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？【答案】(1)(2)n=1，m=-1【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值；（2）根据正比例函数的定义知，，据此可以求得、的值．【详解】（1）解：当函数是一次函数时，，且，解得，，；（2）解：当函数是正比例函数时，，解得，，．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式．【经典例题四求一次函数自变量或函数值】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若点在直线上，则代数式的值为（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】A【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可．【详解】解：把点代入得，整理得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．2．（2023·安徽滁州·校考二模）已知点在直线上，且，则下列关系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及，可得出，在不等式的两边同时除以b可得出，化简后即可得出．【详解】解：∵点在直线上，∴，∴．∵，∴，∴．在不等式的两边同时除以b得，∴．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以，以及不等式的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及求出b为正值是解题的关键．3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，若直线经过和两点，则代数式的值为．【答案】4【分析】把和代入计算即可．【详解】∵直线经过和两点，∴，整理得，∴，整理得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数数图象上点的坐标特征，利用整体思想代入求值是解题的关键．4．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）将点向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，点Q恰好在直线上，则a的值为．【答案】2【分析】根据点的平移求得Q的坐标，代入即可求得a的值．【详解】解：∵点向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，∴点，又∵点在直线上，∴，∴．故答案为：2．【点睛】此题考查了坐标与图形变化-平移，一次函数图象上点的坐标特征，根据点的平移求得Q的坐标是解题的关键．5．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为__________；(2)已知一次函数，①这个函数的相关函数为__________；②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值．【答案】(1)；(2)，或．【分析】（）根据例子中函数的相关函数，将点代入即可求解；（）根据相关函数的定义即可求解；分，两种情况求解即可．【详解】（1）∵，∴点在上，当时，∴，故答案为：；（2）根据题意：一次函数相关函数为：，故答案为：，若点在这个函数的相关函数的图象上，当时，，解得：，当时，，解得：，∴或．【点睛】此题考查了互为相关函数的定义，掌握一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．【经典例题五已知函数经过的象限求参数范围】1．（2022秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】先根据函数y随x的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限图象与y轴的交点在y轴的负半轴上或原点，即，进而可求出k的取值范围．【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，且此函数的图象不经过第二象限，∴，且，解得，故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与系数关系．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（

）A．，B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为【答案】B【分析】根据一次函数图象的性质和平移的规律逐项分析即可．【详解】解：A.由图象可知，，，故正确，不符合题意；B.∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，故错误，符合题意；C.∵点(2，0)在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意；D.将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，故正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数的平移，熟练掌握性质和平移的规律是解答本题的关键．3．（2023春·北京东城·八年级北京市第一六六中学校考期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围为．【答案】【分析】分两种情况讨论，当一次函数经过第二、四象限时，由，可求出的值；当一次函数经过第一、二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得，，即可求出实数的取值范围；总是即可得出实数的取值范围．【详解】当一次函数的图象经过第二、四象限时，，；当一次函数的图象经过第一、二、四象限时，，．综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握相关关系和分类讨论是解本题的关键．4．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）一次函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围为．【答案】/【分析】由函数的图象经过一、二、四象限，可知，解不等式组即可．【详解】解：函数的图象经过一、二、四象限，，解不等式组得，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是能根据所过的象限判断与的符号．5．（2022春·浙江·八年级期末）在平面直角坐标系中，设一次函数，（k，b是实数，且）．(1)若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标；(2)若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点；(3)若函数的图象不经过第二象限，且过点，求k的取值范围．【答案】(1)(2)证明过程见详解(3)【分析】（1）把点代入，得到，即可得到，令，从而求得函数与轴的交点坐标．（2）把点代入，得到，即可得到，令，从而求得函数与轴的交点坐标，即可得证．（3）根据题意得出，，把点代入，得到，从而得到不等式组，解之即可求得的取值范围．【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，∴，∴．∴令，则，解得，∴函数与x轴的交点坐标为．（2）证明：∵函数的图象经过点，∴，∴，∴．∴令，则，∴函数的图象经过点．（3）解：∵函数的图象不经过第二象限，且，∴，．∵函数的图象过点，∴，∴．∴解得．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，由点的坐标得出k与b的关系是解题的关键．【经典例题六一次函数图象与坐标轴的交点问题】1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图示，可得，，根据不等式的性质即可求解．【详解】解：根据图示，可知一次函数中，；一次函数中，，∴、，故原选项错误，不符合题意；、∵，∴，故原选项正确，符合题意；、∵，且，∴，故原选项错误，不符合题意；、∵，∴，故原选项错误，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键．2．（2023春·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先求点的坐标，根据“以为底边在y轴的右侧作等腰”可求C点的纵坐标，进而可求C点的对应点坐标为，即可求解．【详解】解：由题意得：点的坐标为：∵以为底边在y轴的右侧作等腰∴C点的纵坐标为将沿y轴折叠后，C点的对应点纵坐标也为∵点C恰好落在直线上∴，即C点的对应点坐标为则C点的坐标为故选：A【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的性质等．掌握相关结论即可．3．（2023秋·安徽亳州·八年级校联考阶段练习）已知一次函数．（1）若该函数图象与轴的交点位于轴的负半轴，则的取值范围是；（2）当时，函数有最大值，则的值为．【答案】【分析】（1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论；（2）根据题意得方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）∵一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的负半轴，∴，解得：；故答案为：；（2）在一次函数中，∵，∴y随x的增大而增大，∵当时，函数y有最大值，∴当时，，代入得，，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是一次函数图象的基本性质，与坐标轴的交点，增减性，熟练掌握基本性质是解题的关键．4．（2023秋·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，直线分别与、轴交于、两点，若在轴上存在一点，使是以为底的等腰三角形，则点的坐标是．

【答案】【分析】先求出点M和点N的坐标，得出，，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可．【详解】解：把代入得：，∴，则，把代入得：，解得：，∴，则，∵是以为底的等腰三角形，∴，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理列出方程求解．5．（2021春·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图像过点和．交x轴于A，交y轴于B．(1)求这个函数的解析式；(2)若点在函数图像上，求a的值；(3)规定横、纵坐标都为整数的点为整点，若此一次函数图像与的图像及y轴围成的区域（不含边界）称为区域W，则：①区域W中整点的个数有个；②把这个一次函数图像至少向上平移个单位，则使得区域W中的整点个数为0．【答案】(1)(2)(3)①3；②2【分析】（1）把点和分别代入解析式计算求解即可．（2）把点代入解析式计算求解即可．（3）①画出图像，计算即可．②求出直线经过和的解析式，根据平移规律解答即可．【详解】（1）把点和分别代入，得，解得，故这个函数的解析式为．（2）把点代入，得，解得．（3）①画出图像如下：

故符合题意的整点有，，，有3个，故答案为：3．②设向上平移b个单位，故解析式为，当直线经过时，w有0个整点，此时，解得，故答案为：2．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，平移思想，熟练掌握平移思想，待定系数法是解题的关键．【经典例题七一次函数的平移问题】1．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点，以为斜边在y轴右侧作且，将直线向下平移m个单位，使平移后的直线经过点C，则m的值是（

）

A． B．8 C． D．4【答案】A【分析】过点作轴于点，先求出，利用含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，从而可得，再根据一次函数图象的平移规律可设平移后的直线的解析式为，将点代入计算即可得．【详解】解：如图，过点作轴于点，

对于一次函数，当时，，即，∵在中，，，，，在中，，，设将直线向下平移个单位，使平移后的直线的解析式为，将点代入得：，解得，故选：A．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．2．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向左平移得到．若经过点，则点的坐标为（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】设点C的坐标为，利用勾股定理分别求出的长，结合，即可求出点C的坐标，求出直线的解析式，即可求出直线的解析式，从而推出直线相当于直线向左平移3个单位得到的，由此即可得到答案．【详解】解：设点C的坐标为，则由勾股定理得：，，∵，∴，∴或（舍去），∴点C的坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，∵是经过平移得到的，∴可设直线的解析式为，∵经过点，∴，∴直线的解析式为，∴直线相当于直线向左平移3个单位得到的，∴点是由点C向左平移3个单位得到的，∴点的坐标为，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．3．（2023秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，且，点A坐标为，经过点A的直线平分的面积，与y轴交于点C，将直线向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为．

【答案】/【分析】由，点A坐标为，可得，由直线平分的面积，可知是中的中线，则，待定系数法求得直线的解析式为，根据上加下减求平移后的解析式即可．【详解】解：∵，点A坐标为，∴，∵直线平分的面积，∴是中的中线，∴，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，∴直线的解析式为，∴直线向上平移3个单位长度后得到的直线解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数解析式，中线的性质，一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）已知点，，直线．（1）若直线，则．（2）若直线m与线段有交点，则k的取值范围为【答案】【分析】（1）设所在直线的函数表达式为，把，代入，求出a和b的值，得出所在直线的函数表达式，即可求解；（2）分别求出当直线m经过点A和点B时的k值，即可求解．【详解】解：（1）设所在直线的函数表达式为，把，代入得：，解得：，∴所在直线的函数表达式为，∵，∴；（2）当m经过点A时：把代入得：，解得：；当m经过点B时：把代入得：，解得：；∴k的取值范围为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，两条互相平行的直线k值相等．5．（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点和点，(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与轴、轴的交点坐标，(2)如果正比例函数与所求的一次函数平行，请直接写出的值、(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．【答案】(1)，轴、轴的交点坐标分别为：，，图象见详解(2)(3)见详解【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数的表达式，问题随之得解；（2）将（1）中所得直线函数，再通过平移即可得到，可知两个直线的自变量系数相同，问题随之得解；（3）按要求作图即可．【详解】（1）设一次函数解析式为：，∵一次函数的图象经过点和点，∴，解得：，即一次函数的解析式为：，当时，，当时，，解得：，即图象与轴、轴的交点坐标分别为：，，作图如下：

（2）将一次函数向上平移3个单位可得正比例函数，∵平行的两条直线通过平移可以重合，又∵正比例函数与一次函数平行，∴一次函数通过平移得到正比例函数，∴正比例函数的解析式为：，∴；（3）作图如下：

【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的平移等知识，掌握平行的两条直线通过平移可以重合，待定系数法，是解答本题的关键．【经典例题八一次函数的增减性】1．（2023春·陕西延安·八年级统考期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（

）A．的值为或 B．的值随的增大而增大C．该函数图象经过第一、二、三象限 D．在的范围内，的最大值为【答案】A【分析】根据一次函数的性质，分，分别求得最大值与最小值，根据在的范围内的最大值比最小值大，求得的值，继而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据题意，当时，则当时，取得最大值，当时，取得最小值，，解得，根据题意，当时，则当时，取得最小值，当时，取得最大值，，解得，的值为或，故选项正确，选项不正确，当时，一次函数为经过第一、二、三象限，当时，一次函数为经过第一、二、四象限，故选项不正确，当时，一次函数为，在的范围内，的最大值为当时，一次函数为在的范围内，的最大值为故选项不正确，故选：．【点睛】本题考查了一次函数的性质，分类讨论求解出的值是解题的关键．2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点，在函数的图象上，当且时，都有，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先画出图像，根据图像可知当、时，，则要想、则必有，求解即可．【详解】当时，当时，当在左侧时，画出图象如上图由题意可知当、时，要想、则必有∵∴∴当在右侧时，函数为增函数满足即可∵且∴即∴故选A．【点睛】本题考查了一次函数的图象及绝对值等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．3．（2021春·安徽芜湖·八年级校考期末）已知点和点，若直线与线段有交点，则的取值范围是．【答案】或【分析】当直线经过点时，，解得；当直线经过点时，，解得；确定范围即可．【详解】当直线经过点时，得，解得；当直线经过点时，得，解得；故直线与线段有交点，则的取值范围是或，故答案为：或．【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．4（2023春·山东青岛·八年级校考开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值：（1）当时，一次函数的值随x值的增大而减小；（2）当时，一次函数的图象与的图象平行；（3）当时，一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴．【答案】（答案不唯一，即可）（答案不唯一，即可）【分析】（1）根据一次函数性质时，y的值随x值的增大而减小即可，写出符合的m的值即可；（2）根据两直线平行k值相等即可得到答案；（3）根据一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴，判断，写出符合的m的值即可．【详解】（1）由一次函数的值随x值的增大而减小，得，∴m可取，故答案为：（答案不唯一，即可）；（2）由两直线平行k值相等，得，故答案为：；（3）由一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴，一次函数经过，得y的值随x值的增大而增大，∴，∴m可取，故答案为：（答案不唯一，即可）．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）已知一次函数．(1)当、为何值时，随的增大而减小？(2)当、为何值时，函数的图象与轴的交点在轴的下方？(3)当、为何值时，函数图象经过原点？【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）当，随的增大而减小；（2）当，，函数的图象与轴的交点在轴的下方；（3）当，，函数图象经过原点．【详解】（1）解：当，即，随的增大而减小，所以当，为任何实数，随的增大而减小；（2）解：当，，函数的图象与轴的交点在轴的下方，解不等式得，，，所以当，时，函数的图象与轴的交点在轴的下方；（3）解：当，，函数图象经过原点，解不等式、方程得，，，所以当，时，函数图象经过原点．【点睛】本题考查了一次函数（，，为常数）的性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方．【经典例题九求一次函数的解析式】1．（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（

）01232581214A．2 B．5 C．8 D．12【答案】D【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求．【详解】解：将，代入，得，解得，于是，将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式．故选：D．【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键．2．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）若与成正比例，且时，，则y关于x的函数解析式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，待定系数法求出的值即可．【详解】解：由题意，设，∵时，，∴，解得：；∴，∴；故选B．【点睛】本题考查求一次函数的解析式，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．3．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在四边形中，，若平分交于点D，点，则经过O、D两点的直线表达式是．

【答案】【分析】由平分，可得，由，可得，则，即，，设经过O、D两点的直线表达式为，将代入求解，进而可得结果．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设经过O、D两点的直线表达式为，将代入得，，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023秋·四川绵阳·九年级统考开学考试）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，过点A作直线l将分成周长相等的两部分，则直线l的函数解析式为．

【答案】【分析】先利用确定，，则根据勾股定理计算出，直线l交于C点，设，由于直线l将分成周长相等的两部分，所以，解方程求出t得到，然后利用待定系数法求直线l的解析式．【详解】解：当时，，解得，∴，当时，，∴，∴，直线l交于C点，如图，设，

∵直线l将分成周长相等的两部分，∴，即，解得，∴，设直线l的解析式为，把，分别代入得，解得，∴直线l的解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．5．（2023春·广东惠州·八年级惠州市惠阳区第一中学校考期中）已知直线经过，两点．

(1)求直线的函数解析式；(2)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴交于点P，且使，求的面积．(3)点Q是y轴上一点，使得是等腰三角形．①求出一个满足以上条件的点Q坐标；②直接写出其余满足条件的点Q的坐标？【答案】(1)直线的函数解析式为；(2)的面积为或4；(3)①；②其他符合条件的点Q坐标为或或．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先令求出的值，再令求出的值即可得出两点的坐标，根据，要分类讨论点的方向，点可以在点的左侧或者右侧两种情况，求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可；（3）分三种情况讨论：当A为顶点时、B为顶点时、为底边时，求出相应线段，根据点在坐标轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标．【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，代入，得，解得，∴直线的函数解析式为；（2）解：令，则，得，令，则，则两点的坐标为：，分两种情况：①当点P位于y轴左侧时；，∴，则；②当点P位于y轴右侧时；，∴，则，∴的面积为或4；

；（3）解：∵，∴，；∴，分三种情况：①当A为顶点时：∵，，则，∴；②当B为顶点时：，Q位于B点上方时，，Q位于B点下方时，；当为底边时：，即时，设点的坐标为，，解得，∴；∴符合条件的其他点Q的坐标为或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想．本题要求求出相应线段后，注意根据点在坐标轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标．【经典例题十一次函数的规律探究问题】1、（2023春·四川凉山·八年级统考期末）如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】，利用，逐次求出，，，，据此可得，由此即可求解．【详解】解：∵，点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上，则，，则，则，则，，则，……，以此类推可得则，故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，以及点坐标规律探索，通过计算找到规律是解题的关键．2．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标．【详解】当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为；同理可得：，，，，，，，，，，，为自然数，点的坐标为，即故选A．【点睛】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．3．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，正方形，，的顶点，，和顶点，，分别在直线和x轴上，用同样的方式依次放置正方形，，……，，则点的纵坐标为．

【答案】【分析】根据题意求出，，，，，进而找出坐标规律，进行求解即可．【详解】当时，，∴点的坐标为．∵四边形为正方形，∴点的坐标为，点的坐标为．当时，，∴点的坐标为．∵为正方形，∴点的坐标为，点的坐标为，同理，可知：点的坐标为，点的坐标为，…，∴的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，∴点的纵坐标为（是正整数），故答案为：．【点睛】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．同时考查了正方形的性质和一次函数的图象上的点．熟练掌握相关知识点，抽象概括出点的坐标规律，是解题的关键．4．（2021秋·江西抚州·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1）(1)①直接写出点A，B的坐标：A，B．②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式；(2)根据操作规律，可知点的坐标为．可得直线的函数关系式为．(3)求的面积．【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3(2)，(3)【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标；②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式；（2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式；（3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可．【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B，∴，故答案为：(-1，0)，(0，1)；②∵A(-1，0)，B(0，1)，∴点A关于y轴的对称点是(1，0)．当x=1时，y=2，∴B(1，2)．点A关于直线的对称点是(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，∴，解得，∴直线的函数关系式是y=-x+3；（2）∵A(﹣1，0)，(3，0)．由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得，∴(7，0)．由(1，0)，(3，0)，(7，0)，可得点的坐标为(，0)，直线的函数关系式为．故答案为：；（3）∵，∴，∴的面积．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质．【重难点训练】1．（2023春·河南周口·八年级校考期中）若一次函数的图象经过点，则该一次函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据一次函数的图象经过点即与轴交于负半轴，再由可得图象经过二四象限即可得出答案．【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴图象与轴交于负半轴，故选项A、C错误，不符合题意，∴该一次函数的，故图象经过二四象限，故选项B错误．∵D图象经过二四象限，与轴交于负半轴．故D正确．故选D．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．掌握k，b的大小与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键．2．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）一次函数的图象经过点，点，那么该函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】描点、连线，画出直线，观察图象，即可得出该函数的图象不经过第二象限．【详解】解：描点、连线，画出直线，如图所示．

观察函数图象可知：该函数的图象不经过第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象，利用两点法画出一次函数的图象是解题的关键．3．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】A【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可．【详解】解：把点代入得，整理得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．4．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于那条直线上的部分，在从范围内找到最低点，求值即可．【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m，由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示，∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值．联立两直线解析式：，解得，代入或解析式求得．故选：C．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种．5．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①关于的方程的解为；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是(

)

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】根据一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴交点问题即可判断①②③④，逐项分析、判断即可求解．【详解】解：①由一次函数的图象与轴点()知，当时，，即方程的解为，故此项正确；②由一次函数的图象与轴点，当时，，即方程的解为，故此项正确；③由图象可知，的点都位于轴的下方，即当时，，故此项正确；④由图象可知，位于第二象限的直线上的点的纵坐标都大于，即当时，，故此项错误，所以正确的是①②③，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与不等式的关系，解答的关键是会利用数形结合思想解决问题．6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知，y是x的一次函数，则．【答案】【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【详解】解：因为是x的一次函数，可得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键．7．（2023春·山东青岛·八年级校考开学考试）请写出一个符合下列要求的m的值：（1）当时，一次函数的值随x值的增大而减小；（2）当时，一次函数的图象与的图象平行；（3）当时，一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴．【答案】（答案不唯一，即可）（答案不唯一，即可）【分析】（1）根据一次函数性质时，y的值随x值的增大而减小即可，写出符合的m的值即可；（2）根据两直线平行k值相等即可得到答案；（3）根据一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴，判断，写出符合的m的值即可．【详解】（1）由一次函数的值随x值的增大而减小，得，∴m可取，故答案为：（答案不唯一，即可）；（2）由两直线平行k值相等，得，故答案为：；（3）由一次函数的图象与x轴的交点位于正半轴，一次函数经过，得y的值随x值的增大而增大，∴，∴m可取，故答案为：（答案不唯一，即可）．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）已知关于的两个一次函数，其中，均为非零常数．（1）若两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点，则；（2）若对于任意实数，都成立，则的取值范围是．【答案】5且【分析】根据两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点，得到当时，函数值，，解方程即可得到结论；根据对于任意实数，都成立，推出与平行，且在的上面，解不等式即可得到结论．【详解】解：两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点，当时，函数值，，，；故答案为：；对于任意实数，都成立，与平行，且在的上面，，，，解得，的取值范围是且．故答案为：且．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交与平行问题，正确地列出不等式是解题的关键．9．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间（不包括边界），则的取值范围是．

【答案】【分析】首先计算出当点在直线上时的值，再计算出当点在直线上时的值，即可得答案．