第1章全等三角形重难点检测卷(原卷版+解析)

第1章全等三角形重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）根据下列条件不能画出唯一的是（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏·八年级假期作业）下列各组图形中，一定全等的是（）A．各有一个角是的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．各有一个角是，腰长的两个等腰三角形D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长就是的长．判定的理由是（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，点是的边的中点，过点作，连接并延长，交于点，若，，则的长为（

）A．2 B．2.5 C．3 D．4.55．（2022秋·江苏南京·八年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）如图，ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，BCD的面积为10，ACD的面积为6，则ABC的面积是（

）A．20 B．18 C．16 D．156．（2022秋·八年级单元测试）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°7．（2022秋·八年级单元测试）如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（

）s．A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或8．（2022秋·八年级单元测试）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2 B．3 C．4 D．59．（2023春·四川达州·八年级四川省万源中学校考阶段练习）如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为(

)A． B．4 C．3 D．510．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）在中，已知，，点是边延长线上一点，如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交直线于点，若，则（

）A． B． C． D．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知，，则的度数为___________．12．（2023春·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）如图，在中，和是两条高线，相交于点，若，，，则______．

13．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有______个．

14．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，要测量河岸相对两点、间的距离，先从点出发与成角方向，向前走米到点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到点处，在点处转沿方向走米，到达处，使、与在同一直线上，那么测得、之间的距离为__________米

15．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点D，若，，则______．

16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，为内一点，，连接，过点作于点，延长交于点F，，若，则线段的长是___________．17．（2022秋·安徽·八年级统考期末）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则：（1）的度数是______．（2）若，，则的长是______．18．（2023春·全国·八年级专题练习）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是______．三、解答题（10小题，共64分）19．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知：如右图，．求证：．

20．（2023春·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．

(1)试说明：；(2)若，，求的度数．21．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知．

(1)若，，求的度数；(2)若，，求的长．22．（2021秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，与交于点，①；②；③，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个正确命题．

(1)正确的命题是：____________________（格式：由××，得×；上述×用前面数字代号①②③表示）．(2)从你写出的正确命题中选一个加以证明．23．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点分别在小正方形的顶点上．

(1)的面积为______．(2)请你试着在图中格子的顶点上找出一个点D（点D不与点A重合），使得与全等，这样的点D有几个？请分别画出相应的．24．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）（1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数；（2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．

25．（2023春·广东揭阳·七年级校联考阶段练习）已知材料1：三个内角相等的三角形为等边三角形．材料2：在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边．结合上述材料，解决下面的问题如图，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．

(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与的大小关系是__________；的度数是__________．(2)当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由．26．（2023春·全国·七年级期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．27．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是______．(2)求得的取值范围是______．(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．28．（2022秋·福建莆田·八年级校考期中）如图，，且，，且(1)如图1，连接、，求证：；(2)如图2，求证：(3)如图3，经过A点与交于G点，且于F点．求证：G为的中点．

第1章全等三角形重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（2023春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）根据下列条件不能画出唯一的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据全等三角形的判定条件进行逐一判断即可．【详解】解：A、，可以利用画出唯一的三角形，不符合题意；B、，不可以利用画出唯一的三角形，符合题意；C、，可以利用画出唯一的三角形，不符合题意；D、，可以利用画出唯一的三角形，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2023·江苏·八年级假期作业）下列各组图形中，一定全等的是（）A．各有一个角是的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．各有一个角是，腰长的两个等腰三角形D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A、两个等腰三角形的不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知可以判断两个三角形的全等的有：“”是解本题的关键．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长就是的长．判定的理由是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定．【详解】解：，,,又，,（）故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，点是的边的中点，过点作，连接并延长，交于点，若，，则的长为（

）A．2 B．2.5 C．3 D．4.5【答案】C【分析】根据平行线性质得出，，求出，再根据证，得，即可得出结论．【详解】证明：∵，∴，，∵点为的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2022秋·江苏南京·八年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）如图，ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，BCD的面积为10，ACD的面积为6，则ABC的面积是（

）A．20 B．18 C．16 D．15【答案】A【分析】分别延长BC、AD交于点E，证明△BDA≌△BDE，根据全等三角形的性质得到AD=DE，根据三角形的面积公式得到S△EDC=S△ADC=6，计算即可．【详解】解：延长AD、BC相交于E，如图所示：∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，在△ABD和△EBD中，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB＝90°，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴AD＝ED，∴S△ABD＝S△EBD，S△CDE＝S△ACD＝6，∵S△BCD＝10，∴S△ABD＝S△EBD＝S△BCD+S△CDE＝10+6＝16，∴S△ABC＝S△ABE－S△ACE＝16×2－6×2＝20，故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．（2022秋·八年级单元测试）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE＋∠FEC的度数，进而得到∠DEB＋∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°−50°）÷2＝65°，∴∠CFE＋∠FEC＝180°−65°＝115°，∴∠DEB＋∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°−115°＝65°，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．7．（2022秋·八年级单元测试）如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（

）s．A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或【答案】C【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．【详解】解：当点在上，点在上时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，当点在上，点第一次从点返回时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，综上所述：的值为1或．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．8．（2022秋·八年级单元测试）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质依次判断可求解．【详解】∵AD⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥AD，∴∠FAD＝90°＝∠BAC，∴∠FAE＝∠BAD，故①正确；在△ABD和△AEF中，，∴△ABD≌△AEF（SAS），∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°，故②正确；∵AF＝AD，∠DAF＝90°，∴∠AFD＝45°＝∠EFD，∴FD平分∠AFE，故③正确；∵△ABD≌△AEF，∴S△ABD＝S△AEF，∴S四边形ABDE＝S四边形ADEF，故④正确；如图，过点E作EN⊥EF，交DF于N，∴∠FEN＝90°，∴∠EFN＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，在△BGD和△EGN中，，∴△BDG≌△ENG（AAS），∴BG＝GE，故⑤正确，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．（2023春·四川达州·八年级四川省万源中学校考阶段练习）如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为(

)A． B．4 C．3 D．5【答案】C【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．【详解】此题需要分类讨论．①若，则，所以所以此种情况不符合题意；②若，则，所以．所以此种情况符合题意．综上所述：故选C．【点睛】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．10．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）在中，已知，，点是边延长线上一点，如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交直线于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点F作FD⊥AG，交AG的延长线于点D,设BC=5x，利用AAS证出△FAD≌△AEB，从而用x表示出AD，BD，然后利用AAS证出△FDG≌△CBG，即可用x表示出BG,AG从而求出结论．【详解】解：过点F作FD⊥AG，交AG的延长线于点D∵设BC=5x，则CE=3x∴BE=BC＋CE=8x∵，，∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°∴∠FAD=∠E在△FAD和△AEB中∴△FAD≌△AEB∴AD=EB=8x，FD=AB∴BD=AD－AB=3x，FD=CB在△FDG和△CBG中∴△FDG≌△CBG∴DG=BG=BD=∴AG=AB＋BG=∴故选D．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知，，则的度数为___________．【答案】/度【分析】先根据三角形内角和定理求出，再由全等三角形的性质即可得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．12．（2023春·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）如图，在中，和是两条高线，相交于点，若，，，则______．

【答案】3【分析】证明，得出，，根据求出结果即可．【详解】解：∵和是两条高线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．13．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有______个．

【答案】6/六【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可．【详解】解：如图所示，以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等；以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等；所以共有6个三角形和原三角形全等，故答案为：6．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．14．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，要测量河岸相对两点、间的距离，先从点出发与成角方向，向前走米到点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到点处，在点处转沿方向走米，到达处，使、与在同一直线上，那么测得、之间的距离为__________米

【答案】17【分析】根据已知条件证得，再利用全等三角形对应边相等的性质即可求得．【详解】解：先从处出发与成角方向，，，，，，．，，．沿方向再走米，到达处，即，米．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形对应边相等的性质，是解答本题的关键．15．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点D，若，，则______．

【答案】78【分析】在上取，连接，，首先利用证明，得，，再证明，可得，最后利用三角形内角和定理可以解决问题．【详解】解：在上取，连接，，

平分，，又，，，，，，，、的平分线相交于点，平分，．，，，，，,故答案为：78．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质及三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，为内一点，，连接，过点作于点，延长交于点F，，若，则线段的长是___________．【答案】【分析】作于点，证明，进而证明，得出，根据已知条件设，则，根据建立方程，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，作于点，∴在中，∴∴，在中，，∴∴，∵，∴设，则∴，∵即解得：，∴故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，与三角形高相关的计算，正确的添加辅助线是解题的关键．17．（2022秋·安徽·八年级统考期末）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则：（1）的度数是______．（2）若，，则的长是______．【答案】/60度9【分析】（1）利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可利用平角的定义求出的度数；（2）利用证明，得到，同理，利用线段和差关系得到即可得到答案．【详解】解：（1）∵在中，，∴，∵的平分线与的平分线相交于点O，∴，∴，∴，故答案为：；（2）∵平分，∴，又∵，∴，∴，同理，∵，，∴，即，∴，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，线段的和差，灵活运用所学知识是解题的关键．18．（2023春·全国·八年级专题练习）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是______．【答案】【分析】先连接、、，找到全等三角形，进而得到，理清边与边的大小变化规律，然后总结出变化规律式子即可得解．【详解】解：如图1，连接、、．∵六边形是正六边形，∴，，，，∴，∵，∴，在和中，∵，∴（HL），∴∴∴，∵G、I分别为、中点，∴，∴，∵六边形是正六边形，是等边三角形，∴，∴，同理，即，∵等边三角形的边长是a，∴第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的，如图2，过F作于Z，过E作于N，则，∵，∴四边形是平行四边形，∴∵，（已证），∴，∴，同理，∴，即第二个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是；同理第三个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是；同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是；第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是；…第n个正六边形的边长是，∴第七个正六边形的边长是．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是图形变化规律以及结合全等三角形，等边三角形的知识内容，关键在于通过证明全等三角形的基础上去研究边的变化规律．三、解答题（10小题，共64分）19．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知：如右图，．求证：．

【答案】见解析【分析】由，得，再利用即可证得结论．【详解】证明：∵，∴，在与中：，∴．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．20．（2023春·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．

(1)试说明：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）根据，可得，再利用证得；（2）根据三角形外角的性质可得，再由，可得，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．21．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知．

(1)若，，求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【详解】（1）解：，，，；（2）解：，，，即，，，．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．22．（2021秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，与交于点，①；②；③，请以①②③中的两个作为条件，另一个为结论，写出一个正确命题．

(1)正确的命题是：____________________（格式：由××，得×；上述×用前面数字代号①②③表示）．(2)从你写出的正确命题中选一个加以证明．【答案】(1)由①③，得②；或由②③，得①(2)见解析．【分析】分两种情形，利用全等三角形的判定和性质分别证明即可．【详解】（1）解：正确的命题是：由①③，得②；或由②③，得①；（2）证明：由①③，得②，若，，连接，

在和中，，，；或由②③，得①，若，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查命题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．23．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点分别在小正方形的顶点上．

(1)的面积为______．(2)请你试着在图中格子的顶点上找出一个点D（点D不与点A重合），使得与全等，这样的点D有几个？请分别画出相应的．【答案】(1)的面积为(2)这样的点D有3个，图见解析【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可；（2）根据三角形的全等的判定作出以为公共边，另两边分别相等的三角形即可．【详解】（1）如图，的面积为，故答案为：1.5；（2）如图所示，这样的点D有3个．

【点睛】本题考查了作图-应用设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．24．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）（1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数；（2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）延长至点G，是使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而推出，即可求出的度数；（2）延长至点H，使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数．【详解】（1）解：如图，延长至点G，是使得，连接，

四边形，与互补，，，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，；（2）解：如图，延长至点H，使得，连接，

与互补，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．25．（2023春·广东揭阳·七年级校联考阶段练习）已知材料1：三个内角相等的三角形为等边三角形．材料2：在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边．结合上述材料，解决下面的问题如图，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．

(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与的大小关系是__________；的度数是__________．(2)当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，，或，【分析】（1）由题意知，，，则，，，证明，则，，根据，计算求解即可；（2）由题意知，，，与全等，分①当，②当，两种情况求解：①当时，则，，则，解得：，由，可知，则；②当时，则，，则，解得：，由，可得，解得．【详解】（1）解：由题意知，，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，故答案为：，；（2）解：由题意知，，，与全等，分①当，②当，两种情况求解：①当时，则，，∴，解得：，∵，∴，∴；②当时，则，，∴，解得：，∵，∴，解得；综上所述，当，或，时，存在与全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．26．（2023春·全国·七年级期末）