浙江省温州市环大罗山联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 含解析

2024学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再求交集即得.【详解】由可得，即，则.故选：D.2.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合选项依次判断即可.【详解】A：令，定义域为R，，则，所以为非奇非偶函数，在R上单调递减，故A不符合题意；B：令，定义域为R，，则，所以为非奇非偶函数，在R上单调递增，故B不符合题意；C：令，定义域为R，，所以为偶函数，在上单调递增，故C符合题意；D：令，定义域为R，，所以为偶函数，当时，，则在上单调递减，故D不符合题意.故选：C3.命题“，使得”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断.【详解】命题“，使得”的否定为“，”故选：D.4.若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，可得答案.【详解】由函数在上单调递减，且，则；由函数在上单调递增，且，则，由，则.故选：A.5.为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（）A.0.036 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，列出等式，再结合指数函数的公式，即可求解．【详解】设2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低为，则2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，故，解得．故选：C．6.设，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论、计算即可.【详解】当时，则，由，得，整理得，解得或0（舍去）；当时，则，由，得，无解.综上，.故选：B7.甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员甲说：“冠军是李亮或张正”乙说：“冠军是林帅或张正”丙说：“林帅和李亮都不是冠军”丁说：“陈奇是冠军”．结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（）A.林帅 B.李亮 C.陈奇 D.张正【答案】C【解析】【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可.【详解】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误；对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误；对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确；对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误.故选：C8.我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意设对称中心为，令，化简得，利用，计算化简得对于定义域内的任意恒成立，联立方程组，计算即得.【详解】设函数图象的对称中心为，则函数是奇函数，则，即：，化简得：对于定义域内任意恒成立，则，解得，即对称中心为.故选：B.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件的应用，属于难题.对于求解函数图象的对称中心时，一般先设对称中心，构造函数，利用求得的值即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则．B.若，则．C.“，”是“”成立的充分不必要条件．D.“”是“”的必要不充分条件．【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的概念依次判断即可.【详解】A：由，得，故A正确；B：由，令，则不满足，故B错误；C：若，则，所以充分性成立；若，令，不满足，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；D：若，若，则不成立，所以充分性不成立；若，则，所以必要性成立，所以“”是“”是必要不充分条件，故D正确.故选：ACD10.已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（）A.xy最大值为2 B.的最小值为4C.的最小值为 D.的最大值为1【答案】BC【解析】【分析】对于A、B，利用基本不等式，结合题目中的等式与一元二次不等式，可得答案；对于C、D，整理等式，可得所求代数式的函数解析式，利用基本不等式与不等式性质，可得答案.【详解】对于A，由，则，由，则，解得，，可得，，解得或，综上可得，当且仅当，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，由，则，由，则，解得，，可得，，解得或，综上可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故B正确；对于C，由，则，由，则，解得，由题意可得，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，由A可知，当且仅当时，等号成立，且，，由，则，所以的最小值为，故D错误.故选：BC.11.设，，，，记为平行四边形内部（不包含边界）的“格点”的个数（格点是指横坐标和纵坐标都是整数的点），则函数可能的值为（）A. B.C.10 D.【答案】ABD【解析】【分析】对的取值进行分类讨论即可.【详解】对，设平行四边形内部位于直线上的格点数目为，则.而就是开区间上的整数个数，所以当是整数时，；当不是整数时，.这就得到，所以由可得.由于，故如果中有两个是整数，则剩余的第三个一定是整数，所以.这就得到.由，，可知，的全部可能值为.故选：ABD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，，则________.【答案】【解析】【分析】利用指数幂的运算法则可计算得出所求代数式的值.【详解】，，则.故答案为：.【点睛】本题考查指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题.13.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为__________．【答案】【解析】【分析】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式，结合基本不等式可求得的最小值.【详解】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，所以，矩形广告的总面积为，当且仅当时，即当时，取最小值.故答案为：.14.若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】首先由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图像，然后考虑直线与函数的图像相切，以及直线过点0,3，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】关于的不等式在上有解，即关于的不等式在上有解，作出两函数与的图像，如下图：当与相切时，则，即，由，解得：；当过点0,3时，得.由图可知，，因此实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知集合，．（1）若，，求；（2）若，，求正数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由题意可得，结合补集的概念与运算即可求解；（2）根据指数不等式和一元一次不等式的运算可得，，结合集合之间的包含关系即可求解.【小问1详解】由题意得，而，故，得，；【小问2详解】由，得，即，即，而，由得，即，而，故，且，得，即a的取值范围为．16.已知二次函数．（1）若，解集为，求；（2），方程的两根为，求的最小值．【答案】（1），．（2）3【解析】【分析】（1）利用“三个二次”的关系和韦达定理即可求得的值；（2）由韦达定理推得，将条件变形后代入，利用基本不等式即可求得的最小值.【小问1详解】当时，依题可知的解是或，由韦达定理可知，，解得，；【小问2详解】由和韦达定理可得，，且，则（*），由，可知，且，由（*）式可得：．当且仅当时等号成立，即时，的最小值为3．17.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数在内的单调性，并证明你的结论；（3）若，使成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）函数是减函数，证明见解析（3）．【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性定义列出方程，根据等式恒成立即可求得b的值；（2）先将函数拆成，利用复合函数的单调性判断其单调性，再运用定义法证明即可；（3）利用函数的奇偶性和单调性将题设不等式化成在上的能成立问题，即求函数在上的最大值即得.【小问1详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以恒成立，即，整理得恒成立，所以；【小问2详解】由（1）可知，函数，因为为增函数，且，所以在上为减函数.证明如下：，，，，因为，则，，所以，故函数是减函数．【小问3详解】由函数为奇函数，可得，由（2）知函数是上的减函数，则有，即，因为，因为，有最大值9，所以，即的取值范围为．18.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按"高斯函数"进行计费的；“11.11”期间，某购物网站进行下面二项优惠促销活动：第一项：一次性购买商品，每满120元立减10元；第二项：在享受了第一项优惠以后，购买的商品总价每满800元再减80元．例如，一次购买商品1620元，则实际支付额元；（1）小丽计划在网站购买两件价格分别是500元和1300元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）某商品是小丽常用必需品，其价格为60元/件，小丽预算不超过1000元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）购买15件或16件时，该生活日用品平均价格最低，最低平均价格为50元/件．【解析】【分析】（1）根据题意，分别求一次支付与两次支付的实际支付金额，比较可得答案；（2）由题意建立函数解析式，将自变量的所有取值代入，可得答案.【小问1详解】分两次支付：支付额为元；一次支付：支付额为元；所以一次支付好．【小问2详解】设购买件，平均价格为元/件．由于预算不超过1000元，若买20件，需要付额，若买19件，需要付额，所以最多买19件；当，时，；若、3、5，7、9、11、13时，，若、4、6、8、10、12、14时，；所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为55元/件．当时，能享受每满800元减80元的优惠，，代入，可知时，有最小值50元；、19代入，可知时，有最小值50元．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为50元/件．19.对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合．（1）试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由（2）若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值．（3）已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值．【答案】（1）有，，；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用集合的“对称性”定义判断集合的对称性，有对称性的，可求得对称集合；（2）先根据集合的“对称性”