浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 含解析

2024学年第一学期杭州北斗联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以.故选：A2.命题“”的否定形式是（）（其中为常数）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定形式即可得到答案.【详解】命题“”的否定形式是“”.故选：D.3.设,则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.4.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（）A.、3、 B.、3、 C.、、3 D.、、3【答案】D【解析】【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值.【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点则，又则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，点C在幂函数图像上，则曲线对应的指数分别为故选：D5.已知，，则a、b、c的大小关系为（）A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，又函数在上单调递增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小关系为．故选：C6.已知，则的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，还原，反解，回代，即可求得，再求.【详解】令，反解得：回代得：，即：，故：.故选：B.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，但要注意换元的等价性.7.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（）元A.1200 B.1040 C.490 D.400【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据，分别计算12000中的每部分的纳税额，再求八月份应缴纳的个税.【详解】元，其中有3000元应纳税3%，元应纳税10%，所以一共纳税元.故选：C【点睛】本题考查分段函数的应用，重点考查读懂题意，属于基础题型.8.已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（）A恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断【答案】B【解析】【分析】根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.【详解】由题可知：函数是幂函数则或又对任意的且，满足所以函数为(0,+∞)的增函数，故所以，又，所以为单调递增的奇函数由，则，所以则故选：B【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如，属中档题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.9.下列各组函数中，表示同一函数的是A.，B.，C.，D.，【答案】BC【解析】【详解】试题分析：A中定义域不同；B、C中定义域，对应关系都相同；D项对应关系不同考点：两函数是否为同一函数判定10.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，且，则 D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解.【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B:，∴a选项C:，，所以本命题是真命题；选项D:若时，显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC．11.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.奇函数C.在R上单调递减 D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.【详解】A选项，中，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，由A知，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选：ABD非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.12.若，则__________．【答案】9【解析】【分析】根据解析式直接计算即可.【详解】因为，所以.故答案为：.13.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为______.【答案】16【解析】【详解】根据指数型函数定点问题，求，再结合基本不等式求最值.因为且过定点，则k=1，，若且，则

，当且仅当

且，即，

时取等号．所以的最小值为16.故答案为：1614.研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么__________．【答案】【解析】【分析】构造奇函数，根据其为奇函数，即可求得值.【详解】根据题意函数的图象对称中心为，设，则为奇函数，则，所以，得，即，即，则有，所以.故答案为：四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）3；（2）6【解析】【分析】（1）利用指数运算性质化简求值即可；（2）结合指数运算性质，利用完全平方和公式求解即可.【详解】（1）原式.（2）由，而，则，故.16.已知集合，.（1）若，求；（2）设；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合，再与集合进行交集运算即可求解；（2）由题意可得是的真子集，由可得：，讨论和的大小关系，解得集合，列不等式解之即可求解.【详解】（1）当时因为，所以.（2）；，若是的充分不必要条件，则是的真子集，由可得：方程的两根为和，当时，，此时不符合题意；当时，，此时不符合题意；当时，，若是的真子集，则解得：所以实数的取值范围为.17.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求在上的解析式；（2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论.【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，得，再设，则，代入即可求解；（2）根据条件，利用函数单调性的定义进行判断、证明，即可求解.【小问1详解】因为是定义在的奇函数，所以，当时，，所以当时，则，则，则，所以【小问2详解】在上单调递减，证明如下：设，则，因为，所以，则，即，即函数在上单调递减.18.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，所以，公司生产防护服的利润；（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；因为，令，因为，所以，记，任取，则因为，，所以，即，所以，即，所以函数在上单调递增；因此，即的最大值为；所以只需，即.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.19.已知函数，．（1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围；（2）若对任意，存在，使得，求m的取值范围；（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围；（2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围；（3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求