2024-2025学年高一【数学(人教A版)】同角三角函数的基本关系-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题同角三角函数的基本关系教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：借助单位圆掌握公式一，以及同角三角函数间的关系，初步体会三角函数的周期性；加深三角函数概念的认识，体会三角函数的基本性质，以及内在联系；在同角三角函数关系的应用中，发展数学运算，数学推理的素养.教学重点：发现、理解同角三角函数的基本关系并简单应用.教学难点：对三角函数的基本性质间的内在联系的把握教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟一、温故旧知上节课我们学习了一种新的函数——三角函数，并对它的一些性质进行研究，请同学们回忆：问题1:（1）是如何定义三角函数的呢？定义（2）根据定义以及点P所在象限可以判断函数值的符号规律，比如点P在第二象限时，三个三角函数值的符号是什么？师生活动：教师引导学生回顾上节课的内容.设计意图：为本节课问题的提出和解决做出铺垫.5分钟3分钟二、公式一的探究探究一：终边相同角的同一三角函数值之间关系问题2：你能发现“终边相同的角的同一三角函数值是相等”这个规律吗？你能用符号语言去表示“终边相同的角的同一三角函数值是相等”吗？称这组公式为公式一从这组公式可知,三角函数值有“周而复始”的变化规律，说明角每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，这也是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”特征的反映.师生活动：引导学生发现“终边相同的角的同一三角函数值是相等”，并把它符号化得到公式一，讨论公式一体现三角函数的性质以及它的作用设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系,发现公式一及其所体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”特征的反映.在此过程中，可以培养学生用联系的观点看问题.三、学以致用例1：求下列三角函数值：分析：(1)我们可以利用三角函数的定义，在单位圆中,画出角确定终边的位置,求与单位圆交点坐标来求解,但是角不太好快速画出，现在我们学习了公式一，能不能找到与终边相同的角，且这个角是在0~2，，说明与的终边相同，由公式一可知，它们的三角函数值相等.(2)找到与终边相同的角，且这个角是在0~2，，说明与的终边相同，由公式一，则它们的三角函数值相等.（3）是负角，找到与终边相同的角，且这个角是在0~2，说明与的终边相同，由公式一，则它们的三角函数值相等.解：追问：通过这三个小题的解答，你认为公式一有什么作用？利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2角的三角函数值，由公式一体现的这种周期性，使得以后我们想研究在整个定义域中三角函数的性质，只要讨论清楚三角函数在上的性质即可.师生活动：学生思考回答，教师引导学生总结公式一的作用.设计意图：利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2角的三角函数值，同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在上的性质，那么三角函数在整个定义域中的性质就清楚了.在此过程中，可以培养学生逻辑推理、数学运算素养.7分钟四、同角三角函数基本关系的探究探究二：同角的不同三角函数值之间关系1.提出问题问题3.1：公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢？分析：（1）首先通过定义，我们知道三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系.（2）再者终边相同的角有无数多个，不方便研究，怎么办呢？可以利用公式一，把这些终边相同角的三角函数值转化为同一个角的三角函数值，这时就可以将这个问题进一步转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.师生活动：引导学生讨论，利用公式一，先把问题“终边相同的角的不同三角函数值之间的关系”转化为“同一个角的三角函数值之间的关系”，然后让学生自主探究，得出同角三角函数的基本关系设计意图：提出问题的关键在于终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力.2.发现并证明结论问题3.2：给一个角,在单位圆中你能找到与点P坐标对应的线段吗？从而建立x与y关系吗？过P作x轴的垂线，交x轴于M,|x|=OM,|y|=PM,这时会发现∆OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，由定义可得追问：你能证明这个结论吗？当角为象限角时，过P作x轴的垂线，交x轴于M，因为∆OMP是直角三角形，而且OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2=1,因此，x2+y2=1，即当角的终边与坐标轴重合时,例如:角的终边与y轴的非正半轴重合时，OM=0,MP=1仍然有OM2+MP2=1,其它同理，公式仍成立.综上，角为任意角时，都有.问题3.3我们发现了同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，大家想想，同一个角的三角函数值还有什么关系？同一个角的正切值与正弦值、余弦值之间会不会有某种关系？由定义可知：追问1：角为任意角时，公式都成立吗？要使公式成立，首先要使等式两边都有意义，等号左边：正切函数的定义域是等号右边：作为分母不等于0，即x≠0，所以，角的终边不与y轴重合，即所以在这个公式中追问2：我们用和单位圆相关的勾股定理说明了，你能在单位圆中构造图形解释这个公式吗？把这个公式写成分式的形式，你能在单位圆中找到对应的线段吗？,过点B作OB的垂线，交OP于点C,因为,所以,因为OB=1，师生活动：学生思考、独立完成作图，说理，讨论角适用的范围，教师适时引导.设计意图：通过对公式的探究，感受与单位圆相关的勾股定理与同角三角函数基本关系的一致性，培养学生运用数形结合的思想解决问题的能力，提高学生思维的严谨性，发展学生逻辑推理的素养.3分钟五、公式理解与认识同角三角函数基本关系的理解与认识1.我们来一起分析两个公式的结构特点：（1）：第一个公式从左向右看,与的和为1;也可以从右向左看,1也可以用替换..是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的平方的正弦,表达不同的式子.（2）：同一个角正弦与余弦的商等于这个角的正切.第二个公式从左往右看，是把角的正弦余弦化为这个角正切，从右往左看，是把角的正切化为这个角的正弦余弦的比，所以看到角的正切就应该马上想到这个角的正弦与余弦的关系；同样，看到正弦余弦商的关系就应该想到了这个角的正切.2同角的理解这个“同角”应该怎么理解？（1）关系式中的角要相同，而且与角的形式无关.比如：这里的“同角”是15°这里的“同角”是这里的“同角”是（2）只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式都成立.就像第二个公式中，为了使余弦值存在，x≠0，角的终边不在轴上，也就是要所以在这个公式中除了，其它角都可以.3.公式等价变形：当然，公式还可以写成一些其它的形式供我们在解题中使用第一个公式可变为,,把公式进行开方运算的时候，，这里正负号不是两个全都要，要受角所在象限的限制，二者取其一.举例第二个公式可变为,也可以进行乘法运算.这两个公式等价吗？师生活动：教师引导学生进一步理解公式设计意图：分析结构特征，体会数学中变与不变，无限与有限的辩证联系，感受数学公式的结构美.通过感念辨析，强化学生对同角三角函数基本关系式结构的认知，给出从数到字母再到式子的变化，加深学生对同角的认识.5分钟六、学以致用例2：已知,为第三象限角，求，的值.思考1：条件“α是第三象限角”有什么作用？解：由，得因为为第三象限角，那么，从而这里不能表述为，因为受为第三象限角的限制，余弦值只能取负值.思考２：若是把题目中的“角是第三象限的角”这个条件舍去，该如何解答？解：因为，所以是第三象限或第四象限角，如果为第三象限角，那么，如果为第四象限角，那么，小结本题：如果已知某个三角函数值，且角所在象限是确定的，那么可以通过同角三角函数关系式，求出其它三角函数，而且只有一种结果.如果只给了某个三角函数值，那么要按角所在象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果.所以在求值中，确定角的终边位置是解题关键.师生活动：学生独立思考，师生共同分析解题思路，教师给出解答示范．设计意图：例1把角的象限给出，直接应用公式解题，降低难度，变式中去掉角范围，提升对角所在象限判断的重要性.例3：已知，求，的值.有学生的做法是：因为，所以，则请问这样做可以吗？为什么？分析:不对的，首先因为为第二或第四象限角，所以不能仅取解:因为为第二或第四象限角，如果为第二象限角，同理，如果为第四象限角，，补充说明：在第二象限中，其实是可以用为代表计算正弦值和余弦值，因为虽然在第二象限中正切值等于的角有无数多个，但是都是与终边相同的角，那公式一可以保证它们的三角函数值是相同的，所以可以由作为代表计算，在第四象限中，就不能用代替计算，因为它们三角函数值的符号不同.变：，求，的值.解：解得因为，为第二或第四象限角如果为第二象限角，那么如果为第四象限角，那么师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．设计意图：以同角三角函数的基本关系为基础，以方程为核心思想，旨在帮助学生从方程的角度理解同角基础关系，明确“知一求二”的基本方法，进而以方程渗透消元思想.练习：教科书第184页练习1、2、3师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．2分钟七、归纳总结、布置作业这节课我们学习了公式一以及同角三角函数基本关系式1.公式一体现了三角函数周而复始的变化规律，同角基本关系式反映了各种三角函数间的内在联系.2.