2024-2025学年高一【数学(人教A版)】幂函数-教学设计

教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题幂函数教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.通过具体实例，了解幂函数的定义，会画五个幂函数的图象，能归纳出它们的性质；2.通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容和方法;3.通过幂函数性质的证明，提升代数推理的能力，培养数学运算和数学推理的素养.教学重点：幂函数的概念及五个幂函数的图象与性质.教学难点：概括五个幂函数的共性，以及幂函数性质的证明.教学过程时间教学环节主要师生活动引入前面我们学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.5分钟（一）幂函数概念的抽象问题1：我们知道函数可以来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子：(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数；（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积，这里V是b的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数；注意：可以表示为，这个转化会在后面学习.（5）如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度，这里v是t的函数.观察这五个函数的解析式，从解析式的结构特征看，它们有什么共性？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必要的补充.最后指明：(1)这几个函数解析式都具有幂的形式；(2)幂的底数是自变量，指数是常数.教师给出幂函数概念.幂函数概念：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.追问：能否根据幂函数的概念举出一些幂函数的例子呢？如：，，等.注意：幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也有各自的含义，这些会在后面学习.对于幂函数，我们只研究1，2，3，，1时的图象与性质.师生活动：教师提出问题，学生思考后回答.教师根据学生的回答，对学生举出的具体幂函数的解析式进行评价纠错.设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出幂函数；通过追问引导学生抓住幂函数的形式特点.15分钟（二）幂函数的图象与性质问题2：结合初中学习一次函数、二次函数及反比例函数的经验及前面学习的函数知识，思考研究一类函数的一般路径是什么？师生活动：学生回答.教师在学生回答基础上进行补充，最后指出我们首先通过对实例的抽象得到某类函数概念，然后根据函数的解析式求出函数的定义域，画出函数图象，画图的时候，可以借助初中学习的描点法画图，同时可以借助函数性质来帮助我们简化画图的过程.然后利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等性质,并解决相关的应用问题.设计意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数的路径.问题3：关于这五个幂函数，，，是我们熟悉的，在同一个坐标系中画出它们的图象并总结它们的性质.定义域：R，值域：R，奇偶性：奇函数，单调性：在R上单调递增.定义域：R，值域：，奇偶性：偶函数，单调性：在上单调递减,在上单调递增.定义域：，值域：，奇偶性：奇函数，单调性：在上单调递减,在上单调递减.问题4：如何画出和的图象？追问：观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？分析：的定义域是，的定义域分别是，是奇函数.定义域不关于原点对称，因此，既不是奇函数又不是偶函数.师生活动：学生回答.最后使学生认识到：通过解析式，可以得到和的定义域，并可以知道是奇函数，既不是奇函数又不是偶函数；而且通过解析式得到函数的性质后，可以简化作图的过程.学生进行作图，在一个坐标系中画出五个幂函数的图象，教师利用信息技术进行画图并演示.设计意图：引导学生体会研究一类函数的方法.其中，让学生先观察函数和解析式的特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好的反映函数的特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点.问题5：观察函数和的图象结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.定义域值域奇偶性单调性师生活动：学生回答，通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质，并将这些性质填入表格中.问题6：观察函数图象结合表格，总结它们具有哪些共同性质？有哪些不同的性质？同学们可以从以下角度观察（1）图象分布的区域，公共点；（2）函数的对称性；（3）函数的变化趋势.（1）函数，，，和的图象都通过点（1，-1）；（2）函数，，是奇函数，函数是偶函数；（3）在区间上，函数，，，单调递增，函数单调递减；（4）在第一象限内，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.设计意图：引导学生观察函数的图象，得出五个函数各自性质的基础上，归纳共性和差异性，得出幂函数的一些基本性质.问题7：前面我们从形的角度观察得到了幂函数的单调性，你能从代数的角度证明幂函数是增函数吗？证明：函数的定义域是.，且，有（注：由于没有理论支撑判断与的大小，所以我们采用分子有理化的方法对式子进行变形，分子分母同时乘以.）.因为，,所以，即幂函数是增函数.师生活动：教师提出问题，学生独立完成.教师对学生的证明过程进行评价纠错.设计意图：引导学生对观察得到的性质进行理性思考，利用解析式对结论进行严格证明，提高学生思维的严谨性.同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用.2分钟