2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数的最大(小)值-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数的最大（小）值教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.理解函数的最大（小）值的概念，会求一些函数的最大（小）值;2.借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，体会从特殊到一般的方法，提升对数形结合方法的认识；3.在最大（小）值概念形成过程中，提升数学抽象和直观想象的数学素养.教学重点：函数最大（小）值的概念，求一些函数的最大（小）值.教学难点：函数最大（小）值的概念的理解及其数学符号表达.教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟提出问题从二次函数入手，观察图象，发现它有一个最低点．问题：如何用数学语言表达？生：所有的函数值都大于或等于0，符号语言：，都有．追问：我们画出的只是函数图象的一部分，如何说明取定义域中所有值时，函数值都大于0呢？结合函数的单调性进行分析：函数在上单调递减，当时，；在上单调递增，当时，.从而，，都有.因此，在时，函数取得最小值，最小值是=0.问题：某函数的图象如图，看到的图中最高点纵坐标是函数的最大值吗？讨论：看到的最高点的纵坐标不一定是这个函数的最大值，因为函数的最大值是在整个定义域上函数值的最大值，需要结合函数的定义域和单调性分析，用严谨的数学语言来刻画．探究：你能以函数为例说明函数的最大值的含义吗？学生：结合函数单调性，，都有.因此，在时，函数取得最大值，最大值是=0.设计意图：以熟悉的素材，从形入手，直观感知函数的最大（小）值.由于直观判断不一定准确，需要结合函数的单调性，从数的角度严谨地刻画函数的最值，引出用数学符号语言来刻画函数最值的必要性.同时为后面借助函数的单调性求函数最值做了铺垫.对单调性的回顾中关注点的变化，体会单调性是局部性质，而最值是整体性质.5分钟形成概念探究：你能尝试给出函数的最大值的定义吗？老师引导：设函数的定义域为，如果它有最大值，那么满足什么条件？生：所有的函数值都比它小，或者相等．符号语言：，都有．生：存在点的函数值等于它（至少有一个与之对应）．符号语言：，使得．师生共同得到函数最大值的定义.一般地，设函数的定义域为，如果存在实数，满足:(1)，都有;(2)，使得．那么，我们称是函数的最大值（maximumvalue）.我们来分析定义中的两个条件：问题（1）：定义中的第（1）个条件，可不可以写成？不可以，不能所有函数值都小于，必须有函数值等于的点.问题（2）：定义中的第（2）个条件是必不可少的吗？第一个条件中是否包含了至少有一个点的函数值等于？讨论：对的理解:“”“”．当时，是符合条件（1）的，但不能保证是函数的最大值.举例说明：生活中例子：全班所有同学的身高都小于3米，符合条件（1），但显然3是不是身高的最大值.函数举例：对于函数，是否满足，？那么4是函数的最大值吗？举例：函数，是否满足，那么1是函数的最大值吗？可见定义中两个条件缺一不可.2、你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值的定义吗？学生尝试独立给出函数最小值的定义.设计意图：从特殊到一般，将自然语言和图形语言转化为符号语言，获得最大值概念，提升学生数学抽象的素养.让学生学会用类比的方法独立获得最小值的概念，提升学生的数学思维能力.设置问题，通过简单的举例，帮助学生理解概念中的条件及其数学符号，突破难点．2分钟理解概念3、对函数最大（小）值的理解(1)是否每个函数都有最大值、最小值？函数不一定有最大值、最小值．(2)如果一个函数有最大值，有几个？最大值是整体概念，如果存在，一定是唯一的，但是取最大值时的自变量可以有多个，如，最大值是4，当时，函数取得最大值．(3)函数的最值与函数的值域之间有什么关系？函数的值域是一定存在的，确定的．函数不一定存在最值，如果存在最值，则最大值是值域的区间的右端点，最小值是值域的区间的左端点．设计意图：结合具体实例，深入理解函数最值的概念，强调最大（小）值是整体概念，所以可以不存在，但存在一定唯一．最大值是函数值，所以可以有多个x取到最大或最小值．明确函数的最值和值域的联系和区别.8分钟应用举例练一练求下列函数的最大值和最小值：（1）；（2）．设计意图：通过熟悉的函数，让学生初步体会借助函数单调性求最值的方法，第（2）题与例２呼应，做好方法的铺垫.例1“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．练习：教科书第81页练习1．设计意图：用函数最值的概念解决实际问题，提升数学建模的素养.本题中的函数是定义在一个闭区间上的二次函数，可以画出函数图象求二次函数最值，让学生掌握这种方法.例2已知函数，求函数的最大值和最小值.师生活动：分析方法，借助函数的单调性求函数的最大值和最小值，强调证明函数单调性的重要性，只有证明了函数在给定区间上是单调递减的，才能说明函数在区间端点取到的函数值是函数的最大（小）值.练习：教科书第8页练习3．设计意图：掌握借助函数单调性求函数最值的方法步骤，注意数学的严谨性，解题的规范性，强调只有证明了函数在给定区间上的单调性才能说明函数在区间端