2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数的奇偶性-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数的奇偶性教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.了解函数奇偶性的含义，会判断并证明一些简单函数的奇偶性；2.初步把握函数性质研究的基本方法，从特殊到一般，从定性到定量，体会数形结合，类比的思想方法；3.经历研究函数性质的一般过程，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的核心素养。教学重点：函数奇偶性概念的形成教学难点：函数奇偶性的定义及判断教学过程时间教学环节主要师生活动累计6分钟累计10分钟累计15分钟累计20分钟复习引入探究新知巩固应用课堂小结这节课之前我们通过研究某一区间上自变量的大小关系和所对应函数值的大小关系，得到了函数的单调性，并且用符号语言准确简洁地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”或“下降”的性质，这一节课我们继续来研究函数的其他性质。（ppt呈现函数和的图象）【问题1.1】课前大家已经画好了几个函数的图象，请大家观察和这两个函数的图象，体现了什么共同特点吗？我们很容易发现图象关于轴对称。【过渡】刚刚得到的结论只是基于对图象的直观体现。我们是否也可以类比研究函数单调性一样，把图形上所呈现的对称性在自变量与所对应的函数值的关系中有所体现？或者说，图形上所呈现的特点在数量关系上有所体现？那么我们观察下面的表格：可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。例如对函数，有，【问题1.2】我们发现表格中列出的点具有上述性质，那么表格中没有出现的点是否也具有相同的性质呢？比如吗？事实上，，，具备这样特征的函数，我们称为偶函数。上述用解析式证明结论的过程，实质上就是用符号语言刻画了函数的性质【过渡】我们在研究函数单调性的时候，从直观的函数图象上升下降，到定性的结论随增大而增大（减小），再到定量的严谨地表述。【问题1.3】那么我们能否类比研究函数的单调性，用数学语言表述“函数图象关于轴对称”这一特征呢？从表格中我们刚刚说到自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等，也就是的函数值与的函数值相等。那我们可以借助初中轴对称的知识把这个结论一般化：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数。这样我们就得到了偶函数的定义。类比刚才的研究方法，我们来研究另一组函数，请大家观察和的图象：（ppt呈现函数和的图象）【问题2.1】刚才两个函数图象关于轴对称，那以下这两个函数图象有什么共同特征吗？我们发现它们的图象都关于原点中心对称。【过渡】这个结论同样是从直观的函数图象上得到的，我们可以类比刚才的办法，探究一下这个结论。我们依旧采用列表的方法，可以列出下面的表格：可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数例如对函数，有，同样地，表格中没有出现的其它点也符合上述规律，例如具备这样特征的函数，我们称为奇函数【问题2.2】类比偶函数定义，大家能否用符号语言严谨地表述“函数图象关于原点对称”这一特征呢？一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数。【过渡】这样我们得到了奇函数与偶函数的定义，接下来我们更深入地探究一下这两个定义。（ppt呈现奇偶函数定义）【问题3.1】如何理解定义中的，都有？从定义域中任取一个自变量，这个自变量的相反数还在定义域里。即奇函数、偶函数的定义域必须关于原点对称。【问题3.2】定义中的“”可以删去吗？显然不可以，函数的单调性可能是某个区间上的函数性质，但函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性【问题3.3】奇函数与偶函数的相同点与不同点有哪些？我们从前两个问题中找到了奇函数与偶函数的两个相同点如下：相同点：（1）定义域关于原点对称；（2）都是函数的整体性质。我们从这节课开始的图象与列表中发现了奇函数与偶函数的两个不同点如下：不同点：（1）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数；（2）偶函数的图象关于轴对称，而奇函数的图象关于原点对称。这样我们就从“数”与“形”上面分别找到了奇函数与偶函数的不同点。【问题3.4】偶函数定义中的和奇函数定义中的还有其他等价的数学表达形式吗？有些时候，我们可以把两个函数值移到等号一边，得到奇（偶）函数定义的等价形式：设函数定义域为，则有：是偶函数，，且；是奇函数，，且上述的形式在判断某些函数的奇偶性时非常有用。例如我们在计算完后，发现并不能很直观地看出它与是否相等或互为一对相反数，那么我们可以通过和或者差的运算，结果和进行比较，来得到函数奇偶性的结论。【过渡】我们分析过奇函数与偶函数的定义后，我们就用它来判断几个具体函数的奇偶性：【例1】判断下列函数的奇偶性：（ppt先呈现第一个函数）1.2.3.4.【解】1.函数定义域为，，都有，且，所以函数是偶函数。【问题4.1】如果函数改为，那么还是偶函数吗？显然不是，此时函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性。【过渡】这也提示我们，研究函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称。【问题4.2】大家可以借助我们刚刚的证明过程归纳一下证明函数的奇偶性有哪些步骤吗？（ppt呈现）根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，我们可以按如下步骤进行：第一步，求出函数的定义域；第二步，判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步；第三步，（为定义域），计算，若，则为偶函数；若，则为奇函数；若且，则既不是奇函数也不是偶函数；若且，则既是奇函数也是偶函数。特别地，证明一个函数是奇函数或者偶函数要对定义域中任意一个自变量都成立，但证明函数不是奇函数或偶函数只需要举出一个反例即可。【过渡】那么我们用刚刚一起归纳出的方法来判断下面几个函数的奇偶性2.函数定义域为，，都有，且，所以函数是奇函数.3.函数定义域为，，，所以既不是奇函数也不是偶函数。4.函数定义域为，，都有，且，所以函数既是奇函数也是偶函数.【例2】（教材P85/思考）1.判断函数的奇偶性；2.右图是函数图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在轴左边的图象吗？3.一般地，如果知道为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？【解】1.函数定义域为，，都有，且，所以函数是奇函数。2.由第一问可知是奇函数，那么它的图象关于原点中心对称，所以左侧的图象如图所示。3.像第二问一样，如果已经确定了函数具有奇偶性，那么我们可以只研究这个函数在一半定义域上的图象及性质，再借助函数的奇偶性得到整个定义域上的图象及性质。【小结】今天我们从几个具体函数图象的对称性入手，通过计算验证函数值，然后用符号语言表述了我们发现的结论，抽