2025版一轮高考总复习数学第九章第二节　二项式定理

第二节二项式定理1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理二项式定理（a＋b）n＝（n∈N*）二项展开式的通项Tk＋1＝，它表示展开式的第项二项式系数（k＝0，1，…，n）提醒（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2.二项式系数的性质1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）Cnkan－kbk是二项展开式的第（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（）（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.（）2.（1＋x）10的展开式中x2的系数为（）A.1 B.10C.45 D.1203.（2022·北京高考8题）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（）A.40 B.41C.－40 D.－414.若（x＋1x）n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为5.已知（x－ax）5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝1.若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则：（1）h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；（2）h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；（3）h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；（4）h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.2.两个常用公式（1）Cn0＋Cn1＋Cn2＋（2）Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn1.二项式（3x＋32）n（n∈N*）的展开式中只有一项的系数为有理数，则n的可能取值为（A.6 B.7C.8 D.92.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，则Cn二项式中的特定项及系数问题【例1】（1）（2x－1x）5的展开式中x的系数是（A.－40 B.40C.－80 D.80（2）（x＋13x）30的展开式中无理项的项数为（A.27 B.24C.26 D.25听课记录解题技法求二项展开式中特定项的步骤1.（x－13x）18的展开式中含x15的项的系数为2.在二项式（2＋x）9的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是.二项式系数的性质与各项系数的和考向1二项展开式中的系数和问题【例2】在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）系数绝对值之和.解题技法赋值法的应用（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；（3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f(-1）2，偶数项系数之和为a1＋考向2二项式系数的最值问题【例3】（1）（多选）（2024·唐山模拟）下列关于（1x－2x）6的展开式的说法中正确的是（A.常数项为－160 B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大 D.所有项的系数和为1（2）在（x－1x）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为听课记录解题技法1.求二项式系数最大项（1）如果n是偶数，那么中间一项（第n2＋1项）的二项式系数最大（2）如果n是奇数，那么中间两项（第n+12项与第n+12＋12.求展开式系数最大项求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥A1.若（1＋x）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝.2.设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝.多项式展开式中特定项（系数）问题考向1几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例4】在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是.听课记录解题技法对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.考向2几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题【例5】（2022·新高考Ⅰ卷13题）1－yx（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为（听课记录解题技法对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.考向3三项式展开式中特定项（系数）问题【例6】（x－3y＋2）5的展开式中，常数项为，所有不含字母x的项的系数之和为.听课记录解题技法（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法1.x＋y2x（x＋y）5的展开式中x3