《电磁场与电磁波 》课件第3章

第3章恒定电流的电场3.1电流和电流密度

3.2欧姆定律

3.3焦耳定律

3.4恒定电流的基本方程

3.5恒定电场的边界条件

3.6恒定电场与静电场的比较

3.1电流和电流密度

3.1.1电流通常所说的电流是指电荷的宏观定向运动，即大量电荷的定向运动形成电流。在金属导体中，运动的是带负电的自由电子，其运动的方向与电场强度方向相反。但习惯上总是把电流看成是正电荷的运动，并且规定正电荷运动的方向为电流的方向。也就是说，电流的方向总是沿着电场强度的方向，从高电位流向低电位。在导电溶液中，正、负离子各自向相反的方向运动。固态或液态导体(或统称为导电媒质)中的电流都称为传导电流。在真空或气体中，大量电荷在电场作用下的定向运动形成的电流，称为运流电流，如电真空器件中的电流就属于这一类。本章主要讨论的是传导电流。电流的大小用电流强度来描述。电流强度的定义是：单位时间内通过导体任一横截面的电荷量。

如果在时间Δt内流过导体任一横截面的电量是Δq，则时变电流强度的定义是（3-1）

而恒定电流的电流强度的定义是

（3-2）

式中的q是在时间t内流过导体任一横截面的电荷。I是个常量。电流强度一般简称为电流。电流强度是一个标量，它是MKSA单位制中的四个基本量之一，它的单位是安培(A)。

3.1.2电流密度在通常的直流电路中，一般只考虑某一导线中的总电流。但在某些情况下，在导体内部各点，单位时间内流过单位截面的电荷可能不同，流动的方向也各有差别，即电流的分布是不相同的。为了表示导体横截面上电流分布的情况，引入另一个物理量——电流密度J。

电流密度J是一个矢量，其方向是在导体中某点上正电荷运动的方向(即电流方向)，它的数值等于通过该点单位垂直面积上的电流强度。如图3-1所示，设在导体中某点取一个与电流方向垂直的面积元ΔS，通过该面积元的电流是ΔI，则该点电流密度的数值是

（3-3）

式中J表示传导电流密度，其单位是安培/米2（A/m2）。因为电流是在一定体积中流动的，所以J也称为体电流的面密度或体电流密度，简称电流密度。如果所取面积元的法线方向en与电流方向不垂直而成任意角度θ，则通过该面积元的电流是

图3-1电流密度J通过导体中任意截面S的电流强度I与电流密度矢量J的关系是

（3-4）

电流密度矢量J在导体中各点处有不同的方向和数值，从而构成一个矢量场，称为电流场。这种场的矢量线称为电流线。电流线上每点的切线方向就是该点的电流密度矢量J的方向。从式(3-4)可以看出，穿过任意截面S的电流等于电流密度矢量J穿过该截面的通量，如图3-2所示。

图3-2电流密度通量有时电流分布在导体表面一个很薄的区域内，称这种电流为面电流，如图3-3所示。这时，与电流方向垂直的横截面积S近似为零，面积元ΔS变为线元Δl。为了描述面电流在横截面上的分布，取面电流密度JS的定义为（3-5）

面电流密度JS的方向仍然是正电荷运动的方向，也就是该点的电流方向。JS的单位是安培/米(A/m)。

对于电流在细导线中流动的情况，当不需要计算细线中的场时，就可将电流看成是线分布。线电流密度Jl就是电流强度I，方向为电流的方向el，即（3-6）

图3-3

面电流密度JS

3.2欧姆定律

实验证明，导体的温度不变时，通过一段导体的电流强度I和导体两端的电压U成正比，这就是欧姆定律。其表达式为（3-7）

式中的比例系数R称为导体的电阻，单位是欧姆(Ω)。R只与导体的材料及几何尺寸有关。由一定材料制成的横截面均匀的线状导体的电阻R与导体长度l成正比，与横截面积成反比，即

（3-8）

如果导体的横截面不均匀，式(3-8)应写成积分式为

（3-9）

这两个式中的比例系数σ称为电导率，单位为S/m（西门子/米=），其值由导体的材料决定。如果导体中σ不随位置而变，则称为均匀导体；否则，称为非均匀导体。通常σ随温度而变。表3-1列出了一些常用金属的电导率。电导率的倒数称为电阻率，单位是欧姆·米(Ω·m)。电阻的倒数称为电导，用G表示：电导G的单位是1/欧姆=西门子（1/Ω=S）。

表3-1几种金属在常温下的电导率

【例3-1】如图3-4所示，同心导体球间充满一种电导率为σ的均匀导电媒质，σ远小于导体球的电导率，计算内球表面与外球壳内表面之间的电阻R。

解在内、外导体球之间取一半径为r、厚度为dr并与导体球同心的球壳，它的电阻是总电阻为

图3-4同心导体球

从欧姆定律公式(3-7)可导出载流导体内任一点上电流密度与电场强度的关系。如图3-5所示，在电导率为σ的导体内沿电流线取一极微小的直圆柱体，它的长度是Δl，截面积是ΔS，则圆柱体两端面之间的电阻，通过截面ΔS的电流ΔI=JΔS，圆柱体两端面之间的电压是根据式(3-7)有

可得

图3-5推导欧姆定律的微分形式

在各向同性的导电媒质中，电流密度J和电场强度E的方向相同，都是正电荷运动的方向，J=σE可写成矢量形式，即(3-10)这就是欧姆定律的微分形式。式(3-7)是欧姆定律的积分形式，它描述的是一段有限长和有限截面导体的导电规律；而式(3-10)则是描述导体中每一点上的导电规律。

必须指出:①对于面电流密度而言，JS≠σE，这是因为提出面电流的概念虽然在处理一些具体问题时简单有效，但它毕竟是一种极端理想化的模型，是将一个很薄的但不等于零的横截面理想化为厚度为零的几何线，而这样极端理想化的模型在实际问题中并不存在；②与传导电流相对应的是运流电流，它是在气体中形成的电流。运流电流不服从欧姆定律。设在空间一点，电荷的运动速度是v，该点的电荷密度是ρ，过该点取一垂直于电荷运动方向的面积元dS，并沿电荷运动的方向取长度元dl，则体积元dV=dSdl内的电量dq=ρdSdl，这些电荷在dt=dl/v的时间内全部流过dS，由电流强度的定义，得则电流密度为

运流电流是电荷运动形成的，电流密度J就应与运动电荷的密度ρ以及电荷运动的速度v有关，即体电流密度（A/m2）

面电流密度

JS=ρSv

线电流密度

运流电流密度的方向就是电荷运动的方向。

3.3焦耳定律

在金属导体中，电流是自由电子在电场力作用下的定向运动。为推动电荷定向运动，电场力必须不断地对自由电子作功，使自由电子获得动能。而自由电子在运动过程中，又不断地和晶体点阵上的原子碰撞，把获得的能量传递给原子，使晶体点阵的热运动加剧，导体的温度升高，这就是电流的热效应。由电能转换而来的热能称为焦耳热。因为这种能量转换消耗了电能，所以这类导电媒质又称为有耗媒质。

如果一段导体两端的电压是U，当电荷q通过这段导体时，电场力所作的功是有恒定电流I时，在时间t内流过的电量由式(3-2)决定，即q=It。因此有

（3-11）

即自由电子在运动过程中，与晶体点阵上的原子碰撞阻碍了电子的定向运动，电阻R就代表了这种阻碍作用。电场力在单位时间内所作的功叫做电功率(简称功率)，用P表示，即

（3-12）

下面进一步推导焦耳定律的微分形式。如图3-5所示，在导体中沿电流方向取一长度是Δl、截面积是ΔS的体积元ΔV=ΔlΔS，因电流是恒定的，故热损耗功率是当ΔV→0时，取ΔP/ΔV的极限便是在电流场(或恒定电场)中任一点处单位体积中的热功率，或者说是在单位时间内电流在导体的单位体积中所产生的热量，用p表示，即

（3-13）

其中p是一个标量，称为热功率密度，单位是［W／m3］。因为在各向同性的导体中，J与E的方向一致，所以式(3-13)可以表示为（3-14）

式(3-13)或式(3-14)就是焦耳定律的微分形式，它在恒定电流和时变电流的情况下都是成立的。对于体积为V的有耗媒质，其损耗功率为

（3-15）

对于长度为l、截面积为S的一段导线，式(3-15)可写为

对于运流电流，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶体碰撞的热量。因此，焦耳定律对于运流电流不成立。

3.4恒定电流的基本方程3.4.1电流连续性方程在电流密度为J的空间里，任取一封闭曲面S，如图3-6所示，根据电荷守恒定律，单位时间内由S面流出的电荷应等于单位时间内S面内电荷的减少量。设S面上的法线方向都由里向外，由电流密度J的定义，单位时间内由S面流出的电荷是，单位时间内S面内电荷减少量是。因此，可得到(3-16)

图3-6电流的连续性

式中,V是S限定的体积，ρ是自由体电荷密度。式(3-16)就是电流连续性方程的积分形式。由高斯散度定理，式(3-16)中的面积分可化为体积分；V内的电荷，积分是在固定体积V中进行的而与时间无关。故式(3-16)中的微分号可移入积分号内，即或

由于闭合曲面S是任意选的，因此，它所限定的体积V也是任意的。要在任意体积V里，使上述的体积分等于零，被积函数就必须等于零，即或

（3-17）

这是电流连续性方程的微分形式。

恒定电流的电流强度是恒定的，电荷的分布也是恒定的。因而，恒定电场中的任一闭合面S内都不能有电荷的增减，即。因此，式(3-16)变为（3-18）

这就是恒定电流的连续性方程的积分形式。它的物理意义是，单位时间内流入任一闭合面的电荷等于流出该面的电荷，因而恒定电流的电流线是连续的闭合曲线。由式(3-18)应用高斯散度定理可得到恒定电流的连续性方程的微分形式：

（3-19）

这说明恒定的电流场是一个无源场(或称管形场)。

将欧姆定律的微分形式J=σE代入式(3-18)可得

如果导体的导电性能是均匀的，σ是常数，则

（3-20）

由高斯定理可知，式(3-20)表明在导体内部的任一闭合面S内包含的净电荷q=0，因而在均匀导体内部虽然有恒定电流但没有电荷，电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场正是由表面上的电荷产生的。由式(3-19)和式(3-20)都可得到

（3-21）

由式(3-18)可以推导出直流电路中的基尔霍夫电流定律。图3-7中有三个分支电路的交点为M(节点)，作一任意闭合面S包围该点，根据式(3-18)有

因为S面上各处的法线方向向外，而导线中电流密度与电流方向一致，所以上式中右边第一项的积分值为负，第二、三项的积分值为正。因此上式的积分结果是

图3-7推导基尔霍夫电流定律

推广到n个支路汇集的节点上，有

（3-22）

这就是基尔霍夫电流定律。它表示汇集于任意节点的各支路电流强度的代数和等于零，流向节点的电流取负号，从节点流出的电流取正号。式(3-16)和式(3-17)是一般情况下的电流连续性方程，它也适用于时变电流，恒定电流只是时变电流的特殊情况。

3.4.2电动势由欧姆定律式(3-10)可知，导体中的电流依靠导体中的电场来维持，如果电流不随时间变化，则称为恒定电流，相应的电场称为恒定电场。由于导体中的静电场为零，因而不可能依靠静电场来维持导体中的电流。要维持导体中的电流，必须依靠一种两端有电荷堆集的装置，使之在与它连接的导体上产生一定的电荷分布，从而在导体内产生推动电荷定向运动的电场。如图3-8（a）所示，导线的两端A、B分别连接到一个已经充了电的平行板电容器的两个极板上。

A板上的正电荷吸引金属导线中的自由电子，B板上的负电荷沿着导线连续地进行补充，于是导线中出现了电流。随着时间的增长，电容器两极板上的电荷逐渐减少到零，电流最后也等于零。实验证明，充电的电容器虽能贮存一定的电能，但只靠静电能是不能维持恒定电流的。要在导线中维持恒定电流，必须有另一种非静电力不断地向A、B两个极板补充正、负电荷。具有这种补充能力的装置叫做电源，如图3-8（b）所示。由化学反应产生电能的是化学电源，如常用的干电池；由机械驱动通过电磁感应而产生电能的电源则是发电机。

图3-8恒定电流的形成

在电源之外的导体中，只存在由电荷所产生的电场，称为库仑电场，用E′表示，方向从正电荷指向负电荷，它与静止电荷产生的静电场性质相同；在电源内，除了有电荷产生的库仑电场外，还存在非库仑电场，称为局外电场。电源内非静电力与它搬运的电荷量比值定义为局外电场强度，以E″表示，方向是由电源负极指向正极，即在电源内正电荷运动的方向与电源内库仑电场的方向相反。因为在电源外部的导体中，只有库仑电场，所以欧姆定律的微分形式是

J=σE′（3-23）

在电源内部既有库仑电场，又有局外电场，则

（3-24）

式中E=E′+E″是合成电场强度。

单位正电荷从负极板通过电源内部移到正极板时，非静电力所作的功称为电源的电动势，用E表示，即

（3-25）

电源的电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。电动势的单位同电位一样，也是伏特。

既然恒定电荷产生的是库仑电场，它具有与静电场相同的性质，所以

（3-26）

或

（3-27）式(3-26)中的积分路径l是通过电源内部和外部导线的闭合曲线。同时又因为，除了在电源内部以外，在积分路径的其他部分，E′=0，所以

取电场强度E=E′+E″沿图3-8(b)中的闭合电路路径ACBA的线积分，有

（3-28）

因为

而式(3-28)右边的积分

式中，R1是外部导线的总电阻，R2是电源内部的电阻，简称为内阻，R=R1+R2是整个回路ACBA的电阻。这样，式(3-28)变为

（3-29）

此式称为全电路的欧姆定律。如果回路中有n个直流电源和k个电阻元件，则式(3-29)可推广为

（3-30）

这就是基尔霍夫电压定律。

3.4.3导体内(电源外)恒定电场的基本方程

综上所述，式（3-18）、式(3-19)、式(3-26)和式(3-27)是电源外的导体中恒定电场的基本方程。为了清楚起见，归纳如下：积分形式

微分形式

J和E的关系即欧姆定律的微分形式

需说明的是，上面这些公式是将式(3-27)和式（3-28)中的库仑电场E′改写为总电场E的结果，因为在电源之外的导体中，局外电场E″=0，所以E=E′；而积分路线l指的是在电源之外的导体中任取的闭合回路，不再包括电源内部和外部导体那样的闭合回路。由于▽×E=0，因此在恒定电场中也可以引进标量电位函数￠。因为电场强度与电位的关系仍然是E=－▽￠，把它代人式（3-21），得（3-31）所以，在σ等于常数的载有恒定电流的导体内(电源外)，电位函数￠满足拉普拉斯方程。

3.5恒定电场的边界条件

当恒定电流通过具有不同电导率σ1和σ2的两种导电媒质的分界面时，在分界面上，J和E各自满足的关系称为恒定电场的边界条件。边界条件可由恒定电场基本方程的积分形式 和 导出，所用方法与静电场的边界条件相仿，归纳如下：

（3-32）

或

（3-33）

式(3-32)和式(3-33)表明，电流密度J在通过界面后，它的法向分量Jn是连续的；电场E在通过界面后，它的切向分量Et是连续的。反之，由 和Jt=σEt可知，在通过界面后，电场强度的法线方向和电流密度的切向分量是不连续的，即J1t≠J2t,E1n≠E2n。在恒定电场中引入电位函数￠，用￠表示的边界条件为

3.6恒定电场与静电场的比较

通过前面几节的讨论，可发现导电媒质中的恒定电场(电源外)与电介质中的静电场(体电荷密度ρ=0的区域)在许多方面有相似之处。为了清楚起见，列表3-2进行比较。表3-2恒定电场与静电场的比较

【例3-2】图3-9所示的两组同心的金属导体球，尺寸相同，而且都在内外球间加上相同的直流电压U0。图3-9（a）中的内外球之间均匀地充满一种电导率为σ的导电媒质，但σ远小于金属球的电导率，图3-9（b）中的内外球之间均匀地充满一种介电常数为ε的电介质。试求上述两种情况下的场分布。

解如图3-9(a)所示，因为内外金属球间充满导电媒质，在直流电压U0的作用下，将有恒定电流从内球通过导电媒质流向外球，所以这是一个恒定电场问题。同时，由于金属球的电导率远大于内外球间的导电媒质的电导率σ，因此导电媒质中的电流线(J线)垂直于金属球。图3-9(b)是简单的静电场问题，电介质中的电位移线也垂直于金属球。上述两个场的边界条件相同，而只需求出其中任何一个场的解，另一个场的解也就可以得到。

图3-9(b)所示的静电场可以用高斯定理求解。设内金属球带电量+q，外金属球壳内表面带电量-q，在电介质中作一个与金属球同心、半径为r的高斯球面，则可求得电位移矢量和电场强度为因为内外金属球之间的电压U0可表示为

所以

如果取外金属球壳为电位参考点，则内外球间电介质中任一点的电位是

根据表3-2中各物理量的对应关系，将上述各式