《工程力学》课件第4章

4.1轴力和轴力图4.2杆件横截面上的正应力4.3轴向载荷作用下材料的力学性能4.4强度计算4.5变形分析与计算4.6拉压简单超静定问题4.7应力集中的概念第4章

轴向载荷作用下杆件的材料力学问题

在工程结构和机械中，由于受轴向载荷作用而产生拉伸和压缩变形的构件是很多的，例如，桁架中的杆件，起重机械中的钢缆，用作各种紧固件的螺栓及各种连杆机构中的连杆等。这些构件的共同特点是：作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。若把这些杆件的形状和受力情况进行简化，可得到如图4.1(a)、(b)所示的力学模型，其中实线和虚线分别表示变形前、后的形状。图4.14.1轴力和轴力图

1．内力与截面法内力是指物体内部各部分之间相互作用的力。物体在未受外力作用时，其内部各质点之间本来就有力在相互作用。当物体受到外力作用而变形时，其内部各质点之间的相对位置将有变化，与此同时，各质点之间相互作用的力也有所改变。这种原有内力的改变，是物体在外力作用下产生的附加内力。材料力学中讨论和计算的只是这种附加内力，故通常简称其为内力。这种内力既不同于物体中固有的内力，也不同于刚体系统中的内力。前者是分子、原子等基本粒子相互作用产生的内力，后者则是各个刚体相互机械作用产生的内力。变形体的内力则是由宏观变形引起的内力。根据材料的连续性假设，内力在构件内连续分布。通常，首先需研究构件横截面上分布内力的合力。为显示内力并确定其大小和方向，可采用截面法进行分析。欲求构件某处的内力，需用假想截面从该处将构件截成两部分，并将其中任一部分分离出来，在截开的截面上用内力代替另一部分对它的作用。由于整个构件是平衡的，因此它的任何一部分也必然是平衡的。据此，考察截开后任一部分的平衡，由平衡条件即可确定截面上内力的大小和方向。以上所述即为求内力的截面法。

2．轴力与轴力图现在研究轴向拉、压杆件的内力。考虑图4.2(a)所示的轴向受拉杆件，用m—m截面将杆件截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考察其中任一部分(Ⅰ或Ⅱ)的平衡。由平衡条件可得该截面上分布内力的合力为

FN=F

其作用线与杆的轴线一致，方向如图4.2(b)、(c)所示。这种轴向内力简称为轴力。对于轴向受压杆件，同样可通过上述过程求得其任一截面上的轴力FN，如图4.3(a)、(b)、(c)所示。图4.2图4.3综上所述，截面法求内力的步骤可归纳如下：

(1)截开：在欲求内力处用假想截面将杆件截为两部分。

(2)代替：任取其中一部分作为研究对象，并用欲求的内力代替另一部分对它的作用。

(3)平衡：考察研究对象的平衡，由静力平衡方程确定横截面上内力的大小和方向。需要指出的是，截面法求内力的实质是考察平衡问题，并且在建立平衡方程时无需考虑物体的变形。内力的正负号依变形情况来规定。对于轴力，规定产生伸长变形者为正，即轴力方向与杆件横截面的外法线方向一致时为正(图4.4(a))；产生缩短变形者为负，即轴力方向与杆件横截面的外法线方向相反时为负(图4.4(b))。轴力的正负号规则可简述为：拉为正，压为负。一般，在计算时一律假设为正轴力，而据计算结果的正负号来确定轴力是拉力还是压力。轴力的量纲为［力］，在国际单位制中采用的单位是牛顿(N)或千牛(kN)。若沿杆件轴线作用的外力多于2个，则杆件各段的轴力将不尽相同，这时需分段应用截面法确定各段内的轴力。表示轴力沿轴线方向变化的图线称为轴力图。图4.4

【例4.1】图4.5(a)所示杆件在A、C、D三处受力，B处为固定端约束。试求此杆各段的轴力，并绘出轴力图。

解根据杆件AB所受外力的情况，需分别计算AC、CD、DB段的轴力。

AC段：假想用1—1截面将杆截开，取左段为研究对象，设其上轴力为正方向，受力图如图4.5(b)所示。由静力平衡条件：解得AC段的轴力为

FN1=F(拉力)

CD段：假想用2—2截面将杆截开，取左段为研究对象，设其上轴力为正方向，受力图如图4.5(c)所示。由静力平衡条件：∑X=0，FN2+3F－F=0解得CD段的轴力为FN2=－2F(压力)

DB段：类似地，假想用3—3截面将杆截开，取左段为研究对象，设其上轴力为正方向，受力图如图4.5(d)所示。由静力平衡条件：∑X=0，FN3+2F+3F－F=0解得DB段的轴力为FN3=－4F(压力)根据上述轴力计算结果可绘制轴力图。首先建立FN—x坐标，其中x沿杆轴线方向，FN为轴力。将轴力计算结果标于F=—x坐标中，便得到该杆的轴力图(图4.5(e))。需要指出的是，杆各段的轴力也可取截面右段为研究对象来分析，这时需考察整个杆的平衡，由静力平衡条件来确定B处的约束力。读者不妨一试。图4.54.2杆件横截面上的正应力

1．应力由截面法可以确定杆件横截面上分布内力系的合力。这一结果可以说明截面上的内力与外力的平衡关系，但不能反映分布内力系在截面上某一点处的强弱程度。为此，引入一个新的物理量——应力，以度量横截面上分布内力的集度。图4.6(a)所示为从任意受力构件中取出的分离体，截面m—m上作用有连续分布的内力。围绕任一点C取微小面积ΔA，ΔA上作用的内力设为ΔF，ΔF的大小和方向与C点的位置和ΔA的大小有关。ΔF与ΔA的比值为(4.1a)图4.6

pm是一个矢量，代表微面积ΔA上分布内力的平均集度，称为平均应力。随着ΔA的逐渐缩小，pm的大小和方向都将逐渐变化。当ΔA趋于零时，pm的大小和方向都将趋于一定的极限。这样得到(4.1b)p称为m—m截面上C点的应力(又称为全应力)，它是分布内力系在C点的集度，反映内力系在C点的强弱程度。通常将p分解为两个分量，如图4.6(b)所示。其中,与截面垂直的分量称为正应力，用符号σ表示；切于截面的分量称为切应力，用符号τ表示。三者之间的关系为σ=pcosα

(4.1(c))τ=psinα(4.1(d))应力的量纲为[力]/[长度]2，国际制单位为Pa(N/m2)或MPa(N/mm2)。

2.拉、压杆横截面上的正应力现在研究轴向拉、压杆件横截面上的应力。首先观察拉(压)杆的变形情况。图4.7所示等截面直杆受轴向拉力作用。变形前，在等直杆的侧面上画垂直于杆轴的直线ab和cd。拉伸变形后，发现ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线，只是分别平行地移至a′b′和c′d′。根据这一现象，可以假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。这就是平面假设。由此可以推断，拉杆所有纵向纤维的伸长是相等的，即轴向变形均匀分布。因材料是均匀连续的，所以所有纵向纤维的力学性能相同。由它们的变形相同和力学性能相同，可以推想各纵向纤维的受力是一样的。据以上分析可以推知，在横截面上将只有沿轴向的正应力，并在整个横截面上均匀分布。于是，有

式(4.2)同样适用于轴向受压的情况。该式即为计算轴向拉、压等截面直杆横截面上正应力的公式。其中，FN为轴力，A为横截面面积。正应力的正负号规则与轴力一致，即拉应力为正，压应力为负。图4.7除等直杆外，轴向拉、压小锥度直杆横截面上的应力也可按公式(4.2)计算。需要指出的是，当作用在杆件上的外力沿横截面均匀分布时，杆横截面上的应力将均匀分布，公式(4.2)适用。而当作用在杆件上的外力沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近横截面上的应力也是非均匀分布的，则相应区域横截面上的应力不能用公式(4.2)计算。但是，大量理论计算和实验研究均表明：如果杆端的两种外加载荷静力等效，则杆端部以外区域的应力差异甚微。这一论断就是著名的“圣维南原理”。在工程常规设计和计算中，一般不考虑端部加载方式的影响。对于拉、压杆，只要外力合力的作用线沿杆轴线方向，即可应用式(4.2)计算横截面上的应力。

【例4.2】图4.8(a)为一悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W

移到A点时，求斜杆横截面上的应力。

解斜杆AB为轴向受拉杆件。当载荷W移到A点时，杆AB受到的拉力最大(图4.8(b))，设其值为Fmax。根据横梁(图4.8(c))的平衡方程∑mC=0,得图4.8由△ABC求出:故有斜杆AB的轴力为FN=Fmax=38.7kN由此求得AB

杆横截面上的应力为4.3轴向载荷作用下材料的力学性能

1.材料拉伸时的力学性能

1)低碳钢的拉伸试验及其力学性能拉伸试验一般是将试件装在万能试验机上进行的。为了便于比较不同材料的试验结果，应按国家规定，将材料做成标准试件。对于金属材料，通常采用圆柱形试件，其形状如图4.9所示。试件中部一段为等截面，在该段中标出长度为L的一段，称为工作段，试验时测量工作段的变形量。工作段长度L(称标距)与试件横截面尺寸有规定的比例，例如对圆截面标准试件，通常规定L=5d

或L=10d。图4.9试验时，将试件两端安装在试验机的夹具中，然后缓慢加载，试件逐渐伸长，直至拉断为止。载荷可由试验机上读出，伸长量可通过测量变形的引伸仪量得。在试验过程中，记下一系列载荷F的数值和与它对应的工作段的伸长量ΔL值。以ΔL为横坐标、F为纵坐标，可画出F—ΔL曲线，此曲线称为试件的拉伸图。多数万能试验机上附有自动绘图设备，可自动绘出F—ΔL曲线。图4.10为低碳钢试件的拉伸图。图4.10试件的拉伸图中，F与ΔL的对应关系与试件尺寸有关，例如，如果标距L不同，则同一载荷引起的伸长量ΔL也将不同，因而F—ΔL图不能反映材料的力学性能。为了消除试件尺寸的影响，常按照工作段的原始尺寸L、A，以F/A=σ作为纵坐标、ΔL/L=ε作为横坐标，将F—ΔL曲线改画为σ—ε曲线。这样得到的曲线与试件的尺寸无关，而只反映材料本身的力学性能。此曲线称为应力—应变曲线。由于A及L均为常数，故σ—ε曲线应与F—ΔL曲线相似，只是后者纵、横坐标的比例尺与前者的有所不同。低碳钢拉伸时的σ—ε曲线如图4.11所示。图4.11由低碳钢的F—ΔL曲线和σ—ε曲线可以看出，整个加载和变形过程呈现四个阶段。下面从σ—ε曲线(图4.11)来研究各阶段中的几个特殊点及其所对应的应力值的含义。

(1)弹性阶段。相应于图中的Ob段，材料的变形全部是弹性的，这一阶段称为弹性阶段。若加载不超过b

点的应力值，然后卸载，变形可全部消失，故b

点的应力值为材料只产生弹性变形时应力的最高限，称为弹性极限，以σe表示。图中的Oa段为直线段，在Oa段内，应力与应变成正比，即材料符合胡克定律，这一段又可称为线弹性阶段。该段中应力的最高限即a

点的应力值，称为比例极限，以σp表示。弹性极限与比例极限虽有不同的物理含义，但由于它们的数值十分接近，故工程中通常将这两个名词互相通用而不加严格区分。

(2)屈服阶段。应力超过弹性极限后，σ—ε曲线明显变弯，接着就出现一段接近于水平直线的小锯齿形线段(bc)。此时应力停止增长而应变却继续增大，这表明材料已失去抵抗继续变形的能力，故将这种现象称为屈服或流动。这一阶段称为屈服阶段或流动阶段。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料的性能。通常就把下屈服极限称为屈服极限或流动极限，以σs表示。这一阶段里材料的变形主要是塑性变形。若试件的表面经过抛光，则当材料进入屈服阶段时，在试件表面上将出现一系列与轴线大致成45°倾角的迹线(图4.12)，称为滑移线，它是材料内部晶格间发生滑移的结果。图4.12

(3)强化阶段。图中向上升的曲线ce说明，过了屈服阶段后，应力又随应变而增长，这表明材料又恢复了对继续变形的抵抗能力。这种现象称为材料的强化。这一阶段称为强化阶段。在σ—ε曲线上最高点e的应力值称为强度极限，用σb表示。

(4)颈缩阶段。在应力到达最大值σb时，σ—ε曲线开始下降。试件的某一局部开始显著变细，出现所谓颈缩现象(图4.13)。这一阶段(ef)称为颈缩阶段。由于颈缩部分的横截面急剧减小，因而使试件继续变形所需的载荷也减小了，相应的σ—ε曲线也明显下降，到达f点时，试件在颈缩处被拉断。图4.13前面提到的σs和σb是衡量低碳钢等材料强度的重要指标。Q235钢的σs为216～235MPa，σb为373～461MPa。试件断裂后，其原来变形中的弹性变形部分消失，但塑性变形部分则不能消失。以δ表示试件拉断后塑性变形的程度，这个量等于试件在拉断后其工作段的塑性变形量与工作段原长之比的百分率，即式中的L1为试件工作段在拉断后的长度，L为工作段的原长。δ称为伸长率，是衡量材料塑性的一个重要指标。低碳钢的伸长率很高，其平均值约为20%~30%，这说明低碳钢的塑性性能很好。有时也采用断面收缩率ψ作为衡量材料塑性的另一个指标：式中的A1为试件在拉断后断口的横截面面积，A为试件原横截面面积。

δ、ψ愈大，说明材料的塑性性能愈好。工程上通常按伸长率的大小把材料分成两大类。一般将δ＞5%的材料，如钢材、铜、铝等，称为塑性材料；δ＜5%的材料，如铸铁、砖、石料等，称为脆性材料。这种划分是以常温、静载为前提的。在上述试验过程中，如果加载至材料的强化阶段中的任一点d(图4.11)时，逐渐卸载，则卸载过程中应力与应变之间沿着直线dd′的关系变化，此直线段与Oa几乎平行。由此可见，在强化阶段中，试件的应变包括了弹性应变和塑性应变；在卸载后，弹性应变(d′g)消失，只留下塑性应变(Od′)。塑性应变又称为残余应变。如果卸载后，立即再缓慢加载，则在加载过程中，应力、应变之间基本上仍沿着卸载时的同一直线关系变化，直到开始卸载时的d点为止；然后，大体上沿着原来路径def的关系变化。由此可见，试件在强化阶段中，经过卸载，然后再加载时，其σ—ε图应是图4.11中的d′def。图中直线部分最高点d的应力值，可以认为是材料经过卸载而又重新加载时的比例极限。它显然比原来的比例极限提高了，但拉断后的残余应变则较原来的δ为小。材料在常温、静载下，经过前述的卸载后发生的这两个现象称为材料的冷作硬化。工程中常利用冷作硬化来提高某些构件在弹性阶段内所能承受的最大载荷。

2)其它材料在拉伸时的力学性能图4.14给出了其它几种金属材料拉伸时的σ—ε曲线，它们是经过与低碳钢相同的试验方法得到的。为了便于比较，将它们画在同一个坐标系内。由图4.14可知，这些材料的共同特点是伸长率都较大，因此它们都是塑性材料。但与低碳钢比较，这些材料大多没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，按国家标准规定，取产生0.2%残余应变时的应力值作为材料的屈服极限，称为名义屈服极限，以σ0.2表示(图4.15)。图4.14图4.15图4.16为灰口铸铁拉伸时的σ—ε曲线，其特点是没有明显的直线部分，也无屈服阶段；此外，直到拉断时应变都很小。因此，通常近似地用一条割线来代替原来曲线的开始部分，从而认为在这一段中，材料符合胡克定律，并可求得其弹性模量E。灰口铸铁拉伸时的强度指标只有强度极限σb，其值为120～175MPa。它的伸长率δ远小于5%，故它属于脆性材料。铸铁试件拉断时，大体上是沿试件横截面断裂的。图4.16

2.材料压缩时的力学性能压缩试验是在压缩试验机或万能试验机上进行的。金属材料的压缩试件通常做成短圆柱形。为了避免压弯，试件不能太长，其长度一般为直径的1.5～3倍。试验时，将试件置于试验机的两压座间，并使之产生压缩变形。采用与拉伸试验相类似的方法，可得到材料在压缩时的σ—ε曲线。低碳钢在压缩时的σ—ε曲线如图4.17所示。图4.17试验结果表明，低碳钢在压缩时的σp、σs和E分别与拉伸时的相同。当应力超过屈服极限以后，试件出现显著的塑性变形；如果继续增加压力，试件将愈压愈扁，直至压成薄块状而不会断裂，故测不出其抗压强度极限。其它塑性材料亦有上述特点。由上述情况可知，对于低碳钢这一类塑性材料，可直接从拉伸试验的结果了解它在压缩时的主要力学性能，而不必再做压缩试验。但有些塑性材料(如铬钼硅合金钢)在拉伸和压缩时的屈服极限并不相同，因此，对它们就需通过压缩试验以测定其压缩屈服极限。脆性材料在压缩时的力学性能与拉伸时有很大差别。以铸铁为例，由压缩试验得到的σ—ε

曲线如图4.18所示。铸铁压缩时的伸长率和强度极限都比其拉伸时的大得多，灰口铸铁压缩时的强度极限σb为640～1300MPa。铸铁压缩时，试件破坏时的断口与轴线约成45°角，与其在拉伸时的破坏现象不同。其它脆性材料，如混凝土、石料等，它们的抗压强度也远高于抗拉强度。图4.18脆性材料抗拉强度低，塑性性能差，但抗压能力强，且价格低廉，宜于作为抗压构件的材料。铸铁坚硬耐磨，易于浇铸成形状复杂的零部件，广泛用于铸造机床床身、机座、缸体及轴承座等受压零部件。因此，其压缩试验比拉伸试验更为重要。综上所述，衡量材料力学性能的指标主要有：比例极限σp、屈服极限σs、强度极限σb、弹性模量E、伸长率δ和断面收缩率ψ等。对很多金属来说，这些量往往受温度、热处理等条件的影响。表4.1列出了几种常用材料在常温、静载下σs、σb和δ的数值。表4.1几种常用材料的主要力学性能4.4强度计算由前面的分析可知，拉(压)杆横截面上的正应力为此应力又称为工作应力，是拉(压)杆工作时由载荷引起的应力。由前面的试验还可知：当应力达到强度极限σb时，会引起断裂；当应力达到屈服极限σs(或σ0.2)时，将出现显著的塑性变形。显然，构件工作时发生断裂或显著的塑性变形一般都是不允许的。所以，σb和σs(或σ0.2)统称为材料的极限应力，并用σu表示。对于脆性材料，断裂是其破坏的重要标志，强度极限σb为其唯一的强度指标，故以σb为极限应力；对于塑性材料，发生明显的塑性变形往往是其破坏的重要标志，故通常以σs(或σ0.2)为极限应力。在理想情况下，为了充分利用材料的强度，最好使构件的工作应力接近于材料的极限应力。但实际上很难做到这一点，这是因为：作用在构件上的载荷常常估计不准确；应力的计算通常都带有一定的近似性；材料也并不像所假设的那样绝对均匀，等等。所有这些因素都有可能使构件的实际工作条件比设想的要偏于不安全。除上述因素外，为了确保安全，构件还应具有适当的强度储备，特别是对于那些因损坏会带来严重后果的构件，更应给予较大的强度储备。(4.3)式中，n是一个大于1的系数，称为安全系数。因此，拉(压)杆工作应力的最大允许值，只能是材料极限应力σu的若干分之一，此允许值称为材料的许用应力，用［σ］表示，即安全系数的选取应具合理性。如果将安全系数选得过小，构件的正常工作将得不到可靠的保证；但若选得过大，又不符合节约的原则。实际中，需要根据具体工程问题进行权衡比较，统一而又有所侧重地考虑。各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力值，可从有关规范或设计手册中查到。在静载荷下的强度计算中，对于塑性材料，可取屈服安全系数ns=1.5～2.0；对于脆性材料，可取强度安全系数nb=2.5～5.0。nb比ns更大些，其原因之一是脆性材料的破坏以断裂为标志，而塑性材料的破坏则以开始发生塑性变形为标志。两者的危险程度显然不同，前者的后果要严重得多。因此，对脆性材料有必要多给一些强度储备。几种常用材料的许用应力值列于表4.2中。表4.2几种常用材料的许用应力综上所述，为了保证拉(压)杆不致因强度不够而破坏，杆内最大工作应力不得超过材料在拉伸(压缩)时的许用应力，即要求(4.4)此条件称为拉(压)杆的强度条件。对于等截面拉(压)杆，上式则变为(4.5)根据以上条件，可以进行下列形式的强度计算。

1．校核强度当已知杆件尺寸、材料许用应力和所受外力时，检验其是否满足强度条件的要求，即判断该杆在已知外力作用下能否安全工作。

2．选择截面尺寸如果已知杆件所受外力和材料许用应力，且截面形状确定，则可根据强度条件设计该杆的横截面尺寸。例如，对于等截面拉(压)杆来说，其所需横截面面积应为(4.6)

3．确定许可载荷如果已知杆件尺寸和材料许用应力，则根据强度条件可以确定该杆所能承受的最大轴力，其值为［FN］=A［σ］(4.7)进而可确定机器和工程结构所能承受的载荷。最后还应指出，如果最大工作应力σmax超过了许用应力［σ］，但只要超过量(即σmax－［σ］)小于许用应力［σ］的5%，在工程计算中仍然是允许的。下面举例说明强度条件的具体应用。

【例4.3】图4.19(a)所示气动夹具，最大拉力F=300kN。活塞杆用40铬合金钢制成，其许用应力［σ］=300MPa，活塞杆的直径d=44mm。试校核活塞杆的强度。图4.19

解活塞杆的受力情况如图4.19(b)所示。活塞杆内各横截面的轴力均为FN=F=300kN根据公式(4.2)可知，活塞杆截面上的正应力为可见,工作应力小于许用应力,活塞杆符合拉伸强度要求。

【例4.4】图4.20(a)所示吊环，由斜杆AB、AC与梁BC组成，α=20°。已知吊环的最大吊重F=500kN，斜杆用锻钢制成，其许用应力[σ]=120MPa。试确定斜杆的直径d。图4.20

解

(1)内力分析。吊环的计算简图和节点A的受力情况分别如图4.20(b)、(c)所示。由节点A

的平衡方程：∑Y=0，F－2FNcosα=0可知，斜杆的轴力为

(2)截面设计。根据公式(4.6)，得斜杆横截面的面积为即由此得斜杆横截面的直径为取d=54mm。

【例4.5】图4.21(a)所示简易旋臂式吊车，斜杆由两根50×50×5的等边角钢组成，水平杆由两根10号槽钢组成，材料都是Q235钢，许用应力[σ]=120MPa。整个三角架能绕OO1轴转动，电葫芦能沿水平杆移动。当电葫芦在图示位置时，求允许的最大起吊重量G(包括电葫芦自重)。两杆自重略去不计。图4.21

解(1)受力分析。

AB、AC两杆的两端均可简化为铰链连接，故吊车的计算简图如图4.21(b)所示。取节点A为研究对象，其分离体受力图如图4.21(c)所示。图中设AC杆受拉力，AB杆受压力。由汇交力系的平衡条件:根据所给尺寸求得α=30°，代入上式解得:

(2)应用强度条件求许可起吊重量G。对于AC杆，由型钢表查得AAC=2×4.8×102mm2。根据强度条件有由此解得:对于AB杆，由型钢表查得AAB=2×12.74×102mm2。根据强度条件有由此解得：为保证整个吊车的强度安全，取上述两个起吊重量中的较小者，即最大起吊重量不得超过57.6kN。最后请读者分析：在电葫芦可移动的情形下，对于拉杆AC，图示电葫芦的位置是否为可能的最危险位置？4.5变形分析与计算

1.纵向变形与线应变轴向拉、压杆件如图4.22所示。设杆的原长为L，在轴向载荷F

作用下，其长度变为L1，杆的纵向变形为ΔL=L1－L(4.8)图4.22

ΔL称为杆的绝对变形。其正负号规定为：伸长变形为正，缩短变形为负。对于变形不均匀的情形，ΔL并不能反映杆件的变形程度。为此，需引入新的物理量——线应变，用ε表示。设AB为受力前杆件上的微小线段，长为s，如图4.23所示。杆件受力后，假定A点固定不动，则AB变为AB′，变形量为Δs，定义(4.9)为A点沿s方向的线应变。线应变ε为无量纲量，规定拉为正，压为负。图4.23对于在长度L内变形均匀的拉、压杆件，纵向线应变为(4.10)

2.胡克定律工程上使用的大多数材料，其应力与应变关系的初始阶段都是线弹性的。即：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是胡克定律，可以写成:σ=Eε(4.11)式中，弹性模量E

的值随材料而不同。几种常用材料的E值已列入表4.3中。表4.3几种常用材料的E和μ的约值拉(压)杆横截面上的应力为将式(4.10)和式(4.12)代入式(4.11)，得这表示：当应力不超过比例极限时，杆件的变形量ΔL与轴力FN和杆件的原长度L成正比，与横截面面积A成反比。这是胡克定律的另一表达形式。从式(4.13)可以看出，对长度相同、受力相等的杆件，EA越大，则变形ΔL越小，故称EA为杆件的抗拉(或抗压)刚度。

3.横向变形与泊松比在受到拉伸、压缩时，杆件不仅有纵向变形，还有横向变形。如图4.22所示，拉、压杆的横向变形量为Δd=d1－d(4.14)式中的d、d1分别为变形前、后杆的横向尺寸。与纵向线应变ε的概念相似，拉、压杆的横向线应变ε′为(4.15)实验结果表明，当应力不超过材料的比例极限时，杆件的横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为一常数，即(4.16(a))μ称为横向变形系数或泊松比。它是一个无量纲的量，其值随材料而异，可由试验测定。由于ε′与ε的正、负号总是相反的，故上式又可写为ε′=－με(4.16(b))弹性模量E和横向变形系数μ都是材料的弹性常数。对于各向同性材料，各个方向上的μ值均相同。在弹性范围内，μ基本为定值，其数值范围为0＜μ＜0.5；超出弹性范围时，μ值逐步增大至0.5。表4.3中给出了几种常用材料的μ值。

【例4.6】图4.24(a)所示为一圆截面轴向拉、压杆件。已知F=4kN，L1=L2=100mm，d=10mm，该杆用45号钢制成，E=210GPa。试计算该杆的总伸长。图4.24

解杆件的轴力图如图4.24(b)所示，AB和BC段的轴力分别为由于两段杆的轴力不同，为了计算杆的总伸长，首先需要求出每一段杆的轴向变形(即纵向变形)。根据式(4.13)可知，AB与BC段的轴向变形分别为:所以，杆的总伸长为

【例4.7】图4.25中的M12螺栓内径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度L=80mm内产生的总伸长为ΔL=0.03mm，钢的弹性模量E=210GPa。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。图4.25

解拧紧后螺栓的应变为由胡克定律求出螺栓横截面上的拉应力为σ=Eε=210×109×0.000375=78.8×106Pa=78.8MPa螺栓的预紧力为F=Aσ=

(10.1×10－3)2×78.8×106=6310N=6.31kN4.6拉压简单超静定问题

1.超静定问题的概念和一般解法在前面所研究的杆或杆系问题中，支反力或内力等未知力都可通过静力平衡方程求得，这类问题属于静定问题。例如，求解图4.26(a)所示杆的约束力和求解图4.26(b)所示结构中1、2两杆的轴力都是静定问题。图4.26为了提高结构的强度和刚度，有时需要增加一些约束。例如，对图4.26(a)中的杆在B端增加刚性支承(图4.27(a))；又如，对图4.26(b)中的构架增添一根杆AD(图4.27(b))。对于这种在静定结构基础上增加的支座或杆，习惯上称为多余约束。多余约束必然带来相应的未知力，因此，全部未知力的数目必然超过可能列出的独立平衡方程的数目。这样，也就无法单凭静力平衡方程求得确定的解答。通常将这类不能单凭静力平衡方程求得确定解答的问题称为超静定问题。超过独立平衡方程数目的未知力个数，称为超静定次数。图4.27(a)及图4.27(b)中的问题均为一次超静定问题。图4.27显然，要确定超静定问题的全部未知力，除列出静力平衡方程外，还需建立与超静定次数相同数目的补充方程，才能进一步求得确定的解答。那么，如何建立补充方程呢？多余约束使结构由静定变为超静定，问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一方面。问题的另一方面是，多余约束对结构的变形有着限制作用，而变形和力又是紧密相联的，这就为求解超静定问题提供了补充条件。为此，可以在多余约束处寻找各构件变形之间的关系，即所谓“变形协调条件”，进而根据力和变形之间的“物理条件”(胡克定律)建立补充方程。总之，求解超静定问题需要综合考察平衡、变形和物理三个方面，这是分析超静定问题的基本方法。现举例说明求解超静定问题的一般过程。

【例4.8】图4.28(a)所示为一简单桁架，1、2杆具有相同的弹性模量E和截面积A，且长度相等；3杆的弹性模量为E3，截面积为A3，长度为L。若F、E、A、L、E3、A3和α均为已知，求三杆的内力。

解(1)受力分析。取节点A为研究对象，其受力情况如图4.28(b)所示。设三杆的轴力分别为FN1、FN2、FN3，此为平面汇交力系，有两个独立的平衡方程：(a)(b)但未知力有三个，故为一次超静定，尚需一个补充方程。图4.28

(2)变形协调条件。桁架受力后，为保持变形协调一致，三杆变形后必须联结在A1点，因而三杆的内力除满足平衡条件外，还必须使三杆的变形满足协调条件。由于桁架左、右对称，故可设加力后节点A垂直下移至A1，如图4.28(a)所示。图中的虚线表示杆件变形后的位置，3杆的伸长量ΔL3=。以B点为圆心,1杆的原长L/cosα为半径作圆弧,圆弧以外的线段即为1杆的伸长量ΔL1。由于变形很小，可用垂直于A1B的直线AE代替上述弧线，且仍可认为∠AA1B=α。另由对称性知，2杆的伸长量ΔL2与1杆的伸长量ΔL1相等。于是ΔL1=ΔL2=ΔL3cosα(c)此即变形协调条件。

(3)物理条件。根据胡克定律，在弹性范围内有(d)将式(d)代入式(c)，得到：此即求解未知力的补充方程。将其与平衡方程(a)、(b)联立，解得:(e)

2.装配应力和温度应力超静定结构的另一重要特性是：制造误差的存在以及温度的变化也会在超静定结构中引起应力。这些应力分别称为装配应力与温度应力。构件在制成后，有微小的尺寸误差是常见的。对于静定问题，这种微小误差不会在构件内引起内力。例如图4.26(a)所示的杆，如果制造得稍长了一些，则并不会影响该杆轴力的大小。但是，对于超静定问题，由于有了多余约束，情况就会不同。例如，要将长度为L+Δ

的杆(图4.29(a)，Δ为一微小量)装入相距为L的两刚性支座A、B(图4.29(b))之间，则在装好之后，杆必缩短Δ。此时，刚性支座A、B必对该杆施加轴向压力FR

(图4.29(c))，从而在该杆内引起轴力(压力)。相应地，杆