《工程力学》课件第9章

第9章应力状态、强度理论及其工程应用

9.1应力状态概述9.2二向应力状态分析——解析法9.3三向应力状态简介9.4广义胡克定律9.5强度理论概述9.6四种常用强度理论9.1应力状态概述

1.应力状态的概念对扭转和弯曲的研究表明，杆件内不同位置的点，一般情况下具有不同的应力。所以，一个点的应力是该点坐标的函数。然而就一点来说，通过这个点可以有无数个截面，在不同方位截面上，这个点的应力也不同，即截面上的应力又随截面方位的不同而变化，是截面方位角的函数。因此，凡提到“应力”，必须指明是哪个点、在哪个方位上。所谓“一点的应力状态”就是指过一点各个方位截面上的“应力情况”。应力状态理论就是研究通过一点的不同截面上的应力随截面方位的变化规律。

2.单元体为了表示一点的应力状态，一般是围绕该点取出一个三个方向尺寸均为无穷小的正六面体，简称为该点的单元体。在单元体的每个表面上标出已知的应力，称为该点的应力单元体。由于单元体是无限小的，因此可以认为：①单元体各面上的应力是均匀的；②单元体相互平行的截面上的应力相同，且同等于通过该点的平行面上的应力。所以，一个点的单元体的应力状态完全可以代表该点的应力状态。受力构件上一个点的应力单元体不是唯一的，在取单元体时，应尽量使其三对面上的应力容易确定。一般取三对面中的一对面为杆的横截面，另外两对面分别为垂直于横截面的纵向截面。图9.1给出了直杆在轴向拉伸时的应力单元体。图9.2给出了直杆在同时发生扭转和轴向压缩时某些点的应力单元体。图9.1图9.2

3.主应力、主平面、主单元体在构件内任一点总可以取出一个特殊的单元体，其三个相互垂直的面上都无切应力。这种切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。这种特殊的单元体称为主应力单元体。主应力单元体上三个主应力按代数值的大小排列为σ1≥σ2≥σ3。一般来说，受力构件上的任意点都可以找到三个互相垂直的主平面，因而每一点都有三个主应力。

4.应力状态分类应力状态可分为单向应力状态、二向应力状态和三向应力状态，如图9.3所示。单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零的情况称为单向应力状态，也称为简单应力状态。二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零的情况称为二向应力状态，也称为平面应力状态。三向应力状态：三个主应力都不等于零的情况称为三向应力状态。二向和三向应力状态也统称为复杂应力状态。图9.39.2二向应力状态分析——解析法

问题的提出二向应力状态下，已知通过受力构件上一点的某些截面上的应力：(1)求通过该点的其他截面上的应力；(2)确定主平面和主应力。

1.二向应力状态下单元体斜截面上的应力

分析方法用一个假想的截面将单元体从所考察的斜面处截为两部分，考察其中任意一部分的平衡，即可由平衡条件求得该斜截面上的正应力和切应力。这就是截面法，是分析单元体斜截面上应力的基本方法。

公式推导设单元体处于二向应力状态，如图9.4(a)所示，图9.4(b)是单元体的正投影。已知：σx,σy,τxy,τyx,斜面倾角为α。求：斜面α上的正应力σα和切应力τα。图9.4应力正、负号规定：正应力拉为正，压为负；对单元体内任意点的矩为顺时针转向时切应力为正，反之为负。斜面倾角α从x轴正向转到斜截面外法线为逆时针时为正。按照上述规定，在图9.4(a)(或图9.4(b))中，σx、σy、τxy和α都是正的，而τyx是负的。应力符号角标的含义：σx、σy分别表示法线与x、y轴平行的平面上的正应力；切应力τxy(或τyx)的第一个角标x(或y)表示切应力作用平面的外法线的方向，第二个角标表示切应力的方向平行于y轴(或x轴)。用截面把单元体沿ef面(截面ef平行于z轴，与坐标平面xy垂直)截开，保留eaf部分，如图9.4(c)所示。设ef面的面积是dA，则af面和ae面的面积应分别是dAsinα和dAcosα，如图9.4(d)所示。研究三棱柱单元eaf的平衡得：∑Fn=0σadA+(τxydAcosα)sinα－(σxdAcosα)cosα

+(τyxdAsinα)cosα－(σydAsinα)sinα=0∑Ft=0

τadA－(τxydAcosα)cosα－(σxdAcosα)sinα

+(τyxdAsinα)sinα+(σydAsinα)cosα=0根据切应力互等定理，τyx和τxy在数值上相等，代入上面两式，化简后得到：(9.1)(9.2)公式(9.1)和(9.2)就是二向应力状态时任意斜截面上正应力和切应力的计算公式。它适用于所有二向应力状态，包括单向、纯剪切等特殊的二向应力状态。

2.主平面和主应力从公式(9.1)和(9.2)中可以看出，斜截面上的正应力和切应力都是斜面倾角α的函数，通过函数求极值的方法就可以得到正应力和切应力的极值，并确定它们所在平面的位置。令(a)则可以得到：(9.3)由上式可以求出相差90°的两个角度：α0、α0+90°，确定相互垂直的两个平面，对应截面上的正应力的极大值和极小值。比较式(a)和公式(9.2)可以看出：正应力的极大值和极小值对应的平面正好是切应力为零的平面，即该平面是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力，这也证明了主应力是相互垂直的。

结论：在切应力为零的平面上正应力取极大值和极小值，即最大正应力和最小正应力就是主应力，所在的平面为主平面。将从公式(9.3)中求出的sin2α0和cos2α0代入公式(9.1)，就可以求出最大和最小的正应力为(9.4)在α0、α0+90°所确定的两个互相垂直的平面中，究竟哪个平面上是σmax，哪个平面上是σmin呢？这个问题的判别方法有许多种，这里仅介绍其中的一种方法。σmax所在主平面的外法线矢量总是在τxy矢量所指向的那一侧，即如果应力单元体右面上的τxy向下(τxy>0)，则Ⅱ、Ⅳ象限的主平面就是σmax所在平面；如果应力单元体右面上的τxy向上(τxy<0)，则Ⅰ、Ⅲ象限的主平面就是σmax所在平面。公式(9.4)用于计算单元体主应力的大小：

(1)若σmax>0,σmin<0,则σ1=σmax,σ2=0,σ3=σmin。

(2)若σmax>0,σmin>0,则σ1=σmax,σ2=σmin,σ3=0。

(3)若σmax<0,σmin<0,则σ1=0,σ2=σmax,σ3=σmin。

3.最大和最小切应力用完全相同的求函数极值的方法，可以求出切应力的最大值和最小值为(9.5)对应的平面倾角为(9.6)由上式可以求出两个相差90°的平面，分别对应最大和最小切应力。比较公式(9.3)和(9.6)可以看出：2α1=2α0+90°，α1=α0+45°，即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。需要特别指出的是，公式(9.5)所求出的最大切应力，只是垂直于xy平面的斜截面上的切应力之最大值，它不一定是过一点的所有斜截面上的切应力之最大值。9.3三向应力状态简介本节简单介绍一下三向应力状态。设受力构件上某点处于三向应力状态，其主应力单元体如图9.5(a)所示。图9.5在平行于主应力σ1的任意斜截面上，正应力和切应力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方位面上的应力时，所研究的应力状态可以看做如图9.5(b)所示的平面应力状态，其斜截面上的正应力和切应力可以由公式(9.1)和(9.2)计算。这时，式中的σx=σ3，σy=σ2，τxy=0。同理，对于平行于主应力σ2和σ3方向的另外两组斜截面上的正应力和切应力，则分别与σ2和σ3无关。当研究这两组斜截面上的应力时，也可以将所研究的应力状态看做如图9.5(c)和图9.5(d)所示的平面应力状态。其斜截面上的应力同样可以由公式(9.1)和(9.2)计算。应用公式(9.5)可以计算出分别平行于σ1、σ2和σ3三组斜截面上的最大切应力为(9.7)进一步的分析可以证明，过一点的所有斜截面上的切应力之最大值是上述三个切应力中的最大值，即：(9.8)平面应力状态是三向应力状态的特殊情况，因此，计算最大切应力时应该在三向应力状态下考虑，即应根据公式(9.8)来计算。

【例9.1】分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。

解轴向拉伸时，杆件上任意一点的应力状态为单向应力状态，如图9.1所示。σx=σ，σy=0，τxy=0。根据公式(9.1)和(9.2)可得，任意斜截面上的应力为可见，当α=45°时，切应力τα取最大值：。本题还可直接根据公式(9.8)求出：结果表明，最大切应力发生在与轴线成45°角的斜面上，这正是屈服时试件表面出现滑移线的方向。因此可以认为，屈服是由最大切应力引起的。

【例9.2】受力构件上某点的应力状态如图9.6所示。

(1)求45°斜截面上的应力；

(2)求主应力并确定主平面；

(3)求最大切应力。图9.6

解根据应力的正负规定可以看出：σx=25MPaσy=－75MPaτxy=－40MPa

(1)45°斜截面上的应力：

(2)主应力：所以σ1=39MPa，σ2=0，σ3=－89MPa所以取2α0=38.66°，α0=19.33°因为应力单元体右面上的τxy向上，则Ⅰ、Ⅲ象限的主平面就是σmax所在平面，由此作出主应力单元体如图9.6所示。

(3)最大切应力：

【例9.3】受力构件上某点的应力状态如图9.7(a)所示,应力单位是MPa。图9.7

(1)求主应力；

(2)求最大切应力。

解(1)主应力。这是一个三向应力状态，可以看出左、右面就是主平面，对应的正应力σ′=50MPa就是一个主应力。其余的应力构成一个二向应力状态，左视图如图9.7(b)所示。根据应力的正负规定可以看出：σ1=52.2MPa，σ2=50MPa，σ3=－42.2MPa

(2)最大切应力：9.4广义胡克定律前面已经介绍了轴向拉伸或压缩的胡克定律：

σ=Eε

或横向线应变为现在介绍复杂应力状态下σ和ε之间的关系。设受力构件上某点处于三向应力状态，它的主应力单元体如图9.8所示，求沿三个主应力σ1、σ2和σ3方向的三个线应变。这种沿主应力方向的线应变称为主应变，分别用ε1、ε2和ε3表示。图9.8对于各向同性材料，在最大正应力不超过材料的比例极限条件下，可以应用胡克定律和叠加法来求主应变。为此，将此三向应力状态看做是三个单向应力状态的组合(如图9.8所示)。σ1、σ2和σ3分别作用时，在σ1方向引起的线应变分别为、和，将这三项叠加即得：，同理可以求出ε2和ε3。经整理后即得(9.9)公式(9.9)就是复杂应力状态下主应力和主应变之间的关系。它是以主应力表示的广义胡克定律，式中E和μ分别为材料的拉压弹性模量和泊松比。可以证明，由公式(9.9)求出的主应变满足关系ε1≥ε2≥ε3。ε1是一点处的最大线应变，即εmax=ε1

(9.10)(9.11)

可以证明，在线弹性范围内，对于任意相互垂直的三个方向x、y和z，胡克定律同样成立，即

【例9.4】在一个体积比较大的钢块上有一个直径为5.001cm的凹座，凹座内放置一个直径为5cm的钢制圆柱(图9.9(a))，圆柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，已知E=200GPa，μ=0.3。试求该圆柱的主应力。图9.9

解圆柱体横截面上的正应力为在轴向压缩下，圆柱将产生横向膨胀。在它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p(图9.9(b))。在圆柱体内任取一点，可以证明该点所受的径向压应力和环向压应力相等，即：σ″=σ=－p又因为假设钢块不变形，所以柱体在径向只能发生由于塞满凹座而引起的应变，其数值为根据广义胡克定律得：由此求出P=8.43MPa所以，柱体内各点的三个主应力为σ1=σ2=－p=－8.43MPa，σ3=－153MPa，如图9.9(c)所示。9.5强度理论概述

1.材料的破坏形式在强度问题中，失效或破坏形式大致可以分为两种，即脆性断裂和塑性屈服。脆性断裂是指在外力作用下，由于应力过大而产生裂缝并导致断裂，例如，铸铁在拉伸和扭转时的破坏属于脆性断裂。这种破坏的特点是，在没有明显的塑性变形的情况下突然发生断裂，断裂发生在最大正应力的作用面上。塑性屈服是指在构件上出现一定量的塑性变形，例如，低碳钢在拉伸和扭转时的屈服破坏。材料无论出现脆性断裂或塑性屈服，构件都会丧失正常工作能力。

2.简单应力状态的强度条件在前面几章各基本变形的强度分析中，建立了相应的强度条件，它们可以概括为或其中：n是安全系数；极限应力σ0或τ0是通过试验测定出来的，称为失效应力。对于脆性材料，σ0就是强度极限σb；对于塑性材料，σ0就是屈服极限σs。

3.复杂应力状态的强度理论在复杂应力状态下，σ1、σ2和σ3的比值可以有无数多种组合形式，即使对于同一种材料，在不同的主应力比值下，材料的失效应力值也是各不相同的。例如三向等拉时，在很小的应力数值下材料就会失效；三向等压(静水压力)时，应力数值达到很大时材料都不会失效。所以，根本不可能对每一种主应力比值一一进行试验来测定材料破坏时的极限应力。对于复杂应力状态，一般是依据部分试验结果，经过推理、分析来建立失效准则。推理思路是：将简单应力状态看成复杂应力状态的特殊情况，将简单应力状态与复杂应力状态联系在一起，然后利用简单应力状态下试验得到的材料破坏时的极限应力，根据材料的破坏规律，寻找同一种失效形式的共同因素，经过推理来建立复杂应力状态下材料的破坏准则和强度条件。于是，对材料在不同应力状态下失效的共同原因提出了各种不同的假说，来推测材料失效的原因。这类假说称为强度理论。强度理论既然是推测强度失效的一些假说，它正确与否，适用于什么情况，必须由生产实践来检验。经常是适用于某种材料的强度理论，并不一定适用于另一种材料；在某种条件下适用的理论，却并不一定适用于另一种条件。9.6四种常用强度理论

1.关于断裂失效的强度理论

1)第一强度理论(最大拉应力理论)这一理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。即认为无论是什么应力状态，只要最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，则材料就发生断裂。既然该理论认为断裂失效与应力状态无关，我们就可以利用单向应力状态的最大拉应力和试验结果来得到断裂准则为

σ1=σb(9.12)将极限应力σb除以安全系数即可得到许用应力［σ］。所以，第一强度理论的强度条件是σ1≤［σ］(9.13)讨论：第一强度理论基本上能反映脆性材料的实际情况，适用于铸铁、硅石、陶瓷、玻璃等脆性材料有拉应力存在的情况；对于一点在任何截面上都没有拉应力时，该理论就不适用。脆性材料扭转也是沿拉应力最大的斜截面发生断裂，与此理论相符合。

2)第二强度理论(最大伸长线应变理论)这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到与材料性质有关的某一极限值，则材料就发生断裂。既然该理论认为断裂失效与应力状态无关，我们就可以利用单向应力状态的最大伸长线应变和试验结果来得到断裂准则为(a)利用广义胡克定律得到：将上式代入(a)式就得到断裂准则为σ1－μ(σ2+σ3)=σb(9.14)将极限应力σb除以安全系数即可得到许用应力［σ］。所以，第二强度理论的强度条件是σ1－μ(σ2+σ3)=［σ］(9.15)讨论：第二强度理论适用于铸铁在拉—压二向应力状态且压应力较大的情况；适用于石料、混凝土等脆性材料的单向压缩。在一般情况下，第二强度理论并不比第一强度理论更符合试验结果。

2.关于屈服失效的强度理论

1)第三强度理论(最大切应力理论)这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到与材料性质有关的某一极限值时，材料就发生屈服。既然该理论认为屈服失效与应力状态无关，我们就可以利用单向应力状态的最大切应力和试验结果来得到屈服准则为τmax=τ0(b)根据公式(9.8)知：(c)在单向应力状态下：(d)将(c)式和(d)式代入(b)式，就得到屈服准则为σ1－σ3=σs

(9.16)将极限应力σs除以安全系数即可得到许用应力［σ］。所以，第三强度理论的强度条件是σ1－σ3≤［σ］(9.17)讨论：试验表明，第三强度理论与有关塑性材料的许多试验结果比较接近，结果偏于安全。由于其形式简单，计算方便，因而应用相当广泛。

2)第四强度理论(形状改变比能理论)弹性体在外力作用下将发生变形，载荷作用点随之产生位移，因此在弹性体变形过程中，载荷在相应位移上作功。由能量守恒定律可知，如果所加外载荷是静载荷，则载荷所作之功全部转化为积蓄在弹性体内部的能量，称之为弹性变形能。处在应力作用下的单元体，其形状和体积一般都会发生改变，所以变形能又可以分解为体积改变能和形状改变能，而单位体积内的体积改变能和形状改变能分别称为体积改变比能和形状改变比能。在复杂应力状态下，形状改变比能的计算公式为(省略推导)：(9.18)形状改变比能理论认为形状改变比能是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要形状改变比能vd达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。既然该理论认为屈服失效与应力状态无关，我们就可以利用单向应力状态的形状改变比能和试验结果来得到屈服准则为(e)在单向应力状态下：(f)将(f)式代入(e)式，整理后就得到屈服准则为(9.19)将极限应力σs除以安全系数即可得到许用应力[σ]。所以，第四强度理论的强度条件是(9.20)讨论：第四强度理论是从反映受力和变形综合影响的变形能出发来研究材料强度的，因此更全面和完善。试验表明，对塑性材料，第四强度理论比第三强度理论更符合试验结果，工程上应用也较为广泛。

3.强度条件的统一表达式上面所述的四种强度理论可以用一个统一的表达式表示为σr≤［σ］(9.21)式中σr称为相当应力，它并不是实际存在的应力，而是由强度理论得出的复杂应力状态下三个主应力按照一定形式的组合值，相当于把复杂应力状态转化为强度相当的单向应力状态，然后建立强度条件。按照从第一强度理论到第四强度理论的顺序，相当应力分别为(9