2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算-专项训练模拟练习【含解析】

2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算-专项训练模拟练习【A级基础巩固】一、单选题1．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)cosx，则f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)2．函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx的图象在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2ex－e－1 B．y＝2ex－e＋1C．y＝2ex＋e－1 D．y＝2ex＋e＋13．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋eq\f(a,ex)是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则切点的横坐标为()A．a B．eC．ln2 D．15．已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,2e)C．eq\f(1,e) D．eq\f(1,e2)6．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2)C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2)D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)7．若曲线y＝alnx＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则a＝()A．eq\f(1,24) B．eq\f(3,8)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,2)8．若直线l与曲线f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)相切，则直线l的斜率的最大值为()A．eq\f(ln2,2) B．1－eq\f(ln2,2)C．eq\f(1,2) D．ln2二、多选题9．下列求导运算不正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx10．若直线y＝eq\f(1,2)x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinx D．f(x)＝ex11．已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是()A．f(2)＝－1B．f(1)·f(2)>4C．f′(1)·f′(2)<0D．方程f′(x)＝0无解12．已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则()A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)有两个零点C．曲线y＝f(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))处的切线的斜率为－1－ln2D．f(x)是偶函数三、填空题13．(1)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为_e__；(2)若f(x)＝sin4x－cos4x则y′＝____________.14．曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_____________.15．若曲线y＝lnx在点P(e,1)处的切线与曲线y＝eax相切，则a＝____________.16．请你举出与函数f(x)＝e2x－1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：____________.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．y＝lneq\f(1,x)的导函数为()A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()3．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)4．已知曲线C：y＝xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)5．(多选题)若两曲线y＝x2－1与y＝alnx－1存在公切线，则正实数a的取值可能是()A．1.2 B．4C．5.6 D．2e6．阅读材料：求函数y＝ex的导函数．解：因为y＝ex，所以x＝lny，所以x′＝(lny)′，所以1＝eq\f(1,y)·y′，所以y′＝y＝ex.借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))在点(1,1)处的切线方程为()A．y＝4x－3 B．y＝4x＋3C．y＝2x－3 D．y＝2x＋3参考答案【A级基础巩固】一、单选题1．(C)[解析]f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,π).故选C．2．(A)[解析]由函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx知f(1)＝e－1，f′(x)＝ex－1＋xex＋eq\f(1,x)，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e，在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝2e(x－1)，化简得y＝2ex－e－1.故选A．3．(B)[解析]由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)<0.4．(C)[解析]由f(x)为偶函数，易得a＝1.∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝eq\f(3,2)，解得x0＝ln2.5．(C)[解析]设切点坐标为(x0，lnx0)，由y＝lnx的导函数为y′＝eq\f(1,x)知切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(x,x0)＋lnx0－1.由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,x0)，,lnx0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,e).6．(A)[解析]先由f(x)的图象，确定f(x)的单调性，再根据图象斜率的变化情况，判断f′(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断，即可得到答案．由函数f(x)的图象可知，当x≥0时，f(x)单调递增，所以f′(2)>0，f′(4)>0，f(4)－f(2)>0，由此可知，f′(x)在(0，＋∞)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f′(x)单调递增，所以f′(2)<f′(4)，则2f′(2)<2f′(4)，因为f′(2)<eq\f(f4－f2,4－2)<f′(4)，所以2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)．故选A．7．(B)[解析]因为y＝alnx＋x2(a>0)，所以y′＝eq\f(a,x)＋2x≥2eq\r(2a)，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以斜率k≥eq\r(3)，因为eq\r(3)＝2eq\r(2a)，所以a＝eq\f(3,8).8．(C)[解析]由f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)，可得f′(x)＝eq\f(4ex,ex＋22)＝eq\f(4,ex＋\f(4,ex)＋4).因为ex＋eq\f(4,ex)＋4≥2eq\r(ex·\f(4,ex))＋4＝8，当且仅当ex＝eq\f(4,ex)，即ex＝2，x＝ln2时等号成立，所以0<f′(x)≤eq\f(1,2)，所以直线l的斜率的最大值为eq\f(1,2).二、多选题9．(ACD)[解析]因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C不正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正确．故选ACD．10．(BCD)[解析]直线y＝eq\f(1,2)x＋b的斜率k＝eq\f(1,2)，f(x)＝eq\f(1,x)的导数为f′(x)＝－eq\f(1,x2)，即切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，令4x3＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,2)，故B正确；f(x)＝sinx的导数为f′(x)＝cosx，而cosx＝eq\f(1,2)有解，故C正确；f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，令ex＝eq\f(1,2)，解得x＝－ln2，故D正确．故选BCD．11．(BC)[解析]结合函数图象及奇函数性质分别判断各选项即可．由图可知f(－1)＝2，f(－2)>2，又∵函数f(x)是奇函数，∴f(1)＝－2，f(2)<－2，∴f(1)·f(2)>4，∴B对；由f(x)是奇函数，结合图象可知f′(1)<0，f′(2)>0，∴f′(1)·f′(2)<0，∴C对；由图象可知f(2)＝－f(－2)<－2，f′(x)＝0有解，∴A、D错误．故选BC．12．(AC)[解析]f(x)＝xln(x＋1)，所以当x>0时，f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；令xln(x＋1)＝0，所以x＝0或ln(x＋1)＝0，所以x＝0，故f(x)只有1个零点0，所以B不正确；f′(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(x,x＋1)，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝lneq\f(1,2)－1＝－1－ln2，所以C正确；定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正确．故选AC．三、填空题13．[解析](1)∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))，∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.(2)∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.14．[解析]设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝lnx＋x＋1得y′＝eq\f(1,x)＋1，则在该切点处的切线斜率k＝eq\f(1,x0)＋1，即eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.15．[解析]因为y＝lnx，所以y′＝eq\f(1,x)，则y′|x＝e＝eq\f(1,e)，所以曲线y＝lnx在点P(e,1)处的切线方程为y＝eq\f(1,e)x.设y＝eq\f(1,e)x与y＝eax相切于点(x0，eax0)，因为(eax)′＝aeax，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aeax0＝\f(1,e)，,eax0＝\f(1,e)x0，))则aeax0＝eq\f(eax0,x0)，a＝eq\f(1,x0)，可得x0＝e2，从而a＝e－2.16．[解析]函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x，可得在(0,0)处的切线的斜率为2，切线的方程为y＝2x，可取y＝x2＋2x，其导数为y′＝2x＋2，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝sin2x，其导数为y′＝2cos2x，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝2ex－2，其导数为y′＝2ex，满足在(0,0)处的切线的斜率为2.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(A)[解析]∵y＝lneq\f(1,x)＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x).2．(D)[解析]由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C．又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B．3．(C)[解析]设f′(3)，f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C．4．(A)[解析]对函数y＝xex求导得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex.设切点坐标为(x0，x0ex0)，则曲线y＝xex过点A(a,0)的切线的斜率k＝(1＋x0)ex0＝eq\f(x0ex0,x0－a)，化简得xeq\o\al(2,0)－ax0－a＝0.依题意知，上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根．所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)>0.解得a<－4或a>0.5．(ABD)[解析]设公切线与两曲线的切点，利用导数求得过切点的切线方程，再由斜率相等、直线在y轴上的截距相等列式，可得a＝－4xeq\o\al(2,2)(lnx2－1)，令g(x)＝－4x2(lnx－1)(x>0)，再由导数求最值得答案．切线与两曲线y＝x2－1与y＝alnx－1的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x2－1，得y′＝2x，由y＝alnx－1，得y′＝eq\f(a,x)，则两