2024年高考数学复习专项突破：函数的概念与性质（含答案及解析）

专题05函数的概念与性质

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对函数的考查，重点是函数的单2023•新高考I卷,4

调性、奇偶性、对称性、周期性，需要森、指、对函数的图像与性质2023•新高考I卷,10

关注周期性、对称性、奇偶性结合在一2023•新高考n卷,4

起，与函数图像、函数零点和不等式相2022•新高考I卷，12

结合进行考查。2023•新高考I卷,11

抽象函数的性质

2.高考对函数的考查重点关注以基本初2024•新高考I卷,8

等函数组成的复合函数以及抽象函数2022•新高考n卷，8

为载体，对函数内容和性质进行考查，函数与不等式结合2024・新高考n卷，8

考查函数的定义域、值域，函数的表示2024•新高考I卷，6

方法及性质（单调性、奇偶性、对称性、分段函数、三次函数的图像与性质2024•新高考I卷，10

周期性）、图像等。2024•新高考II卷，11

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。II

卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。总体来说函数主要以课程学习情景

为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难

题，而且常考常新。函数考查应关注：（1）指数函数、对数函数、赛函数及一次函数、二次函数的图像和

性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本

质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知识

点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。

（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用,

注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。

试题精讲

一、单选题

—x2—2ax—a.x<0

I.(2024新高考I卷-6)己知函数为〃x)=,,八，在R上单调递增，则.取值的范围是

[e+ln(^+l),x>0

()

A.(-«,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

2.(2024新高考I卷-8)已知函数为/(x)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时〃x)=x,

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

3.(2024新高考n卷-8)设函数〃x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,则1+〃的最小值为()

111

A.—B.—C.-D.1

842

二、多选题

1.(2024新高考I卷-IO)设函数〃X)=(X-1)2(X-4),则()

A.x=3是/⑴的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当一l<x<0时，/(2-x)>/(x)

2.(2024新高考II卷•“)设函数〃x)=2x3-3办2+1,则()

A.当“>1时，有三个零点

B.当。<0时，x=0是/(x)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线V=〃x)的对称中心

近年真题精选

一、单选题

1.(2023新高考I卷-4)设函数/(x)=2«e在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-«=,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+«)

22

2.2022新高考n卷-8)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+了)+“x-了)=J(l)=1,则£f"

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

2-i

3.(2023新高考n卷-4)若/(x)=(x+a)lnr^^为偶函数，贝lja=().

A.-1B.0C.yD.1

二、多选题

1.(2022新高考I卷•12)己知函数/(x)及其导函数/(x)的定义域均为R,记g(x)=7'(x),若/'g-Zx

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g［一£|=°C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

2.(2023新高考I卷-10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20xlg二，其中常数p°(A>0)是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为口,2,P3,则().

A.px>P2B.22〉10。3

C.P3='OOPoD.P1WIOOP2

3.(2023新高考I卷•门)已知函数/(x)的定义域为R,/(xy)=//(x)+x2/(y),则().

A./(0)=0B.〃1)=0

C.是偶函数D.x=0为的极小值点

强备知迟避圮

一、函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：

(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

(4)零次幕或负指数次幕的底数不为零；

(5)三角函数中的正切y=tanx的定义域是£火，且xwAx+5,左EZ

(6)已知/(X)的定义域求解/［g(x)］的定义域，或已知/［g(x)］的定义域求/(X)的定义域，遵循两

点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则〕下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

二、基本初等函数的值域

（1）y=kx+b（k^Q）的值域是R.

（2）y=62+6x+c（〃wo）的值域是：当。〉0时，值域为｛"24。；”｝；当。＜0时，值域为

（3）y=—（k^0）的值域是｛引夕士0｝.

（4）y=a*（a＞0且。W1）的值域是（0,+oo）.

（5）y=log。x（a＞0且aW1）的值域是及.

三、函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数/（X）的定义域为/,区间

如果对于。内的任意两个自变量的值匕，与当玉时，都有/区）＜/（2）,那么就说了（X）在区间。上是

增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值与，X?,当不＜当时，都有了区）＜〃七），那么就说/（X）在区间。上

是减函数.

①属于定义域/内某个区间上；

②任意两个自变量X1,X?且为＜£；

③都有/（%1）＜/区）或/'（再）＞/（x2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

（2）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）

函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

四、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X，都有/（-x）=/（x）,那

偶函数关于y轴对称

么函数/（X）就叫做偶函数

奇函数如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（-X）=-f（X）,关于原点对称

那么函数/(X)就叫做奇函数

判断了(-x)与/(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果/(-x)-〃x)=O或止2=I(/(X)NO),则函数/(X)

/(X)

为偶函数;如果/(-x)+〃x)=O或』且=-l(〃x)wO),则函数/(x)为奇函数.

/(X)

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,-X也

在定义域内(即定义域关于原点对称).

五、函数的对称性

(1)若函数y=/(x+a)为偶函数，则函数y=/(x)关于x=a对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(0,0)对称.

⑶若/(x)=/(2a-x),则函数/(x)关于x=o对称.

⑷若/(x)+/(2a-x)=2b,则函数f(x)关于点(a,b)对称.

六、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+T)=/(x),那

么就称函数y=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/(%)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做/(%)的最小正周期.

七、常见的寨函数图像及性质

_1_

y=x23-1

函数y=xy=xy=x2y=x

y

VVV1

图象(1/

TV0x

定义域RRR{xx>0}{xxw0}

值域R3玲0}R3玲0}{y|yw0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(-co,0)上单调递在(-00,0)和

在R上单在R上单调递在［0,+oo)上单调

单调性减，在(0,+8)上单(0,+oo)上单调递

调递增增递增

调递增减

公共点(1,1)

八、指数及指数运算

1、指数

⑴根式的定义：

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的"次方根，其中(〃>1,neN*),记为五'，〃称为根指数，。称为

根底数.

(2)根式的性质：

当〃为奇数时，正数的“次方根是一个正数，负数的"次方根是一个负数.

当”为偶数时，正数的“次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幕运算优(aw0)中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，幕

运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数塞的分类

〃个

①正整数指数幕〃=a7］二二②零指数塞。。=1("0);

③负整数指数累aF=g(awO,〃eN*)；④0的正分数指数累等于0,0的负分数指数募没有意义.

(5)有理数指数幕的性质

①屋优=屋+"(。>0,m,n&Q).②(屋)"=屋"0>0,m,〃e。)；

@(ab)m=ambm(a>0,b>0,m&Q).④)叱=/(a>Q，m,〃e0).

2、指数函数

y=ax

0<4<1a>\

图

1

象

-o]；彳

~o\1X

性①定义域R,值域(0,+8)

质②°。=1,即时x=0,尸1,图象都经过(0，1)点

③a』，即x=l时，N等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，ax>1;%>0时，0<ax<1x<0时，0<罐<1；%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

九、对数及对数运算

1、对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果优=N(a>0且。*1),那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log.N,读

作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常见对数：

①一般对数：以。(。>0且为底，记为log〉读作以。为底N的对数;

②常用对数：以10为底，记为IgN；

③自然对数：以e为底，记为InN；

(3)对数的性质和运算法则：

①log：=0；log：=l；其中。>0且awl；

②0叫,=双(其中0>0且awl，N>0)；

③对数换底公式：1°8煞=器1；

④log”(MN)=log„M+log”N■

⑤log”空=log“M-log”N；

77

⑥logb"=—log。b(m,He7?)；

m

⑦Z=6和logJ=6；

⑧皿=康；

2、对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数y=log.x(。>。且叫做对数函数.

对数函数的图象

a>\0<q<1

lAlrr

\(1,0)…

图象°Z(i,o)

定义域:(o,+CO)

值域：R

过定点(1，0),即x=l时，j=0

性质

在(0,+8)上增函数在(0,+到上是减函数

当0vx<l时，y<0,当时，当0<xvl时，歹〉0,当N之1时，

y>0

十、函数与方程

1、函数的零点

对于函数7=f(x),我们把使〃x)=0的实数x叫做函数了=的零点.

2、方程的根与函数零点的关系

方程/(x)=0有实数根o函数y=的图像与x轴有公共点o函数y=〃x)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数)=/(x)在区间［a,6］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有那么函数>=/(%)

在区间(见6)内有零点,即存在ce(a,6),使得〃c)=0,c也就是方程=0的根.

4、二分法

对于区间［凡用上连续不断且〃。/伍)<0的函数〃x),通过不断地把函数/(x)的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

/(x)=0的近似解就是求函数零点的近似值.

5、用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤

(1)确定区间可,验证/(b)<0,给定精度£.

(2)求区间(a,6)的中点

(3)计算〃xj.若/(网)=0,则不就是函数〃X)的零点；若/⑷•〃再)<0,则令6=天(此时零点

xoe(a,Xj)).^/(Z?)-/(X］)<O,则令a=西(此时零点x。e(%,6))

(4)判断是否达到精确度£,即若卜-N<£,则函数零点的近似值为。(或6)；否则重复第(2)—(4)

步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【函数性质常用结论】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设乙是〃x)定义域内一个区间上的任意两个量，且再<%;

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区

间.

(3)记住几条常用的结论：

①若/(x)是增函数，则"(x)为减函数；若是减函数，则-为增函数；

②若/(X)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(X)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函数；

③若〃x)>0且/(x)为增函数，则函数而为增函数，,为减函数；

“X)

④若/(x)>0且/(X)为减函数，则函数J/(x)为减函数,——为增函数.

/(X)

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(x)是偶函数O函数/(x)的图象关于丁轴对称；

函数/(x)是奇函数O函数/(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=〃x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=/(x)必满足/(x)=/(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个

区间上单调性相同.

(5)若函数/(%)的定义域关于原点对称，则函数〃x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g(x)=1[/(x)+/(-x)]，A(x)=1[/(x)-/(-%)]，则/(x)=g(x)+A(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,

如/(X)+g(x),/(x)-g(x),/(x)xg(x),/(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶=非奇非偶；

奇X")奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(7)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数〃刈=掰(3)(/0)或函数/团=掰(以1).

aa+\

②函数/(x)=±(ax'-ax).

③函数〃x)=log“=10g(1+或函数/(x)=log=log“(1一-—)

x-mlix-mflx+mx+m

注意：关于①式，可以写成函数小i+看人。)或函数

偶函数：①函数/(工)=±(/+°7).

②函数〃%)=1。&(。'"+1)-当・

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xwR)周期

/(x+7)=/(x)T

/(x+r)=-/(x)2T

〃x+T)=I；/(x+T)=-1

IT

/(x)/(x)

/(x+T)=/(x-r)2T

f(x+T)-T)4T

1/(a+x)=/("x)

2(6-〃)

[f(b+x)=f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

1/(x)为偶函数2a

[f(a+x)=-f{a-x)

2(6-Q)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+x)=-f(a-x)

2a

〃x)为奇函数

7(a+x)=/(a-x)

4(6-〃)

f(b+x)=-f(b-x)

J/(a+x)=/(a-x)

[/(x)为奇函数4Q

[f(a+x)=-f(a-x)

4Q

/(x)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=〃x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且T=2(6-〃)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(6-a);

(3)若函数y=〃x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(6,0)(。<6)，则函数y="X)是周期函数，且

T=4(%-a).

5、对称性技巧

(1)若函数歹=/(%)关于直线％=a对称，则f(a+x)=f(a-x).

(2)若函数y=/(x)关于点(a,b)对称，则f{a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函数y=/(。+%)与、=/(a-x)关于V轴对称，函数y=/(a+%)与y=关于原点对称.

名校模拟探源

一、单选题

1.（2024•黑龙江齐齐哈尔•三模）若〃x）=」^sinx为偶函数，贝!|“=（）

1+e

A.1B.0C.-1D.2

2.（2024•湖南邵阳•三模）是“函数=（。>0且。片1）在R上单调递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024•湖南长沙•三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•

里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为/=1&4-1四，其中M表示某地地震的里氏震级，A

表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，4表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中,

某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震

的里氏震级约为（）（参考数据：lg2”0.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

4.（2024•河北・二模）已知函数y=/（x-l）为奇函数，则函数>=/（x）+l的图象（）

A.关于点（U）对称B.关于点（1,-1）对称

C.关于点（-U）对称D.关于点对称

x-lax,x>1

5.（2024・陕西渭南•二模）已知函数〃x）=a,,是R上的增函数，则实数。的取值范围是（）

—x-l,x<1

12

A.（0,1）B.呜C.（0,1）D.（0,1]

6.（2024・湖北•二模）已知函数/（x）=log5（优-2）在[1,+⑹上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（1,+<»）B.[In2,+oo）C.（2,+co）D.[2,+co）

2X

7.（2024•宁夏银川•三模）已知函数/（x）=¥、，则下列说法不正确的是（）

A.函数单调递增B.函数值域为（0,2）

C.函数/（x）的图象关于（0,1）对称D.函数的图象关于（U）对称

8.（2023•辽宁葫芦岛•二模）已知函数/（x）=/-x+l,则（）

A./（x）有一个极值点

B./（x）有两个零点

C.点（0,1）是曲线>=/（x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

9.(2024•宁夏银川•三模)已知函数/(6=丁-7/+14%-.有3个零点为，X2,x3(x,<x2<x3),有以下

四种说法：

①占>0

②》3<4

③存在实数Q，使得不，X2,七成等差数列

④存在实数Q，使得不，X?,七成等比数列

则其中正确的说法有()种.

A.1B.2C.3D.4

(。-1丫--,X<1

4(。的值域为。，)则。的取值范

10.(2024•河北保定•三模)已知/(x)h>1)Zc[-,+oo),

a

XH-----1,X>1

、X

围是()

35537

A.[-,2]B.C.[-,2)D.[-,2]

11.(2024・河南•三模)设函数〃x)的定义域为R,.n=〃x-l)+l为奇函数，y=/(》-2)为偶函数，若

“2024)=1,则〃-2)=()

A.1B.-1C.0D.-3

12.(2024•四川三模)己知定义在R上的函数在区间[T。]上单调递增，且满足〃4-x)=/(x),

=则()

A.£/■㈤=0B./(0.9)+/(1.2)>0C./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</fln^

k=\\)

13.(2024・四川•三模)定义在R上的函数>=/(x)与y=g(x)的图象关于直线x=l对称，且函数

y=g(2x-i)+i为奇函数，则函数了=/(无)图象的对称中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

二、多选题

14.(2024•全国•模拟预测)已知函数/'。)=X3+苏+bx+c下列结论中正确的是()

A.若/'(x0)=0,则%是/(x)的极值点

B.3x0eR,使得/(%)=0

C.若%是/(x)的极小值点，则/(x)在区间(-8,%)上单调递减

D.函数了=/(x)的图象是中心对称图形

15.(2024・湖南长沙•模拟预测)笳，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子

组成，并带有放射性，会发生尸衰变，其半衰期是12.43年.样本中笳的质量N随时间”单位:年)的衰变规律

满足N=N0-2一玛，其中乂表示氤原有的质量，贝|()(参考数据:lg220.301)

N

A.Z=12.43log2—

B.经过24.86年后，样本中的次元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的能元素变为原来的《

D.若x年后，样本中氤元素的含量为0.4N。，贝隈>16

16.(2024•福建厦门•模拟预测)已知函数的定义域为R,〃x+y)=竽+孚，且/⑴=1,贝U

()

A./(0)=0B./(-l)=e2

C.e"(x)为奇函数D./(x)在(0,+⑹上具有单调性

17.(2024•江西南昌・三模)已知函数/(x)=加+次+cx+d(aR0),若y=|/(x)-21的图象关于直线x=1

对称，则下列说法正确的是()

A.>="(工)|的图象也关于直线》=1对称8.V=/(x)的图象关于(1,2)中心对称

C.a+b+c+d=2D.3。+6=0

18.(2024・浙江绍兴•二模)已知定义在R上的函数/'(x)在区间上单调递增，且满足

/(4-x)=/(x),/(2—x)=—/(x),贝ij()

10

A.£〃左)=0B./(0.9)+/(1.2)<0

k=l

c./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</^ln1^|

19.(2024・湖北•二模)我们知道，函数V=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=〃x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=〃x)的图象关于点尸(。,6)成中心对称图形的充要

4

条件是函数y=/(x+a)-6为奇函数.已知函数则下列结论正确的有()

A.函数/(x)的值域为(0,2]

B.函数/(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形

C.函数/(x)的导函数/(x)的图象关于直线x=1对称

D.若函数g(x)满足〉=g(x+l)-l为奇函数，且其图象与函数A》)的图象有2024个交点，记为

2024

4(%，K)(i=1,2,…,2024),则Z(%+%)=4048

Z=1

20.(2024•湖北荆州•三模)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+jO+Ax-yh/amy),"1)=1,

则()

A./(O)=2B.〃无)关于(3,0)中心对称

C./(x)是周期函数D.7(x)的解析式可能为/(xHZcosgx

21.(2024•江苏宿迁•三模)已知定义在R上不为常数的函数/⑸满足/(2x)+/(x+y)/(x-y)=0,则

()

A./(0)=-1B.，3)=[/⑴FC./(%)/(-%)=2D./«+/(-%)<-2

22.(2024・湖南衡阳•三模)已知函数/(x),g(x)的定义域为R,若函数g(x+D-1是奇函数，函数“x+D

是偶函数，/(3)=1,且”x)-g(l+x)=2.则下列结论正确的是()

A.函数/(x)图像关于直线x=2对称

B.函数g(x)为偶函数

C.4是函数g(x)的一个周期

36

D.(后)=36

k=\

23.(2024•河北邢台一模)已知函数〃尤)和函数g(x)的定义域均为R,若/'(2x-2)的图象关于直线》=1

对称，g(x)=/(x+l)+x—l,g(x+l)+/(-x)=x+2,且/⑼=0,则下列说法正确的是()

A./(x)为偶函数

B.g(x+4)=g(x)

C.若〃x)在区间(0,1)上的解析式为/(x)=log2(x+l),则〃x)在区间(2,3)上的解析式为

/(x)=l-log2(x-l)

20

D.£g(0=210

i=\

专题05函数的概念与性质

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对函数的考查，重点是函数的单2023•新高考I卷,4

调性、奇偶性、对称性、周期性，需要森、指、对函数的图像与性质2023•新高考I卷,10

关注周期性、对称性、奇偶性结合在一2023•新高考n卷,4

起，与函数图像、函数零点和不等式相2022•新高考I卷，12

结合进行考查。2023•新高考I卷,11

抽象函数的性质

2.高考对函数的考查重点关注以基本初2024•新高考I卷,8

等函数组成的复合函数以及抽象函数2022•新高考n卷，8

为载体，对函数内容和性质进行考查，函数与不等式结合2024・新高考n卷，8

考查函数的定义域、值域，函数的表示2024•新高考I卷，6

方法及性质（单调性、奇偶性、对称性、分段函数、三次函数的图像与性质2024•新高考I卷，10

周期性）、图像等。2024•新高考II卷，11

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查了分段函数、抽象函数、三次函数的性质的应用，难度处于适中及较难。II

卷考查了三次函数的性质及将函数与不等式结合考查，难度是较难的。总体来说函数主要以课程学习情景

为主，备考应以常见的选择题和填空题为主进行训练，难度跨度大，既有容易题，也有中档题，更有困难

题，而且常考常新。函数考查应关注：（1）指数函数、对数函数、赛函数及一次函数、二次函数的图像和

性质是基础，要求考生要在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质，准确把握函数概念和性质的本

质，会处理分段函数与抽象函数的相关问题，会识别函数图像的变化。同时，指对运算也是常考查的知识

点，考生应加强对公式的理解及应用的训练。

（2）函数性质、零点、图像等问题是函数专题的重点考察内容，注意函数的奇偶性、单调性的综合应用,

注重数形结合，转化与化归思想以及构造新函数的训练，为突破难点作好准备工作。

试题精讲

一、单选题

—x2—2ax—a.x<0

I.(2024新高考I卷-6)己知函数为〃x)=,,八，在R上单调递增，则.取值的范围是

[e+ln(^+l),x>0

()

A.(-«,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/(%)在R上单调递增，且x20时，/(x)=e'+ln(x+l)单调递增，

-一^—>0

则需满足2x(7),解得TWaWO,

-a<e°+In1

即a的范围是

故选：B.

2.(2024新高考I卷—8)已知函数为/⑴的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时/'(x)=x,

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得到/(1)=1,”2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当x<3时〃x)=x,所以〃1)=1,〃2)=2,

又因为/(x)>〃x-l)+〃x-2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(II)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,7(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知"20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

3.(2024新高考I倦-8)设函数〃尤)=(尤+a)ln(x+6),若/(x)20,则/+/的最小值为()

D.1

【答案】C

【分析】解法一：由题意可知：/(X)的定义域为(-6,+"),分类讨论-。与-a1-6的大小关系，结合符号分

析判断，即可得6=a+l,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+6)的符号，进而可得x+a

的符号，即可得b=a+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：/(©的定义域为(-A+8),

令x+a=O解得x=-a；令ln(x+6)=0解得x=l-6；

若-aW-b,当xe(-6,l-6)时，可知x+a>0,ln(x+6)<0,

此时〃x)<0,不合题意；

若一b<-a<l-b,当xe(-a,l-b)时，可知x+a>O,ln(x+b)<0,

此时〃x)<0,不合题意；

若-a=l-6,当》€(-6,1-6)时，可知x+a<0[n(x+6)<0,此时/(x)>0；

当xe[l-6,+co)时，可知x+aN0,ln(x+6)N0,此时/(x)20；

可知若-a=1-6,符合题意；

若一a>l-6,当xe(l-b,-a)时，可知x+a(0,ln(x+6》0,

此时〃x)<0,不合题意；

综上所述：-a=l-b,即6=<2+1,

贝！]/+/="+(〃+1)2=21+工1+，2!，当且仅当a=-1,6=]时，等号成立