2024年高二第一次月考模拟数学测试卷（范围：空间向量与立体几何+直线与圆的方程）（解析版）

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|高二第一次月考模拟测试卷!

|范围：空间向量与立体几何+直线与圆的方程i

i（考试时间：120分钟试卷满分：150分）|

i注意事项：|

\1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本，

|试卷上无效。|

i3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。|

1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

|是符合题目要求的。|

1.（23-24高二上•吉林长春•阶段练习）直线百工-了+1=0的倾斜角是（）.

A.60°B.30°C.135°D.120°

【答案】A

【分析】把直线方程化简为斜截式，根据倾斜角的定义，可得答案.

【详解】把直线方程化简为斜截式，得到＞=岳+1,设倾斜角为。，得到tand=6,根据倾斜角的定义，|

I可得。=60。

i故选：A

2.（23-24高二上•天津河西•阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）

A.«=（1,0,0）,B=（0,2,0）,c=（1,-V2,0）

B.5=（1,0,0）,K=（0,1,0）,c=（0,0,2）

C.«=（1,0,1）,ft=（0,1,1）,c=（2,1,2）

D.a=（1,1,1）,3=（0,1,0）,c=（l,0,2）

【答案】A

【分析】结合空间三个向量b,1能构成空间的基底，则向量1,b,1不共面，逐一检验即可.

【详解】若空间三个向量b,1能构成空间的基底，则向量b,?不共面，反之亦然，

r

对于A,由2=(1,0,0),5=(0,2,0),5=(1,-V2,0),得己=勺差B,即向量a,b,。共面，不能构成

空间基底；

对于B,^c=xa+yb,贝lj(0,0,2)=(尤/,0),不成立，即落彼忑不共面，可构成基底；

x=2

对于C,^c=xa+yb,贝lj(2,l,2)=(x/,x+y),即，y=l无解，即落友［不共面，可构成基底；

x+y-2

x=1

对于D,^-c=xa+yb,则(l,0,2)=(x,x+y,x),即■x+y=l无解，即2瓦1不共面，可构成基底.

x=2

故选：A

3.(23-24高二上•河南•阶段练习)若直线ox+2y=0与直线x+(a+l)y+(/-l)=0平行，则。的值是()

A.1或-2B.-1C.-2D.2或-1

【答案】C

【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.

【详解】由直线办+2>=0与直线工+(a+1方+(/-1)=0平行，

fa(a+1)=2x1

可得2,n，解得”-2,所以实数。的值为-2・

故选：C.

4.(23-24高二下•江苏南京•阶段练习)由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱/8CO-&BG2(如图

所示)，点尸是正方形的中心，则函・万=()

【答案】C

【分析】用而、怒、刀分别表示函、AP，结合空间向量数量积运算求解即可.

【详解】因为函=而+数，=

所以期.静=(石+石)(;布+石+g翔)

=-AD-AB+AD-AA.+-Ai52+-AB-AA,+AA.2+-Ai5-AA,=-AD2+AA,2=-x22+l2=3.

21221121212

故选：C.

5.(22-23高二上,江苏无锡•期中)给出下列命题，其中是真命题个数的是()

①若直线/的方向向量3=(0,LT),平面口的法向量万=(1,T,T),贝心，々；

②若平面a,力的法向量分别为*=(0,1,3),《=(1,6,-2),则

③若平面心经过三点4(1,0,-1),5(0,1,0),C(-l,2,0),向量拓=(L"J)是平面a的法向量,则〃+=1；

④若点4(1,2,3),3(1,-1,4),点C是/关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为旧

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用空间向量判断空间线面位置关系即，共线向量定理，面面垂直转为法向量垂直，空间两点间

距离公式即可判断正误.

【详解】解：①.•・不存在实数彳，使得六而，

••.I与万不共线，因此/_La是假命题；

②w1n2=0+6—6=0,

%-Ln2,则a_L/?,因此是真命题；

(3)^5=(-1,1,1),就=(-2,2,1),

•.・向量拓=(I,",。是平面a的法向量，

n-AB=ii-AC=0,

—1+M+/=—2+2〃+1=0,角军彳导〃=1,t=0f

则+Z=因此是真命题；

④若点4(1,2,3),8(1,-1,4),点C是/关于平面yOz的对称点，则C(-l,2,3),

•••点B与C的距离d=+(2+1)2+(3-4)2=J值，因此是真命题.

综上可得：真命题个数的是3.

故选：C.

r

6.(24-25高二上•江苏南京•阶段练习)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=9,直线/：mx+y-2m-3=0.则直

线/被圆C截得的弦长的最小值为()

A.277B.V10C.2A/2D.任

【答案】A

【分析】由题意可证直线/恒过的定点「仅,3)在圆内，当CPJL/时直线/被圆。截得的弦长最小，结合勾股

定理计算即可求解.

［详解］直线I：mx+y-2m-3=m^x-2)+y-3=Q,

fx—2=0［x=2

令，3=0,解得y=3'所以直线/恒过定点尸(2,3)，

圆C：(x—3『+(y-4)2=9的圆心为C(3,4),半径为r=3,

且|PCf=(2-3p+(3-4)2=2<9,即尸在圆内，

当CP，/时，圆心C到直线I的距离最大为d=\PC\=72,

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为2Jr2-=2疗.

故选：A.

PA

7.(22-23高二上•广东肇庆•阶段练习)已知0(0,0),4(3,0),动点尸(xj)满足记=2,则动点尸的轨迹

方程为()

A.(x-l)~+y2=4B.x2+(j^+l)2=4

C.(x+l)2+y2=4D.(x+l)2+(j+l)2=4

【答案】C

【分析】根据题意列出等式并化简即可.

【详解】由题可知同「=4怛。匕

所以(X-3)2+/=41+/)，

化简得(x+1)"=4,

r

故选：c,

8.(24-25高二上•山东•开学考试)己知曲线蚱1+F?与直线尸M尤-2)+4有两个相异的交点，那么实

数人的取值范围是()

a1，口

-号)B.[Hu生口D.612)

【答案】B

【分析】先得到曲线y=1+67轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，求出y=k(x-2)+4恒过定点

(2,4),把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数人的取值范围.

【详解】了=1+6^21，变形得到一+3-1『=4,

故曲线y=1+67轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆,

旷=兀。一2)+4恒过定点(2,4),把半圆和直线画出，如下：

当y=-2)+4过点(-2,1)时，满足两个相异的交点，

4-13

且此时上取得最小值，最小值为4]=^，

当y=-2)+4与y=i+“Z^相切时，由(0,1)到直线距离等于半径可得

-2A+4-l|=2,解得左毛

J1+/

故要想曲线夕=1+6？与直线丁=左(％-2)+4有两个相异的交点，

-

则nl,此<仁513

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（21-22高二上•湖北随州,期中）已知平面上一点河（4,0）,若直线上存在点P,使I尸W|=3,则称该直线为

"点〃相关直线"，下列直线中是"点M相关直线"的是（）

A.歹=2B.4%-3》=0C.3x+4y-5=0D.2x-j?+l=0

【答案】AC

【分析】根据题意可得出点M到直线的/的距离人3时，该直线上存在点尸，设1加|=3,此时该直线为“点〃

相关直线”；然后根据点到直线的距离公式逐项进行判断即可.

【详解】根据题意，可得当点M到直线的/的距离dW3时，该直线上存在点尸，设1尸河1=3,此时该直线为“点

M相关直线”.

选项A：点/到直线>=2的距离为2,满足题意；

选项B：点M到直线4x-3y=0的距离为第=">3,不满足题意；

V42+325

112+0-517

选项C：点M到直线3x+4y_5=0的距离为d"」=工<3,满足题意；

V32+425

,|8+0+1|975,

选项D：点M至I］直线2x_y+l=0的距离为d==<>3,不满足题意.

V,2+（-025

故选：AC.

10.（21-22高二下•河北邢台•开学考试）如图，在边长为2的正方体力BCD-4片G2中，E,F,G分别为

CR,44，的中点，则（）

A.8Gli平面力所

B.&G_L平面4E77

C.异面直线4尸与GC所成角的余弦值为:

D.点8到平面/E尸的距离为述

5

【答案】CD

r

【分析】建立平面直角坐标系，通过空间向量运算依次判断4个选项.

【详解】以。为原点，DA,DC,。，所在直线分别为无，y,z轴建立空间直角坐标系,

如图，则/（2,0,0）,4（2,0,2）,尸（2,1,2）,E（0,l,2）,G（2,l,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,C,（0,2,2）,

^£=（-2,1,2）,言=（0,1,2）,GG=（-2,1,0）,=（-2,0,2）,4^=（0,1,-2）.

对于选项A,B：

设平面4EF的法向量为〃=（x,%z）,

.\n-AE=0,f—2x+y+2z=0

则《一，即,

[n-AF=0,[y+2z=0

令了=-2,则x=0,z=l,得"=（0,-2,1）,

所以南与平面/E尸不平行，4G与平面NE尸不垂直，即A,B错误.

对于选项C：

|cos^,GC）|=|-^=|=|,则异面直线AF与GC所成角的余弦值为（，即C正确.

对于选项D：

AB-n=[,即D正确.

又9=（0,2,0）,所以点8到平面NEF的距离为一

故选：CD.

11.（24-25高三上•辽宁鞍山•开学考试）已知直线/：丘-7+左=0,圆。:/+/-6彳+5=0,尸优,为）为圆。

上任意一点，则下列说法正确的是（）

A.的最大值为5

B.总的最大值为Hl

无。5

C.直线/与圆C相切时，k^±—

3

D.圆心C到直线/的距离最大为4

【答案】BC

【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】圆C的方程可化为（尤-3丫+/=22,所以圆C的圆心为C（3,0）,半径r=2.

|。。|=3,「（而,小）是圆上的点，

所以焉+说的最大值为（3+2『=25,A选项错误.

如图所示，当直线。尸的斜率大于零且与圆相切时，风最大，

%

此时[01=3,|尸。=2,[0尸|=石，旦％=1211/尸0。=木=与，B选项正确.

直线/:日一了+左=0,即y=左（尤+1）,过定点（-1,0）,

若直线/与圆C相切，则圆心C（3,0）到直线/的距离为2,

\3k+k\

即17T=2,解得左=土"，所以C选项正确.

J1+左23

|3左+左I|4用

圆心c。,0）到直线I的距离d=y=,

71+k\1+左

当左二o时，d=0,

M4

当kwo时，d=Ji+左2=r—1~<4,所以D选项错误.

VF

故选：BC

-7I/拉

r1

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(19-20高二下•黑龙江哈尔滨•期中)经过两直线llx+3y-7=0和12x+y-19=0的交点，且与/(3,-2),

8(-1,6)等距离的直线的方程是.

【答案】7x+y-9=0或2x+y+l=0

【分析】直接求两直线的交点，与43,-2),5(-1,6)等距离的直线，一条过AB的中点，一条平行A8.

【详解】两直线1卜+3y一7=0和12%+〉一19=0的交点为(2,-5),

4(3,-2),3(-1,6)的中点为(1,2),

因为所求直线过(2,-5)且与4(3,-2),8(-1,6)等距离，

故所求直线过AB的中点或与直线AB平行，

当直线过N2的中点时，左=与与&=-7,

1—2

直线方程为y-2=-7(x-l),即7x+y-9=0,

-2-6-8

当直线与直线平行时，k=---=--=-2,

4

直线方程为N+5=-2(x-2),即2x+y+l=0.

故答案为：7x+y-9=0或2x+y+l=0

【点睛】本题主要考查了直线交点，直线的平行，直线的斜率，直线方程，属于中档题.

13.(23-24高二上•福建龙岩,阶段练习)平面直角坐标系上有41,1),8(3,0)两点，直线/的方程为

x+2y-8=0,直线/上有一点P,1PH+|P即最短，则尸点的坐标为.

【答案】㈢

【分析】根据题意，先求点A关于直线/的对称点H的坐标，再求直线48的方程，最后列方程组求点P的

坐标.

【详解】设点41,1)关于直线I的对称点♦'(/〃),

贝IJ44U/,线段ZH中点(生厂，号)在直线/上，

2L±(__L)=_1

m_i9n=2m-1

所以,，整理得、八，

m+1八n+\小八\m+2n-\5=0

------+2x----------8=0l

m=3,

解得一即©(3,5).

n-5

因为点A',P,B在一条直线上时|^|+1必|最短,

所以点P的坐标是直线48与直线1的交点,

由A'(3,5),B(3,0)得直线43的方程为x=3,

x=3(

x=35

所以x+2尸83解得5,即尸3,

故答案为：［3,1

14.（24-25高二上•吉林•阶段练习）正三棱柱48C-481G的侧棱长为2,底面边长为1,加■是的中

点.在直线CG上求一点N,当CN的长为时，使MNJL/月.

【答案】1/0.125

O

【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.

【详解】取用G的中点为/一连接必必,/河，由正三棱柱性质可得

因此以〃为坐标原点，以九〃皆所在直线分别为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所

o,1,2LAI(0,0,0),设CN的长为。，JiLa>0,可得N［。,-］,，；

r

——►—►111

若则JWZB]=―-x—+2Q=0,解得〃=—,

228

所以当CN的长为:时，使MNJL/4.

O

故答案为：:

O

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(24-25高二上•河南漠河期中)已知空间三点工(-2,0,2),C(-3,0,4),设1而,

b=BC.

⑴求£和B的夹角e的余弦值；

(2)若向量历+刃于场-25互相垂直,求无的值.

【答案】⑴-农

2

-3-3V17-3+3V17

(2)k=------一或卜=.....-

44

【分析】(1)利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；

(2)根据向量垂直时数量积为0,结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到心

【详解】(1)因为“(一2,0,2),5(-1,1,2),。(一3,0,4),

所以£=存=(1,1,0),S=SC=(-2,-l,2)

八a-b-2-1+0亚

所以丽，1+1+屋“+1+4=一工

即Z和5夹角。的余弦值为-交；

2

(2)因为向量后+B与后-2否互相垂直，

所以(左4+4.(左4一2可=左2/一左〃不一2片=0,

r

因为〃=2,a•b=-3，b=9,

所以2左2+3左一18=0,

解得％=土亚或仁士巫.

44

16.(24-25高二上・吉林•阶段练习)已知直线4：办一2了+2=0,直线：x-(a-l)y-2=0.

⑴若〃4,求噌4之间的距离;

(2)若求4，4及X轴围成的三角形的面积.

【答案】⑴逑

2

【分析】(1)由“4求出。的值，再由平行线间的距离求解即可.

(2)由4-L4求出。的值，再求出直线4，4的交点，及4，4与X轴的交点，由三角形的面积公式求解即

可.

【详解】(1)因为〃〃2,所以-q(a-l)-(-2)xl=0,

整理得Q?-Q-2=(Q+1)(Q-2)=0,解得Q=-1或Q=2.

当a=—1时，lx—x—2y+2=0,/2:x+2y—2=0,lx,4重合；

当〃=2时，4：2x-2>+2=0,12:x—y—2=0,符合题意.故Q=2,

则4,4之间的距离为卜日=逑.

V22

2

(2)因为所以axl+2x(a_l)=0,解得a=§.

4，4的方程分另I为彳_3>+3=0,3x+i=0.

3

X=

x-3y+3=021

联立方程组3x+y-6=0,得‘

3,

y=

2-

因为4，4与x轴的交点分别为(TO),(2,0),

所以4，4及工轴围成的三角形的面积为:x5x|=7.

17.（23-24高二下•山西长治•期末）如图，直四棱柱48cA的底面是正方形，AAt=2AB,E,F

分别为CG，4区的中点.

（1）证明：G尸//平面43E；

⑵求二面角A-BE-F的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵反

9

【分析】（1）根据线面平行的空间向量法证明即可；

（2）根据空间向量法求二面角余弦，再结合同角三角函数关系求解.

如图建系，设44]=2/8=4,

则G（2,2,4）,下（1,0,4）,4（0,0,4）,3（2,0,0）,£（2,2,2）,

于=（-1,-2,0）,

设平面45E法向量为万=（%）/）,

港=（2,0,-4）,赤=（0,2,2）,

A]B•元=2x-4z=0

<

BE-n=2y+2z=0

x=2

可得,V=-l

z=1

即得加=(2,-1,1),

因为万•市=-2+2+0=0,所以彳〃万，Gk不在平面48E内，所以C1尸〃平面4BE.

(2)设平面AE尸法向量为应=(a,8c),

屉=(0,2,2),前=(-1,0,4),

mBE=2b+2c=0

<

mBF=-Q+4。=0

a=4

可得"=T,

c=l

即得行=（4,-1,1）,

设二面角4—BE—尸为ee«o㈤,

则2篇二焉^.述

9

因为sin%+cos2^=1,所以sin6）=

9

18.（22-23高二上,山东荷泽,期末）某海面上有。,48三个小岛（面积大小忽略不计），N岛在。岛的北偏

东45。方向20忘km处，8岛在。岛的正东方向10km处.以。为坐标原点，。的正东方向为x轴正方向,

1km为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示.

⑴试写出48的坐标，并求43两岛之间的距离；

(2)已知在经过。,48三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船〃在。岛的南偏西30。方向距0岛

20km处，正沿北偏东45。方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？

［答案］(1)420,20),5(10,0),10石(km)

⑵有触礁的危险

【分析】(1)根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；(2)利用点和直线的位置关系即可判断.

【详解】(1)在。的北偏东45。方向20后km,B在。的正东方向10km.

^(20,20),5(10,0),

由两点间的距离公式知MB|=7(20-10)2+202=1oV5(km).

(2)设过。,48三点的圆的方程为/+/+.+4+尸=0.

将0(0,0),4(20,20),8(10,0)代入上式，得

尸=0。=-10

<202+202+20£)+20£,+F=0,解得<£=-30.

102+10D+F=0|F=O

•1•圆的方程为x"+y"-10JC—30jv=0,

则该圆的圆心为(5,15),半径厂=5瓦.

设船起初所在的点为M，则"(-10,-10百),

又该船航线所在直线的斜率为1,

该船航线所在的直线方程为x-y+10-106=0.