2024北京重点校高二（上）期末汇编：椭圆

2024北京重点校高二（上）期末汇编

椭圆

一、单选题

22

1.（2024北京延庆高二上期末）“1〈机<2”是“方程+工=1表示椭圆”的（）

2-mm-1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

2.（2024北京通州高二上期末）已知椭圆。:=+2=1（°>8>0）的左右焦点为耳,耳，上下顶点为环岛，

ab

若四边形月耳乙鸟为正方形，则椭圆C的离心率为（）

A.aB.@C.—D.-

、222

22

3.（2024北京延庆高二上期末）已知P是椭圆土+乙=1上的动点，则尸到椭圆的两个焦点的距离之和为（）

94

A.3B.4C.2A/5D.6

22

4.（2024北京丰台高二上期末）已知椭圆C:工+上=1的左、右焦点分别为尸一尸2,点尸在椭圆C上.若

94

/用第二90。，贝IJ△耳尸鸟的面积为（）

A.2B.4C.8D.9

22

5.（2024北京丰台高二上期末）已知椭圆=匚+”―=1的焦点在x轴上，则机的取值范围是（）

m-37-m

A.3<m<7B.3<m<5C.5<m<7D.m>3

22

6.（2024北京大兴高二上期末）椭圆二+匕=1的长轴长为（）

94

A.4B.5C.6D.9

22

7.（2024北京海淀高二上期末）已知P为椭圆C:土+与=1上的动点.A（-l,0）,B（l,0）,且|PA|+1P51=4,

4b

则k二（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

8.（2024北京西城高二上期末）已知椭圆三+/=1的两个焦点分别为耳，F2,若点P在椭圆上，且

4"

“尸6=90。，则点P到x轴的距离为.

9.（2024北京人大附中高二上期末）在平面直角坐标系中，过（LD且斜为左的直线/的方程为,联

立该直线/方程与椭圆方程1+丁=1,消去》可以得到关于x的一元二次方程为..

10.（2024北京延庆高二上期末）椭圆3/+4/=12的长轴长为.

11.（2024北京石景山高二上期末）方程J（x一3＞+/+"（x+3）2+明=10表示的曲线是,其标准

方程是.

12.（2024北京大兴高二上期末）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂

直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

C:二+^=1（。＞6＞。）的离心率为坐，耳凡分别为椭圆的左、右焦点，A,2为椭圆上两个动点.直线/的方程

为bx+ay-a?-b2=0.给出下列四个结论：

2

①C的蒙日圆的方程为尤2+y2=3b；

②在直线/上存在点P,椭圆C上存在A8,使得

③记点A到直线/的距离为d,则A片的最小值为挈/,；

④若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2.

其中所有正确结论的序号为.

丫2

13.（2024北京海淀高二上期末）己知四边形ABC。是椭圆M:L+丫？=1的内接四边形，其对角线AC和即

2'

交于原点0,且斜率之积为-g.给出下列四个结论：

①四边形9CD是平行四边形；

②存在四边形ABC。是菱形；

③存在四边形ABCD使得ZAOD=91°；

64

④存在四边形ABCD使得|AC『+13D，=m.

其中所有正确结论的序号为.

14.（2024北京民大附中高二上期末）椭圆。+丁=1的离心率是.

三、解答题

22

15.（2024北京民大附中高二上期末）已知椭圆0彩+4=1（。＞人0）过点4-2,0）,且。=劝.

ab

⑴求椭圆CO的方程；

（2）设。为原点，过点C（l,0）的直线/与椭圆。交于P,。两点，且直线/与x轴不重合，直线AP,A。分别

与y轴交于N两点.求证|,|ON|为定值.

22_

16.（2024北京延庆高二上期末）已知椭圆E：3+斗=1（。＞6＞0）的短半轴长为1,焦距为2后.

ab

（1）求椭圆E的离心率；

（2）设椭圆E的右顶点为A,过点尸（4,0）且斜率为Kk*0）的直线交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC分

别与直线尤=4交于点MN.求|PM|+|PN|的取值范围.

22

17.（2024北京顺义高二上期末）已知椭圆氏'+马=1与y轴的一个交点为4（0,1）,离心

ab

率为正.

2

⑴求椭圆E的方程；

(2)设过点A的直线/与椭圆E交于点B,过点A与/垂直的直线与直线x=1交于点C.若VA3C为等腰直角

三角形，求直线/的方程.

22

18.(2024北京昌平高二上期末)己知椭圆C:"+三=1的上顶点为3,圆0:r+/="〃>0).对于圆°,

给出两个性质：

①在圆。上存在点P,使得直线3P与椭圆C相交于另一点A,满足诩=2而；

②对于圆0上任意点。，圆。在点。处的切线与椭圆C交于M,N两点，都有。0LON.

(1)当月=1时，判断圆0是否满足性质①和性质②；(直接写出结论)

(2)已知当时，圆。满足性质①，求点A和点尸的坐标；

(3)是否存在使得圆。同时满足性质①和性质②，若存在，求出”的值；若不存在，说明理由.

22

19.(2024北京大兴高二上期末)已知椭圆C:1+当=l(a>b>0)的上、下顶点为屋，瓦，左、右焦点为,

ab

四边形瓦片层居是面积为2的正方形.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若尸是椭圆C上异于用,当的点，判断直线尸片和直线尸层的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；

如果不是，请说明理由；

2

(3)已知圆/+/=§的切线/与椭圆c相交于2E两点，判断以OE为直径的圆是否经过定点？如果是，求

出定点的坐标；如果不是，请说明理由.

20.(2024北京东城高二上期末)已知椭圆C：点N住，-"在C上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点尸(0,2)作与x轴不垂直的直线/,与椭圆C交于不同的两点A,8,点。与点A关于x轴对称，直线

与x轴交于点。，。为坐标原点、若△OP。的面积为2,求直线/的斜率.

22

21.(2024北京海淀高二上期末)已知椭圆C：2+方=1(。>6>0)的焦距为4A历，下顶点A和右顶点3的

距离为W，

⑴求椭圆C方程；

(2)设不经过右顶点的直线/：、=履+相交椭圆C于两点P,。，过点尸作无轴的垂线交直线A3于点£),交直

线8。于E,若点。为线段尸E的中点，求证：直线/经过定点.

22.(2024北京石景山高二上期末)已知椭圆C:「+[=l(a>b>0)过点A(疯0),且离心率《=渔.

ab3

⑴求椭圆C的方程；

(2)/为椭圆C的右焦点，尸为直线x=3上一点，过点歹作PF的垂线/交椭圆C于M,N两点，连接。尸与M/V

交于点H(0为坐标原点).求W\MH\的值.

22

23.(2024北京平谷高二上期末)已知椭圆C:=+匕=1(/>3)的左右焦点分别为《，F2,设椭圆C上一

a3

点尸(不与左右顶点重合)，直线PK与椭圆的另一个交点为。，且A色£的周长为6.

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)已知点A为椭圆的左顶点，直线AP,AQ分别与直线x=4交于〃，N两点.试判断：以"N为直径的圆

与直线尸居的位置关系，并说明理由.

24.(2024北京平谷高二上期末)已知椭圆C：m+4=l(a>b>0)的左右顶点距离为2而，离心率为也.

ab2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点(0,1),斜率存在且不为。的直线/与椭圆C交于A,3两点，求弦A5垂直平分线的纵截距的取值

范围.

22

25.(2024北京通州高二上期末)已知椭圆C：A+3=l,点A,JB为椭圆C的左右顶点G4点在左)，MB|=4,

ab

离心率为心.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点(-1,0)的直线/与椭圆C交于V,N(与A,8不重合)两点，直线AM与3N交于点P,证明：点尸

在定直线上.

26.(2024北京西城高二上期末)已知椭圆E：5+*l(a>b>0)过点4-2,0),8(2,0),离心率为?.

⑴求椭圆E的方程；

(2)设点尸(2,2),直线以与椭圆E的另一个交点为C,0为坐标原点，判断直线。尸与直线BC的位置关系，

并说明理由.

丫221

27.(2024北京101中学高二上期末)已知椭圆C*+方的离心率为右焦点为尸，点A(a,0),

且|Ab|=l.过点厂的直线/(不与x轴重合)交椭圆C于点MN,直线M4,N4分别与直线尤=4交于点尸,。.

⑴求椭圆C的方程；

(2)判断点A与以PQ为直径的圆的位置关系，并证明你的结论；

(3)求AAMN面积的最大值.

22

28.(2024北京西城高二上期末)设椭圆。:=+当=1(。>6>0)左、右焦点分别为用B，过耳的直线与椭

ab

圆C相交于A8两点.已知椭圆C的离心率为;,AA8区的周长为8.

⑴求椭圆C的方程；

(2)判断x轴上是否存在一点对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦A3,使得叫为AAMB的一条内角

平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.

22

29.(2024北京西城高二上期末)己知椭圆C*+方=l(a>b>0)的一个焦点为(后0),四个顶点构成的

四边形面积等于12.设圆(x-1了+/=25的圆心为尸为此圆上一点.

(D求椭圆C的离心率；

(2)记线段与椭圆C的交点为。，求|尸0的取值范围.

22

30.(2024北京丰台高二上期末)已知椭圆卯：1+谷=1(°>万>0)的左、右顶点分别为A,B,上顶点为

ab

C,VABC的面积为2,椭圆W的离心率为

2

(1)求椭圆W的方程；

(2)椭圆W上不同于顶点的两点M,N关于V轴对称，直线AAf与直线BC交于点P,直线AN与直线8C交

\AP\

于点。.设点火(2,2),求的值.

22

31.(2024北京大兴高二上期末)已知椭圆C:?+q=l与经过左焦点汽|的一条直线交于A,8两点.

(1)若F?为右焦点，求AAB乙的周长；

(2)若直线的倾斜角为：，求线段的长.

4

22

32.(2024北京海淀高二上期末)己知椭圆石:二+3=1(°>6>0)的两个顶点分别为A(-2,0),3(2,0),离心

ab

率e=g,尸(%,%)(%片0)为椭圆上的动点，直线尸4尸8分别交动直线X-于点C,D,过点C作尸8的垂线

交无轴于点H

⑴求椭圆E的方程；

(2)炭.而是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

22

33.(2024北京房山高二上期末)已知椭圆C：二+2=1(。>6>0)的一个焦点为(2,0),一个顶点为(0,0).

ab

⑴求椭圆C的方程和离心率；

(2)已知直线/与椭圆C相切于点直线/交y轴于点N,0为坐标原点，|OM|=|ON|,求"W的面积.

22

34.(2024北京北师大附中高二上期末)己知椭圆C:=r+[v=l(a>6>0)的右顶点42,0),尸为椭圆C上

ab

的动点，且点P不在x轴上，。是坐标原点，AAOP面积的最大值为1.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)过点的直线也与椭圆C交于另一点。，直线AP,AQ分别与y轴相交于点E,凡当|跖|=2时，

求直线产”的方程.

参考答案

1.B

22

【分析】根据“1＜小＜2”与“方程二一+工=1表示椭圆”的互相推出关系判断出属于何种条件.

2-mm-1

3r2v2

【详解】当1＜相＜2时，取加=：,止匕时二一+工=10/+丁=2,故方程表示圆；

22-mm-1

2-m>0

22

当方程一^+工=1表示椭圆时，贝人m-1>0

2-mm-1

2-机wm-1

解得｛机1＜根＜^或T＜根＜2；,

此时;加1＜加或"I＜根＜2

是｛间1＜机＜2｝的真子集,

所以或T＜m＜2｝可推出｛m|1〈机＜2｝；

22

综上可知，"l＜m＜2”是“方程+工=1表示椭圆”的必要而不充分条件,

2-mm-1

故选：B.

2.C

【分析】根据四边形耳与耳色为正方形得到b,c的关系，结合离心率计算公式求解出结果.

【详解】因为四边形片8石鱼为正方形，所以国阊=|g囱，所以%=c,

故选：C.

3.D

【分析】根据椭圆方程求解出。的值，再由椭圆定义可知结果.

【详解】由椭圆方程可知：a=3,

由椭圆定义可知：尸到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=6,

故选：D.

4.B

【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到|尸司+归川=6,再由勾股定理得归周2+|尸图2=20,联立方程组,

求得仍耳归词=8,结合三角形的面积公式，即可求解.

22__________

【详解】如图所示，椭圆C:/+?=l,可得。=3,6=2,则。=77万=行，

因为点尸在椭圆C上，可得|「耳|+|尸闾=6,

又由/耳尸耳=90。,可得|尸球+|尸球=|居图2=06)2=20,

|P周印啊=6

联立方程组可得|「制9|=8,

陷f+|PK『=20

所以“尸耳的面积为5尸用忸段=4.

【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.

m-3>0

22

【详解】由椭圆二一+3^=1的焦点在X轴上，则满足7-%>。，解得5〈根<7.

m-37-m。一

m-3>/-m

故选：C.

6.C

【分析】由椭圆的方程即可得出答案.

22

【详解】由二+工=1可得"=9,则2“=6.

94

故选：C.

7.C

【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P的轨迹表示以为焦点的椭圆，进而求得/的值.

【详解】因为解T0),3(1,0),可得|朋=2,则|阳+|闭=4>|加=2,

由椭圆的定义，可得点尸的轨迹表示以A8为焦点的椭圆，

其中2a=4,2c=l,可得。=2,c=l,所以/="一。？=3,

22

又因为点P在椭圆C:二+与=1,所以/=3.

4b2

故选：C.

8.^/-V3

33

【分析】设出夕点坐标，由/耳尸6=90。，可得两•朋=0,结合月点在椭圆上计算即可得.

【详解】设尸(加，〃)，由椭圆J+y2=l可得用-"0)、B(6,0),

有PF[=^-y/3-m,-nj,PF2=(百一九-九)

由/耳%=90。,

22

故PF】•PF2=^3—+〃2=m+n—3=0,

2

由尸（北〃）在椭圆上，故有（+/=i,即/=4（1-叫，

故机2+〃2_3=m2=4（1—〃2）+〃2—3=0,解得,2=；,

故〃=±1，故点尸到X轴的距离为走.

33

故答案为：通

3

9.y=k（x-1）+1（4左2+1）%2+（-842+8/）尤+4左2-8左=0

【分析】由直线的点斜式方程可得；将直线方程代入椭圆方程消元化简可解.

【详解】根据题意，直线的点斜式方程为y-i=Hx-i）,

化简为y=左（尤-1）+1,

y=无（尤-1）+1

联立方程组尤2,

——+V=1

14

消去y,得（4公+1卜2+（-8左2+8k）x+4k2—8左=0.

故答案为：y=笈（x-i）+i；^k2+l）x2+（-8^2+8k）x+4k2-8k=0

10.4

【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可.

22

【详解】由3/+4/=12=3+（=1,

显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为2x/=4.

故答案为：4

22

11.椭圆—+^=1

2516

【分析】根据椭圆的定义即可得解.

【详解】方程J（尤-3）2+y2+J（x+3）2+y2=io,

表示点P（x,y）到4（3,0）,3（-3,0）两点的距离之和等于10,而10>6,

所以方程J（x-3）2+y2+7（x+3）2+y2=10表示的曲线是椭圆，

且长轴长2〃=10,焦距2c=6,所以。=5,c=3,

所以半短轴长b=，/2-02=4,

22

所以其标准方程为土+匕=1.

2516

22

故答案为：椭圆；—+^=1.

2516

12.①②④

【分析】由。（。,6）在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得匕关系，由此可知①正确；由/过尸伍,。）

且〃色”）在蒙日圆上，可知当A8恰为切点时，PA±PB,知②正确；根据椭圆定义可将d-|A耳I转化为

d+\AF^-2a,可知月A，/时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得d+1A4|最小值，代入可

得d-|4工|的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形

长宽与圆的半径之间的关系Y+y2=1262,利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确.

【详解】对于①，过。（a,3可作椭圆的两条互相垂直的切线：x=a,y=b,

：.Q（a,b）在蒙日圆上，.•.蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,

由e=£=J1-。<72=2b2>

a\a2

•••<7的蒙日圆方程为/+产=3/,故①正确；

对于②，由/方程知：/过P（6,。），

22

又尸修⑷满足蒙日圆方程，，尸9,a）在圆尤2+y=3b±,

当A3恰为过尸作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA±PB,故②正确；

对于③，：A在椭圆上，.FAG1+1Ag1=2”，

/.d-1AF2\=d-（2a-\AFX|）=d+1AFt\-2a,

当月A，/时，d+1AKI取得最小值，最小值为耳到直线/的距离，

S,K,,,|—be—a~—b^||—b~—7.b"-b~\4^/3.

又K到直线i的距禺4=—/,—=------耳-----,

A（d-\AF21）nin=^-b-2a,故③错误;

对于④，当矩形的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，

...矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，

设矩形的长和宽分别为人〃，则/+储=nb2,

22

二矩形MNGH的面积S=mn<’犷；犷=6b2,当且仅当m=〃=卡时取等号，

即矩形MNG”面积的最大值为6r,故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合

点（4,6）在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项.

13.①③④

【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性

质判断③；利用斜率关系得到的表达式，然后利用基本不等式求IAC『+|皮）『的最大值，可

判断④.

【详解】因为四边形ABCD是椭圆加：一+丁=1的内接四边形，AC和交于原点0,

2

由椭圆的对称性可知=|。。且|。理=|。力，

所以四边形A5CD是平行四边形，故①正确；

假设对角线AC和8。的斜率分别为加卷,

若四边形A5CD是菱形，则其对角线互相垂直，即甲4-1,

而这与勺矛盾，所以不存在四边形ABCD是菱形，故②错误;

不妨设直线AC的倾斜角为a,直线的倾斜角为夕，且。＞力，

171

贝Utana=ktanJ3=k>0,又％也=一4,则勺=一王二,

v2J

则Win")==(PT

X00<ZAOD<180°,贝!]90°<NA8<120°,

所以存在四边形ABCD使得NAOD=91。，故③正确;

直线AC的方程y直线BD的方程y=^x,

y=kxx

由J，得炉+2-2,…叼2，可得x"=E2

I2-

222

同理可得XB~XD=2左2+]>

2,；+1)2、;；_+1,

211

贝IJ。4『+031=-----------------1-----------------=2+---o-----1-----Z----，

2肾+12片+12片+12代+1

由勺.履=一：,得层=击,令（=，代=：（/>0）,

3%yt

2

n„|OA|+\OB^=2+-^—+—^—=2+—^—+-^—

则2t+l2+i2/+19r+2

9t

=3+六+'3+塔间

5t=3+—1—<3+5=3+3

=3+

18/+13F+255,

18r+-+132J18r-+13

711

当且仅当18公：,即:；湍2=抬=；时，等号成立;

于是|AC『+|BD|2=（2|OA|）2+（2|OB|）2=4（|OA|2+|OB|2）<y,

当且仅当父=后=（,即四边形ABC。矩形时，等号成立，

64

所以存在四边形438使得IAC『+12。『=彳，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到IACF+|a）|2关于/的表达式，从而利用基

本不等式即可得解.

14.迪

3

【解析】利用题目所给的标准方程，求出。涉，然后求解。，即可求解离心率.

【详解】解：椭圆。+丁=1的长半轴为。=3,短半轴为8=1,

则半焦距为0=囱m=2夜，

所以椭圆的离心率为：e=±=空,

a3

故答案为：述.

3

【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题型；解题方法是根据椭圆标准方程

的性质分别逐步求出c，然后再求出离心率；解题的关键点是根据e=£求出离心率.

a

15.(吟+丁=1

(2)证明见解析

【分析】(1)由题可得。=2,进而得出6=1,即可得出椭圆方程;

(2)先考虑直线斜率不存在时，可得|OM|-|QN|=g,当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得

出韦达定理，得出直线AP的方程，可表示出M坐标，同理表示出N的坐标，进而利用韦达定理可求出

\OM\-\ON\.

【详解】(1)因为椭圆。过点4-2,0),所以。=2.

因为。=如，所以8=1.

2

r

所以椭圆。的方程为土+产1.

4

(2)当直线/斜率不存在时，直线/的方程为x=l.

不妨设此时尸(1，孝)，Q(i，-9)，

所以直线AP的方程为y邛(x+2),即服(04).

直线AQ的方程为>=一骼意+2),即N(0,_f).

所以|OM|-|ON|=g.

当直线/斜率存在时，设直线/的方程为y=Mx-1),

y=k(x-V)

由"],得(4左2+1)%2—8左2%+4左2—4=0

I4,

依题意，△>().

次2止一4

设尸(须，％),Q(x,y),则占+%

22EF无也=诉1

又直线”的方程为L六-2),

即M(0，Wy),同理N。%).

令x=0,得点M的纵坐标为

4左2(石—l)(x—1)

所以|OM|“ON|=2

(再+2)(%+2)(%+2)(X2+2)

4左2-4842

24^(+D

_4k\x^x2~(xl+x2)+1]_4/+14公+1

石工2+2(石+/)+44P-416V/

+4

4V+14V+1

4k\4k2-4-8k2+4k2+1）_V2k^£

442-4+1642+16左2+4_36?3

综上，10Ml-|0N|为定值，定值为g.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

(1)得出直线方程，设交点为4(X1，%)，B(x2,y2)；

(2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或')的一元二次方程；

(3)写出韦达定理；

(4)将所求问题或题中关系转化为玉+々，占尤2形式；

(5)代入韦达定理求解.

16.⑴且

2

(2)(26\+8)

【分析】(1)由短半轴，焦距及储=〃+，求解出〃力,。，再根据离心率公式即可得解；

(2)设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表达出1PMl+WM=g,结合左2求得答案.

b=\

【详解】(1)依题意知2c=2/，解得°=2/=l,c=g,

a2=b2+c2

所以离心率e=£=；

a2

(2)由(2)得，椭圆E的方程为1+尸=1,则4(2,0),

设直线BC的方程为y=左(彳一4)(左手0),

y=%(％-4)

联立2［得（1+4左2）%2_32k2X+64k2-4=0,

彳

1

A=(32左2)7—40+4女2)(6442—4)=160—12左2)>0,得-<一,且,

设%）,C（%2,丫2），玉<2,%2<2,

32k1264k2-4

则x+x=，V2

l2U4F1+442

设Af（4,间,N（4,〃）,依题意有:三=°],，小

因为％%=1（％-4）（々一4）>0,

所…三J〉。,

所以1PM+|尸'|=帆+网=|加+“=2M+2%

2人(%]—4)2左—4)1$+%-4

4k

xxx2-2(%+%)+4

32k2

----y-A4

]_______1+4〃_________

4k

64%2―4个32k之A词’

-----2x---------+4

1+4女21+4女2

因为左2<*,且/wO,所以;j^>2石，

所以|PM|+|PN|的取值范围是（2石,+ooj.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

17.（1）^-+/=1

⑵y=；x+l或y=-；x+]

【分析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程；

（2）方法1,设出/的方程与椭圆联立方程组，求出点氏C的坐标，根据VABC为等腰直角三角形列式运

算得解；方法2,过点A作直线x=l的垂线，垂足为。，再过点B作直线AD的垂线，垂足为凡易判断

AABF=^CAD,可得怛同=|AD|=I,求出点B坐标，得解.

b=\

【详解】(1)由已知得£=g解得°2=4,/=1.

a2

a2=b2+c2

所以椭圆E的方程为三+V=1.

4.

(2)方法1：由题意可知，直线/与y轴不垂直，

又当/与x轴垂直时，显然|AMN|AC|.

所以，设直线/的方程为y=^+i(上片0),

联立方程，消去丫整理得(l+4%2)/+8"=0(*)，易得A>0,

_Rk_OE2

设点*X。,%),则由点A(o,l)及方程(*)的根与系数的关系得不=[/，%=a+1=二%+1,

_8k)2J-8甘

222

••.IAB|=(x0)+(y0-l)1+4*+11+4左2

因为所以直线AC的方程为y=-gx+l,

k

将尤=1代入，解得y=l-%故点C的坐标为-J

.•,|AC|2=l2+(-1)2=l+-^.

由VA5C为等腰直角三角形知|AB|=|AC|,即(『I1r]+(=1+3,

11+4K)I1+T-/C]K

化简整理得64/=(1+4公。即8左2=1+4后2,解得/=±g

所以直线/的方程为>=；x+l或>=一<尤+L

方法2：

由题意可知，直线/与y轴不垂直，又当/与x轴垂直时，显然|AB|w|A。.

过点A作直线x=l的垂线，垂足为。，再过点8作直线AD的垂线，垂足为E

因为AC_L/W,所以NC4D+NB4/=90。.

当|AB|=|AC|时，易判断△AF/UAC4D.所以忸4=|AT>|=1.

由%=1,求得力=0，

由此可知点B的坐标为(-2,0)或(2,0),

1-0

直线/的斜率4=

0-(-2)20-22

所以直线/的方程为y=；x+i或>=一<尤+L

【点睛】关键点睛：本题第二问方法二，关键利用点A到直线x=l的距离为1,利用图形构造全等三角形得

到点B的坐标为(-2,0)或(2,0),得到直线/的方程.

18.(1)当〃=1时,圆。满足性质①，不满足性质②

4747

(2)A(4,1),P(-,-)或A(-4,1),P(--,-)

⑶存在，n=6

【分析】(1)依题意，直接判断判断圆。是否满足性质①和性质②写出结论；

(2)依题意，设出产,4,根据西=2所列方程，结合点尸在圆。上，A在椭圆C上，求出AP坐标；

(3)依题意，分。在(±6,0)和2不在(士«,0)两种情况，结合性质①和性质②列方程，求出”的值.

当〃=1时，圆。满足性质①，不满足性质②.

理由：依题意知，B(0,3),当”=1时，取圆。上点P坐标为(0,1),此时4(0,-3),

1,BP=(0,-2),此时西=2而，满,足性质①，

,此时坐标分别为1,浮」1,一空，

此时作圆。的切线，切线方程为X=1

___•―.J34(A/34^115

此时OM-QV=lxl+Jx—匚=——。0,此时与QV不垂直,不满足性质②，

212J2

综上，当〃=1时，圆。满足性质①，不满足性质②.

由椭圆C的上顶点为B,得B（o,3）.

由〃=曰时，圆。满足性质①，

设点P（%0，%），A（c,d）（-3<d<3）.

PA=(c-x0,d-y0),3P=(%,为—3).

c

c—XQ—,31

由丽=2所得即《

=2(%-3),d+6

%=-3

由点P在圆。上，A在椭圆C上，得

22_65

°‘°9'化简得/-12d+H=0,解得d=l或d=ll(舍).

?+2J2=18,

d—1,d=1,

c=4,c=-4.

_4

所以x—±或<

*一3，B-35

77

存在〃=6,使得圆。同时满足性质①和性质②.

下面进行证明：

当点。在（±6,0）时，圆。的切线方程为x=±M.设”（不，乂）"（刈必）.

22

当X=6时，代入椭圆方程二+匕=1解得/=9（1-9.

18918

----—►n

因为OM_LON,所以OM•0N=%%2+X%=〃一9(1)=0,解得〃=6.

18

此时符合题意

当了=-«时，同理，解得"=6.

所以，若圆。满足性质②，则必有〃=6成立.

当点。不在（士«,0）时，圆。的切线的斜率必存在，设其方程为>=米+帆.

mr-

直线MN与圆£+9=6相切，所以'=/,=J6,化简得〃=6/+6.

y=kx+m,

由|炉2得(2左2+1)*2+4左如+2根2_18=0.

---1----1

1189

由4=16而疗-4(28+1)(2疗—18)>0,得病<18尸+9.

4km21-18

%2=一为,'=刀寸・

2

OMON=XyX2+yty2=x^x^+(kxl+m)(kx2+in)=(Jc+1)&%2+Am(x1+x2)+m,

嗯黑〃2八2疝-18I,4km、3m2-18^-18

所以•ON=(左2+1)--——+km(——--)+m22=-------------

2二+12廿+12/+1

因为苏=6左2+6,所以加・丽=0，即OM